[미적분] 2008학년도 수능(11월) 수리 가형 미분과적분 27번, 2011학년도 9월 수능모의평가 수리 가형 미분과적분 29번

2008학년도 수능(11월) 수리 가형 미분과적분 27번, 2011학년도 9월 수능모의평가 수리 가형 미분과적분 29번

미분가능한 두 함수 $f(x),\,g(x)$에 대하여 합성함수 $g(f(x))$의 도함수는 $g'(f(x))f'(x)$이다.

이계도함수를 갖는 함수 $f(x)$에 대하여 점 $(a,\,f(a))$가 $f(x)$의 변곡점이면 $x=a$의 좌우에서 이계도함수의 부호가 바뀌고, 곡선의 오목볼록이 바뀐다.

다음은 2008학년도 수능 수리 가형 미분과적분 27번 문제이다.

함수 $f(x)=x+\sin x$에 대하여 함수 $g(x)$를 $$g(x)=(f\circ f)(x)$$ 로 정의할 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은? [3점] <보기> ㄱ. 함수 $f(x)$의 그래프는 열린구간 $(0,\,\pi)$에서 위로 볼록하다. ㄴ. 함수 $g(x)$는 열린구간 $(0,\,\pi)$에서 증가한다. ㄷ. $g'(x)=1$인 실수 $x$가 열린구간 $(0,\,\pi)$에 존재한다. 풀이 ㄱ: $f'(x)=1+\cos x,\,f''(x)=-\sin x$이고 구간 $(0,\,\pi)$에서 $f''(x)=-\sin x<0$이므로 $f(x)$는 $(0,\,\pi)$에서 위로 볼록하다. ㄴ: $g(x)=f(f(x))=f(x)+\sin f(x)$이므로 $g'(x)=f'(x)+f'(x)\cos f(x)=f'(x)(1+\cos f(x))$이고 이때 $(0,\,\pi)$에서 $f'(x)=1+\cos x>0$이므로 $f(x)$는 $(a,\,b)$에서 증가한다. $f(0)=0,\,f(\pi)=\pi$이므로 $(0,\,1)$에서 함수 $f(x)$의 치역은 $(0,\,\pi)$이다. 그렇다면 $(0,\,\pi)$에서 $1+\cos f(x)>0$이고 따라서 $(0,\,\pi)$에서 $g'(x)>0$이므로 $g(x)$는 $(0,\pi)$에서 증가한다. ㄷ: $g(0)=f(f(0))=f(0)=0,\,g(\pi)=f(f(\pi))=f(\pi)=\pi$이므로 $\displaystyle\frac{g(\pi)-g(0)}{\pi-0}=\frac{\pi-0}{\pi-0}=\frac{\pi}{\pi}=1$이고 따라서 평균값의 정리에 의해 $g'(x)=1$인 $x$가 $(0,\,\pi)$에 존재한다. ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다.

다음은 2011학년도 9월 모의평가 수리 가형 미분과적분 29번 문제이다.

다항함수 $f(x)$에 대하여 다음 표는 $x$의 값에 따른 $f(x),\,f'(x),\,f''(x)$의 변화 중 일부를 나타낸 것이다. 함수 $g(x)=\sin\left(f(x)\right)$에 대하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [4점] <보기> ㄱ. $g'(3)=-1$ ㄴ. $1<a<b<3$이면 $\displaystyle-1<\frac{g(b)-g(a)}{b-a}<0$이다. ㄷ. 점 $\mathrm{P}(1,\,1)$은 곡선 $y=g(x)$의 변곡점이다. 풀이: 우선 다항함수 $f(x)$의 증감표를 채우자. $x<1$에서 $f''(x)>0$이므로 $x<1$에서 $f'(x)$는 증가하고 $f'(1)=0$이므로 $x<1$에서 $f'(x)<0$이다. $1<x<3$에서 $f''(x)>0$이므로 $1<x<3$에서 $f'(x)$는 증가하고 $f'(1)=0,\,f'(3)=1$이므로 $1<x<3$에서 $f'(x)>0$이다. 그러면 $x<1$에서 $f(x)$는 감소하고 $1<x<3$에서 $f(x)$는 증가한다. 이렇게 해서 증감표를 채웠다. ㄱ: $g(x)=\sin\left(f(x)\right)$의 도함수는 $g'(x)=f'(x)\cos f(x)$이고 $f(3)=\pi,\,f'(3)=1$이므로 $g'(3)=f'(3)\cos f(3)=-1$이다. ㄴ: $1<x<3$에서 $f'(x)>0$이고 $\displaystyle\frac{\pi}{2}<f(x)<\pi$이므로 $-1<\cos f(x)<0$이다. 그러면 $1<x<3$에서 $-1<g'(x)<0$이고 평균값의 정리에 의해 $c$가 $a$와 $b$사이에 존재해서 $\displaystyle g'(c)=\frac{g(b)-g(a)}{b-a}$이다. $1<a<b<3$이므로 따라서 $\displaystyle-1<g'(c)=\frac{g(b)-g(a)}{b-a}<0$이다. ㄷ: $g'(x)=f'(x)\cos f(x)$이므로 $g''(x)=f''(x)\cos f(x)-\{f'(x)\}^{2}\sin f(x)$이고 $\displaystyle f(1)=\frac{\pi}{2},\,f'(1)=0$이므로 $g''(1)=0$이다. $0<h<1$이라고 하자. 그러면 $\displaystyle\frac{\pi}{2}<f(1-h)<\pi,\,f''(1-h)>0$이므로 $0<\sin f(1-h)<1,\,-1<\cos f(1-h)<0$이고 $$g''(1-h)=f''(1-h)\cos f(1-h)-\{f'(1-h)\}^{2}\sin f(1-h)<0$$ 이다. $\displaystyle\frac{\pi}{2}<f(1+h)<\pi,\,f''(1+h)>0$이므로 $0<\sin f(1+h)<1,\,-1<\cos f(1+h)<0$이고 $$g''(1+h)=f''(1+h)\cos f(1+h)-\{f(1+h)\}^{2}\sin f(1+h)<0$$ 이다. 그러면 $x=1$의 좌우에서 $g''(x)$의 부호변화가 없고 따라서 점 $\mathrm{P}(1,\,1)$은 $y=g(x)$의 변곡점이 아니다. 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

이 문제에서 가장 어려운 선택지가 ㄷ이었을 것이다.