[미적분] 2012학년도 6월 수능모의평가 수리 가형 19번, 2012학년도 9월 수능모의평가 수리 가형 20번
구간 \([a,\,b]\)에서 연속이고, 구간 \((a,\,b)\)에서 미분가능한 함수 \(f(x),\,g(x)\)에 대하여 이 두 함수의 곱의 미분은 \(\{f(x)g(x)\}'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\)이다.
구간 \([a,\,b]\)에서 연속이고, 구간 \((a,\,b)\)에서 미분가능한 함수 \(f(x),\,g(x)\)에 대하여 다음이 성립한다.
$$\int_{a}^{b}{f'(x)g(x)dx}=\left[f(x)g(x)\right]_{a}^{b}-\int_{a}^{b}{f(x)g'(x)dx}$$
이를 부분적분법이라고 한다. 부분적분은 미분공식 \(\{f(x)g(x)\}'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\)에서 유도되었다.
다음은 2012학년도 6월 모의평가 수리 가형 19번 문제이다.
정의역이 \(\{x\,|\,x>-1\}\)인 함수 \(f(x)\)에 대하여 \(\displaystyle f'(x)=\frac{1}{(1+x^{3})^{2}}\)이고, 함수 \(g(x)=x^{2}\)일 때,$$\int_{0}^{1}{f(x)g'(x)dx}=\frac{1}{6}$$이다. \(f(1)\)의 값은? [4점] 풀이: \(g(0)=0,\,g(1)=1\)이므로 부분적분법으로부터$$\frac{1}{6}=\int_{0}^{1}{f(x)g'(x)dx}=[f(x)g(x)]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}{f'(x)g(x)dx}=f(1)-\int_{0}^{1}{\frac{x^{2}}{(1+x^{3})^{2}}dx}$$이고 이때 \(t=1+x^{3}\)이라 하면 \(\displaystyle\frac{dt}{dx}=3x^{2}\)이므로$$\int_{0}^{1}{\frac{x^{2}}{(1+x^{3})^{2}}}=\frac{1}{3}\int_{1}^{2}{\frac{1}{t^{2}}dt}=\frac{1}{3}\left[-\frac{1}{t}\right]_{1}^{2}=\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{2}+1\right)=\frac{1}{6}$$이고 \(\displaystyle\frac{1}{6}=f(1)-\frac{1}{6}\)이므로 따라서 \(\displaystyle f(1)=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{1}{3}\)이다. |
부분적분을 이용하는게 핵심이다.
다음은 2012학년도 9월 모의평가 수리 가형 20번 문제이다.
구간 \(\displaystyle\left[0,\,\frac{\pi}{2}\right]\)에서 연속인 함수 \(f(x)\)가 다음 조건을 만족시킬 때, \(\displaystyle f\left(\frac{\pi}{4}\right)\)의 값은? [4점]
풀이: 조건 (나) 에서 \(\displaystyle\cos x\int_{0}^{x}{f(t)dt}=\sin x\int_{x}^{\frac{\pi}{2}}{f(t)dt}=-\sin x\int_{\frac{\pi}{2}}^{x}{f(t)dt}\)이므로 이 식을 \(x\)에 대해 미분하면$$-\sin x\int_{0}^{x}{f(t)dt}+f(x)\cos x=-\cos x\int_{\frac{\pi}{2}}^{x}{f(t)dt}-f(x)\sin x$$이다. 위의 식에 \(\displaystyle x=\frac{\pi}{4}\)를 대입하면$$-\frac{\sqrt{2}}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{f(t)dt}+\frac{\sqrt{2}}{2}f\left(\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{4}}{f(t)dt}-\frac{\sqrt{2}}{2}f\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}{f(t)dt}-\frac{\sqrt{2}}{2}f\left(\frac{\pi}{4}\right)$$이므로$$\sqrt{2}f\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{f(t)dt}+\int_{\frac{\pi}{4}}{\frac{\pi}{2}}{f(t)dt}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{f(t)dt}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$이고 따라서 \(\displaystyle f\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{2}\)이다. |
이 문제는 조금 복잡하다.
