[미적분] 2012학년도 6월 수능모의평가 수리 가형 19번, 2012학년도 9월 수능모의평가 수리 가형 20번

[미적분] 2012학년도 6월 수능모의평가 수리 가형 19번, 2012학년도 9월 수능모의평가 수리 가형 20번

구간 $[a,\,b]$에서 연속이고, 구간 $(a,\,b)$에서 미분가능한 함수 $f(x),\,g(x)$에 대하여 이 두 함수의 곱의 미분은 $\{f(x)g(x)\}'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$이다.

구간 $[a,\,b]$에서 연속이고, 구간 $(a,\,b)$에서 미분가능한 함수 $f(x),\,g(x)$에 대하여 다음이 성립한다.

$$\int_{a}^{b}{f'(x)g(x)dx}=\left[f(x)g(x)\right]_{a}^{b}-\int_{a}^{b}{f(x)g'(x)dx}$$

이를 부분적분법이라고 한다. 부분적분은 미분공식 $\{f(x)g(x)\}'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$에서 유도되었다.

다음은 2012학년도 6월 모의평가 수리 가형 19번 문제이다.

정의역이 $\{x\,|\,x>-1\}$인 함수 $f(x)$에 대하여 $\displaystyle f'(x)=\frac{1}{(1+x^{3})^{2}}$이고, 함수 $g(x)=x^{2}$일 때, $$\int_{0}^{1}{f(x)g'(x)dx}=\frac{1}{6}$$ 이다. $f(1)$의 값은? [4점] 풀이: $g(0)=0,\,g(1)=1$이므로 부분적분법으로부터 $$\frac{1}{6}=\int_{0}^{1}{f(x)g'(x)dx}=[f(x)g(x)]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}{f'(x)g(x)dx}=f(1)-\int_{0}^{1}{\frac{x^{2}}{(1+x^{3})^{2}}dx}$$ 이고 이때 $t=1+x^{3}$이라 하면 $\displaystyle\frac{dt}{dx}=3x^{2}$이므로 $$\int_{0}^{1}{\frac{x^{2}}{(1+x^{3})^{2}}}=\frac{1}{3}\int_{1}^{2}{\frac{1}{t^{2}}dt}=\frac{1}{3}\left[-\frac{1}{t}\right]_{1}^{2}=\frac{1}{3}\left(-\frac{1}{2}+1\right)=\frac{1}{6}$$ 이고 $\displaystyle\frac{1}{6}=f(1)-\frac{1}{6}$이므로 따라서 $\displaystyle f(1)=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{1}{3}$이다.

부분적분을 이용하는게 핵심이다.

다음은 2012학년도 9월 모의평가 수리 가형 20번 문제이다.

구간 $\displaystyle\left[0,\,\frac{\pi}{2}\right]$에서 연속인 함수 $f(x)$가 다음 조건을 만족시킬 때, $\displaystyle f\left(\frac{\pi}{4}\right)$의 값은? [4점] (가) $\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{f(t)dt}=1$ (나) $\displaystyle\cos x\int_{0}^{x}{f(t)dt}=\sin x\int_{x}^{\frac{\pi}{2}}{f(t)dt}$ (단, $\displaystyle0\leq x\leq\frac{\pi}{2}$) 풀이: 조건 (나) 에서 $\displaystyle\cos x\int_{0}^{x}{f(t)dt}=\sin x\int_{x}^{\frac{\pi}{2}}{f(t)dt}=-\sin x\int_{\frac{\pi}{2}}^{x}{f(t)dt}$이므로 이 식을 $x$에 대해 미분하면 $$-\sin x\int_{0}^{x}{f(t)dt}+f(x)\cos x=-\cos x\int_{\frac{\pi}{2}}^{x}{f(t)dt}-f(x)\sin x$$ 이다. 위의 식에 $\displaystyle x=\frac{\pi}{4}$를 대입하면 $$-\frac{\sqrt{2}}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{f(t)dt}+\frac{\sqrt{2}}{2}f\left(\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{4}}{f(t)dt}-\frac{\sqrt{2}}{2}f\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}{f(t)dt}-\frac{\sqrt{2}}{2}f\left(\frac{\pi}{4}\right)$$ 이므로 $$\sqrt{2}f\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{f(t)dt}+\int_{\frac{\pi}{4}}{\frac{\pi}{2}}{f(t)dt}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{f(t)dt}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$ 이고 따라서 $\displaystyle f\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{2}$이다.

이 문제는 조금 복잡하다.