2005학년도 수능(11월) 수리 가형 22번, 2014학년도 9월 수능모의평가 수학 B형 9번
두 점으로부터의 거리의 합이 일정한 점들의 집합을 타원이라고 한다.
다음은 2005학년도 수능 수리 가형 22번 문제이다. 4점 문제이다.
타원 \(\displaystyle\frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{20}=1\)의 두 초점을 \(\mathrm{F}\)와 \(\mathrm{F}'\)이라 하고, 초점 \(\mathrm{F}\)에 가장 가까운 꼭짓점을 \(\mathrm{A}\)라 하자. 이 타원 위의 한 점 \(\mathrm{P}\)에 대하여 \(\displaystyle\angle\mathrm{PFF}'=\frac{\pi}{3}\)일 때, \(\overline{\mathrm{PA}}^{2}\)의 값을 구하시오. [4점] 풀이: 타원의 정의에 의해 \(\overline{\mathrm{PF'}}+\overline{\mathrm{PF}}=2\times6=12\)이고 점 \(\mathrm{P}\)의 \(x\)축에 내린 수선의 발을 \(\mathrm{H}\), \(\overline{\mathrm{HF}}=x\)라 하자. 그러면 \(\overline{\mathrm{F'F}}=2\sqrt{36-20}=2\times4=8\), \(\overline{\mathrm{PF}}=2x,\,\overline{\mathrm{PH}}=\sqrt{3}x\), \(\overline{\mathrm{F'H}}=8-x\)이고 \(\overline{\mathrm{PF'}}=\sqrt{(8-x)^{2}+(\sqrt{3}x)^{2}}=12-2x\)이므로$$(x^{2}-16x+64)+3x^{2}=4x^{2}-48x+144$$이고 식을 정리하면 \(32x=144-64=80\)이므로 \(32x=80\)이고 \(\displaystyle x=\frac{5}{2}\)이다. \(\displaystyle\overline{\mathrm{HF}}=\frac{5}{2}\)이므로 \(\displaystyle\overline{\mathrm{PH}}=\sqrt{3}\overline{\mathrm{HF}}=\frac{5}{2}\sqrt{3}\)이고 \(\displaystyle\overline{\mathrm{OH}}=\overline{\mathrm{OF}}-\overline{\mathrm{HF}}=4-\frac{5}{2}=\frac{3}{2}\), \(\displaystyle\overline{\mathrm{HA}}=\overline{\mathrm{OA}}-\overline{\mathrm{OH}}=6-\frac{3}{2}=\frac{9}{2}\)이므로 따라서$$\overline{\mathrm{PA}}^{2}=\overline{\mathrm{PH}}^{2}+\overline{\mathrm{HA}}^{2}=\left(\frac{5}{2}\sqrt{3}\right)^{2}+\left(\frac{9}{2}\right)^{2}=\frac{75+81}{4}=\frac{156}{4}=39$$이다. |
이 문제는 풀기가 좀 복잡한 문제다.
다음은 2014학년도 9월 모의평가 수학 B형 9번 문제이다.
타원 \(\displaystyle\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\)의 한 초점을 \(\mathrm{F}(c,\,0)\,(c>0)\), 이 타원이 \(x\)축과 만나는 점 중에서 \(x\)좌표가 음수인 점을 \(\mathrm{A}\), \(y\)축과 만나는 점 중에서 \(y\)좌표가 양수인 점을 \(\mathrm{B}\)라 하자. \(\displaystyle\angle\mathrm{AFB}=\frac{\pi}{3}\)이고 삼각형 \(\mathrm{AFB}\)의 넓이는 \(6\sqrt{3}\)일 때, \(a^{2}+b^{2}\)의 값은? (단, \(a,\,b\)는 상수이다.) [3점] 풀이: \(\displaystyle\overline{\mathrm{BF}}=a,\,c=\overline{\mathrm{OF}}=\overline{\mathrm{BF}}\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}\overline{\mathrm{BF}}=\frac{1}{2}a\), 삼각형 \(\mathrm{AFB}\)의 넓이가 \(6\sqrt{3}\)이므로 $$6\sqrt{3}=\frac{1}{2}\overline{\mathrm{AF}}\times\overline{\mathrm{BF}}\sin\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}\left(\frac{3}{2}a\right)a\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{8}a^{2}$$식에서 \(a^{2}=16\)을 얻고 \(\displaystyle c=\frac{1}{2}a\)이므로 \(\displaystyle c^{2}=\frac{1}{4}a^{2}=a^{2}-b^{2}\)이고 \(\displaystyle b^{2}=\frac{3}{4}a^{2}=3\times4=12\)이다. 따라서 \(a^{2}+b^{2}=16+12=28\)이다. |
