[수열] 2011학년도 9월 수능모의평가 수리 나형 25번, 2011학년도 수능(11월) 수리 가, 나형 공통 25번

[수열] 2011학년도 9월 수능모의평가 수리 나형 25번, 2011학년도 수능(11월) 수리 가, 나형 공통 25번

수열문제 중에서 어렵다 싶은 문제는 규칙을 찾는 문제이다. 2011학년도 9월 모의평가 수리 나형 25번 문제와 2011학년도 수능 수리 가, 나형 공통 25번 문제는 수열의 규칙을 찾아서 해결하는 문제인데 $2^{n}$번째 항을 찾아 규칙을 찾는 문제이다.

다음은 2011학년도 9월 모의평가 수리 나형 25번 문제이다.

그림과 같이 $1$행에는 $1$개, $2$행에는 $2$개, $\cdots$, $n$행에는 $n$개의 원을 나열하고 그 안에 다음 규칙에 따라 $0$ 또는 $1$을 써 넣는다. (가)  $1$행의 원 안에는 $1$을 써 넣는다. (나) $n\geq2$일 때, $1$행부터 $(n-1)$행까지 나열된 모든 원 안의 수의 합이 $n$이상이면 $n$행에 나열된 모든 원 안에 $0$을 써 넣고, $n$미만이면 $n$행에 나열된 모든 원 안에 $1$을 써 넣는다. $1$행부터 $32$행까지 나열된 원 안에 써 넣은 모든 수의 합을 구하시오. [4점]  풀이: 이 규칙대로 원 안을 채우면 다음과 같이 채워진다.(편의상 원은 생략했다.) 1행: 1 2행: 11 3행: 000 4행: 1111 5행: 00000 6행: 000000($6\leq7$) 7행: 0000000($7\leq7$) 8행: 11111111($8>7$) 9행: 000000000($9\leq15$) (중략) 이 문제의 규칙은 $1$행에는 $1$개의 $1$이 있고, $2^{n}$행에는 $2^{n}$개의 $1$이 있다. 즉, $2$행에는 $2$개의 $1$이, $4$행에는 $4$개의 $1$이, $8$행에는 $8$개의 $1$이, $16$행에는 $16$개의 $1$이, $32$행에는 $32$개의 $1$이 있다. 따라서 $1$행부터 $32$행까지 나열된 원 안에 써 넣은 모든 수의 합은 $1+2+4+8+16+32=1+2^{1}+2^{2}+2^{3}+2^{4}+2^{5}=2^{6}-1=64-1=63$이다.

다음은 2011학년도 수능 수리 가, 나형 공통 25번 문제이다. 수열의 극한 문제이나 위의 문제와 같은 방법으로 규칙을 찾는 문제이다.

자연수 $m$에 대하여 크기가 같은 정육면체 모양의 블록이 $1$열에 $1$개, $2$열에 $2$개, $3$열에 $3$개, $\cdots$, $m$열에 $m$개 쌓여 있다. 블록의 개수가 짝수인 열이 남아 있지 않을 때까지 다음 시행을 반복한다. 블록의 개수가 짝수인 각 열에 대하여 그 열에 있는 블록의 개수의 $\displaystyle\frac{1}{2}$만큼의 블록을 그 열에서 들어낸다. 블록을 들어내는 시행을 모두 마쳤을 때, $1$열부터 $m$열까지 남아 있는 블록의 개수의 합을 $f(m)$이라 하자. 예를 들어, $f(2)=2$, $f(3)=5$, $f(4)=6$이다. $$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\frac{f(2^{n+1})-f(2^{n})}{f(2^{n+2})}}=\frac{q}{p}$$ 일 때, $p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) [4점] 풀이: $f(7)=7,\,f(9)=9,\,f(11)=11,\,f(13)=13,\,f(15)=15$이고 $8=2^{3}$이므로 $f(8)=1$, $10=2\times5$이므로 $f(10)=5$, $12=2^{2}\times3$이므로 $f(12)=3$, $14=2\times7$이므로 $f(14)=7$, $16=2^{4}$이므로 $f(16)=1$이다. 따라서 $f(2)=1+1=2,\,f(4)=f(2^{2})=2+3+1=6,\,f(8)=f(2^{3})=6+5+3+7+1=22,\,\\f(16)=f(2^{4})=22+9+5+11+3+13+7+15+1=86,\,\cdots$ 이고 $f(2^{2})-f(2^{1})=6-2=4=4^{1}$, $f(2^{3})-f(2^{2})=22-6=16=4^{2}$, $f(2^{4})-f(2^{3})=86-22=64=4^{3}$, $\cdots$이다. 이 규칙으로부터 $f(2^{n+1})-f(2^{n})=4^{n}$이고 $$f(2^{n+2})-2=f(2^{n+2})-f(2^{1})=\sum_{k=1}^{n+1}{\{f(2^{k+1})-f(2^{k})\}}=\sum_{k=1}^{n+1}{4^{k}}=4\frac{4^{n+1}-1}{4-1}=\frac{4}{3}(4^{n+1}-1)$$ 이므로 $\displaystyle f(2^{n+2})=\frac{4}{3}(4^{n+1}-1)+2=\frac{1}{3}4^{n+2}+\frac{2}{3}$이다. 그러면 $$\frac{f(2^{n+1})-f(2^{n})}{f(2^{n+2})}=\frac{4^{n}}{\frac{1}{3}4^{n+2}+\frac{2}{3}}=\frac{3}{16+\frac{2}{4^{n}}}$$ 이고 따라서 $$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\frac{f(2^{n+1})-f(2^{n})}{f(2^{n+2})}}=\frac{3}{16}$$ 이므로 $p+q=16+3=19$이다.