[미적분] 2008학년도 수능(11월) 수리 가형 미분과적분 27번, 2011학년도 9월 수능모의평가 수리 가형 미분과적분 29번

2008학년도 수능(11월) 수리 가형 미분과적분 27번, 2011학년도 9월 수능모의평가 수리 가형 미분과적분 29번

미분가능한 두 함수 \(f(x),\,g(x)\)에 대하여 합성함수 \(g(f(x))\)의 도함수는 \(g'(f(x))f'(x)\)이다.

이계도함수를 갖는 함수 \(f(x)\)에 대하여 점 \((a,\,f(a))\)가 \(f(x)\)의 변곡점이면 \(x=a\)의 좌우에서 이계도함수의 부호가 바뀌고, 곡선의 오목볼록이 바뀐다.

다음은 2008학년도 수능 수리 가형 미분과적분 27번 문제이다.

함수 \(f(x)=x+\sin x\)에 대하여 함수 \(g(x)\)를$$g(x)=(f\circ f)(x)$$로 정의할 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은? [3점] <보기> ㄱ. 함수 \(f(x)\)의 그래프는 열린구간 \((0,\,\pi)\)에서 위로 볼록하다. ㄴ. 함수 \(g(x)\)는 열린구간 \((0,\,\pi)\)에서 증가한다. ㄷ. \(g'(x)=1\)인 실수 \(x\)가 열린구간 \((0,\,\pi)\)에 존재한다. 풀이 ㄱ: \(f'(x)=1+\cos x,\,f''(x)=-\sin x\)이고 구간 \((0,\,\pi)\)에서 \(f''(x)=-\sin x<0\)이므로 \(f(x)\)는 \((0,\,\pi)\)에서 위로 볼록하다. ㄴ: \(g(x)=f(f(x))=f(x)+\sin f(x)\)이므로 \(g'(x)=f'(x)+f'(x)\cos f(x)=f'(x)(1+\cos f(x))\)이고 이때 \((0,\,\pi)\)에서 \(f'(x)=1+\cos x>0\)이므로 \(f(x)\)는 \((a,\,b)\)에서 증가한다. \(f(0)=0,\,f(\pi)=\pi\)이므로 \((0,\,1)\)에서 함수 \(f(x)\)의 치역은 \((0,\,\pi)\)이다. 그렇다면 \((0,\,\pi)\)에서 \(1+\cos f(x)>0\)이고 따라서 \((0,\,\pi)\)에서 \(g'(x)>0\)이므로 \(g(x)\)는 \((0,\pi)\)에서 증가한다. ㄷ: \(g(0)=f(f(0))=f(0)=0,\,g(\pi)=f(f(\pi))=f(\pi)=\pi\)이므로 \(\displaystyle\frac{g(\pi)-g(0)}{\pi-0}=\frac{\pi-0}{\pi-0}=\frac{\pi}{\pi}=1\)이고 따라서 평균값의 정리에 의해 \(g'(x)=1\)인 \(x\)가 \((0,\,\pi)\)에 존재한다. ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다.

다음은 2011학년도 9월 모의평가 수리 가형 미분과적분 29번 문제이다.

다항함수 \(f(x)\)에 대하여 다음 표는 \(x\)의 값에 따른 \(f(x),\,f'(x),\,f''(x)\)의 변화 중 일부를 나타낸 것이다. 함수 \(g(x)=\sin\left(f(x)\right)\)에 대하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [4점] <보기> ㄱ. \(g'(3)=-1\) ㄴ. \(1<a<b<3\)이면 \(\displaystyle-1<\frac{g(b)-g(a)}{b-a}<0\)이다. ㄷ. 점 \(\mathrm{P}(1,\,1)\)은 곡선 \(y=g(x)\)의 변곡점이다. 풀이: 우선 다항함수 \(f(x)\)의 증감표를 채우자. \(x<1\)에서 \(f''(x)>0\)이므로 \(x<1\)에서 \(f'(x)\)는 증가하고 \(f'(1)=0\)이므로 \(x<1\)에서 \(f'(x)<0\)이다. \(1<x<3\)에서 \(f''(x)>0\)이므로 \(1<x<3\)에서 \(f'(x)\)는 증가하고 \(f'(1)=0,\,f'(3)=1\)이므로 \(1<x<3\)에서 \(f'(x)>0\)이다. 그러면 \(x<1\)에서 \(f(x)\)는 감소하고 \(1<x<3\)에서 \(f(x)\)는 증가한다. 이렇게 해서 증감표를 채웠다. ㄱ: \(g(x)=\sin\left(f(x)\right)\)의 도함수는 \(g'(x)=f'(x)\cos f(x)\)이고 \(f(3)=\pi,\,f'(3)=1\)이므로 \(g'(3)=f'(3)\cos f(3)=-1\)이다. ㄴ: \(1<x<3\)에서 \(f'(x)>0\)이고 \(\displaystyle\frac{\pi}{2}<f(x)<\pi\)이므로 \(-1<\cos f(x)<0\)이다. 그러면 \(1<x<3\)에서 \(-1<g'(x)<0\)이고 평균값의 정리에 의해 \(c\)가 \(a\)와 \(b\)사이에 존재해서 \(\displaystyle g'(c)=\frac{g(b)-g(a)}{b-a}\)이다. \(1<a<b<3\)이므로 따라서 \(\displaystyle-1<g'(c)=\frac{g(b)-g(a)}{b-a}<0\)이다. ㄷ: \(g'(x)=f'(x)\cos f(x)\)이므로 \(g''(x)=f''(x)\cos f(x)-\{f'(x)\}^{2}\sin f(x)\)이고 \(\displaystyle f(1)=\frac{\pi}{2},\,f'(1)=0\)이므로 \(g''(1)=0\)이다. \(0<h<1\)이라고 하자. 그러면 \(\displaystyle\frac{\pi}{2}<f(1-h)<\pi,\,f''(1-h)>0\)이므로 \(0<\sin f(1-h)<1,\,-1<\cos f(1-h)<0\)이고$$g''(1-h)=f''(1-h)\cos f(1-h)-\{f'(1-h)\}^{2}\sin f(1-h)<0$$이다. \(\displaystyle\frac{\pi}{2}<f(1+h)<\pi,\,f''(1+h)>0\)이므로 \(0<\sin f(1+h)<1,\,-1<\cos f(1+h)<0\)이고$$g''(1+h)=f''(1+h)\cos f(1+h)-\{f(1+h)\}^{2}\sin f(1+h)<0$$이다. 그러면 \(x=1\)의 좌우에서 \(g''(x)\)의 부호변화가 없고 따라서 점 \(\mathrm{P}(1,\,1)\)은 \(y=g(x)\)의 변곡점이 아니다. 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

이 문제에서 가장 어려운 선택지가 ㄷ이었을 것이다.