[로그, 수열] 2007학년도 수능(11월) 수리 나형 27번, 2009학년도 수능(11월) 수리 가, 나형 공통 23번

2007학년도 수능(11월) 수리 나형 27번, 2009학년도 수능(11월) 수리 가, 나형 공통 23번

자연수(정수)를 어떤 자연수(정수)로 나누면 몫과 나머지가 존재한다. 즉, 자연수 $n$을 $a$로 나누면 몫 $q$와 나머지 $r)$이 존재하고 $n=aq+r$이다.

다음은 2007학년도 수능 수리 나형 27번 문제이다.

$0<a<1$인 $a$에 대하여 $10^{a}$를 $3$으로 나눌 때, 몫이 정수이고 나머지가 $2$가 되는 모든 $a$의 값의 합은? [4점] 풀이: $n$을 정수라 하자. 그러면 $10^{a}=3n+2$이다. 이때 $0<a<1$이므로 $1<10^{a}<10$이고 $n=0,\,1,\,2$일 때, 문제의 조건을 만족하는 $a$의 값을 구할 수 있다. 그러면 $$10^{a}=2,\,10^{a}=5,\,10^{a}=8$$ 이고 $$a=\log2,\,a=\log5,\,a=\log8$$ 이다. 따라서 $\log2+\log5+\log8=4\log2+\log5=4\log2+(1-\log2)=1+3\log2$이다.

로그의 성질과 몫과 나머지 이 두가지를 이용하여 푸는 문제이다.

다음은 2009학년도 수능 수리 가, 나형 공통 23번 문제이다.

자연수 $n\,(n\geq2)$으로 나누었을 때, 몫과 나머지가 같아지는 자연수를 모두 더한 값을 $a_{n}$이라 하자. 예를 들어 $4$로 나누었을 때, 몫과 나머지가 같아지는 자연수는 $5,\,10,\,15$이므로 $a_{4}=5+10+15=30$이다. $a_{n}>500$을 만족시키는 자연수 $n$의 최솟값을 구하시오. [4점] 풀이: $4$로 나누었을 때 몫과 나머지가 같아지는 자연수는 $5,\,10,\,15$이고 이때 $$5=4\times1+1,\,10=4\times2+2,\,15=4\times3+3$$ 이다. 그렇다면 $1\leq k\leq n-1$인 자연수 $k$에 대하여 $nk+k$는 몫과 나머지가 $k$로 같은 자연수이고 다음이 성립한다. $$a_{n}=\sum_{k=1}^{n-1}{(nk+k)}=n\frac{n(n-1)}{2}+\frac{n(n-1)}{2}=\frac{1}{2}(n-1)n(n+1)$$ 이다. $$a_{10}=\frac{1}{2}\times9\times10\times11=495,\,a_{11}=\frac{1}{2}\times10\times11\times12=660$$ 이므로 $a_{10}<500<a_{11}$이고 따라서 $a_{n}>500$을 만족하는 $n$의 최솟값은 $11$이다.