[이차곡선] 2005학년도 수능(11월) 수리 가형 22번, 2014학년도 9월 수능모의평가 수학 B형 9번

2005학년도 수능(11월) 수리 가형 22번, 2014학년도 9월 수능모의평가 수학 B형 9번

두 점으로부터의 거리의 합이 일정한 점들의 집합을 타원이라고 한다.

다음은 2005학년도 수능 수리 가형 22번 문제이다. 4점 문제이다.

타원 $\displaystyle\frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{20}=1$의 두 초점을 $\mathrm{F}$와 $\mathrm{F}'$이라 하고, 초점 $\mathrm{F}$에 가장 가까운 꼭짓점을 $\mathrm{A}$라 하자. 이 타원 위의 한 점 $\mathrm{P}$에 대하여 $\displaystyle\angle\mathrm{PFF}'=\frac{\pi}{3}$일 때, $\overline{\mathrm{PA}}^{2}$의 값을 구하시오. [4점] 풀이: 타원의 정의에 의해 $\overline{\mathrm{PF'}}+\overline{\mathrm{PF}}=2\times6=12$이고 점 $\mathrm{P}$의 $x$축에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$, $\overline{\mathrm{HF}}=x$라 하자. 그러면 $\overline{\mathrm{F'F}}=2\sqrt{36-20}=2\times4=8$, $\overline{\mathrm{PF}}=2x,\,\overline{\mathrm{PH}}=\sqrt{3}x$, $\overline{\mathrm{F'H}}=8-x$이고 $\overline{\mathrm{PF'}}=\sqrt{(8-x)^{2}+(\sqrt{3}x)^{2}}=12-2x$이므로 $$(x^{2}-16x+64)+3x^{2}=4x^{2}-48x+144$$ 이고 식을 정리하면 $32x=144-64=80$이므로 $32x=80$이고 $\displaystyle x=\frac{5}{2}$이다.    $\displaystyle\overline{\mathrm{HF}}=\frac{5}{2}$이므로 $\displaystyle\overline{\mathrm{PH}}=\sqrt{3}\overline{\mathrm{HF}}=\frac{5}{2}\sqrt{3}$이고 $\displaystyle\overline{\mathrm{OH}}=\overline{\mathrm{OF}}-\overline{\mathrm{HF}}=4-\frac{5}{2}=\frac{3}{2}$, $\displaystyle\overline{\mathrm{HA}}=\overline{\mathrm{OA}}-\overline{\mathrm{OH}}=6-\frac{3}{2}=\frac{9}{2}$이므로 따라서 $$\overline{\mathrm{PA}}^{2}=\overline{\mathrm{PH}}^{2}+\overline{\mathrm{HA}}^{2}=\left(\frac{5}{2}\sqrt{3}\right)^{2}+\left(\frac{9}{2}\right)^{2}=\frac{75+81}{4}=\frac{156}{4}=39$$ 이다.

이 문제는 풀기가 좀 복잡한 문제다.

다음은 2014학년도 9월 모의평가 수학 B형 9번 문제이다.

타원 $\displaystyle\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$의 한 초점을 $\mathrm{F}(c,\,0)\,(c>0)$, 이 타원이 $x$축과 만나는 점 중에서 $x$좌표가 음수인 점을 $\mathrm{A}$, $y$축과 만나는 점 중에서 $y$좌표가 양수인 점을 $\mathrm{B}$라 하자. $\displaystyle\angle\mathrm{AFB}=\frac{\pi}{3}$이고 삼각형 $\mathrm{AFB}$의 넓이는 $6\sqrt{3}$일 때, $a^{2}+b^{2}$의 값은? (단, $a,\,b$는 상수이다.) [3점] 풀이: $\displaystyle\overline{\mathrm{BF}}=a,\,c=\overline{\mathrm{OF}}=\overline{\mathrm{BF}}\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}\overline{\mathrm{BF}}=\frac{1}{2}a$, 삼각형 $\mathrm{AFB}$의 넓이가 $6\sqrt{3}$이므로 $$6\sqrt{3}=\frac{1}{2}\overline{\mathrm{AF}}\times\overline{\mathrm{BF}}\sin\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}\left(\frac{3}{2}a\right)a\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{8}a^{2}$$ 식에서 $a^{2}=16$을 얻고 $\displaystyle c=\frac{1}{2}a$이므로 $\displaystyle c^{2}=\frac{1}{4}a^{2}=a^{2}-b^{2}$이고 $\displaystyle b^{2}=\frac{3}{4}a^{2}=3\times4=12$이다. 따라서 $a^{2}+b^{2}=16+12=28$이다.