[미적분] 2011학년도 수능(11월) 수리 가형 미분과적분 29번, 2016학년도 6월 수능모의평가 수학 B형 30번

2011학년도 수능(11월) 수리 가형 미분과적분 29번, 2016학년도 6월 수능모의평가 수학 B형 30번

문제에서 특정 조건을 만족하는 함수에 대한 적분의 최댓값과 최솟값을 구하는 문제이다.

다음은 2011학년도 수능 수리 가형 미분과적분 29번 문제이다.

실수 전체의 집합에서 미분가능하고, 다음 조건을 만족시키는 모든 함수 $f(x)$에 대하여 $\displaystyle\int_{0}^{2}{f(x)dx}$의 최솟값은? [4점] (가) $f(0)=1$, $f'(0)=1$ (나) $0<a<b<2$이면 $f'(a)\leq f'(b)$ (다) 구간 $(0,\,1)$에서 $f''(x)=e^{x}$ 풀이: 우선 구간 $[0,\,1]$에서 함수 $f(x)$를 구하자. 조건 (다)에서 구간 $(0,\,1)$에서 $f''(x)=e^{x}$이고 조건 (가)에서 $f'(0)=1$이므로 구간 $[0,\,1]$에서 $f'(x)=e^{x}$이고 이는 조건 (나)에 위배되지 않는다. 또한 조건 (가)에서 $f(0)=1$이므로 따라서 구간 $[0,\,1]$에서 $f(x)=e^{x}$이다. 이제 구간 $[1,\,2]$에서 함수 $f(x)$를 구해야 하는데 문제는 $[0,\,2]$에서 함수 $f(x)$에 대한 정보가 없고 $f'(x)$에 대한 정보만 주어져 있다. 함수 $f(x)$는 실수 전체에서 미분가능하기 때문에 $[1,\,2]$에서 $f(x)=e^{x}$이거나 점 $(1,\,e)$에서의 접선의 방정식인 $y=ex$가 함수 $f(x)$이어야 한다. 이때 $y=ex$와 $y=e^{x}$는 조건 (나)를 만족시키고 $[1,\,2]$에서 $e^{x}\geq ex$이므로 따라서 $\displaystyle\int_{0}^{2}{f(x)dx}$의 최솟값은 다음과 같다. $$\int_{0}^{2}{f(x)dx}=\int_{0}^{1}{e^{x}dx}+\int_{1}^{2}{exdx}=(e-1)+\frac{4-1}{2}e=\frac{5}{2}e-1$$

다음은 2016학년도 6월 모의평가 수학 B형 30번 문제이다.

정의역이 $\{x\,|\,0\leq x\leq 8\}$이고 다음 조건을 만족시키는 모든 연속함수 $f(x)$에 대하여 $\displaystyle\int_{0}^{8}{f(x)dx}$의 최댓값은 $\displaystyle p+\frac{q}{\ln2}$이다. $p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$, $q$는 자연수이고, $\ln2$는 무리수이다.) [4점] (가) $f(0)=1$이고 $f(8)\leq100$이다. (나) $0\leq k\leq7$인 각각의 정수 $k$에 대하여 $$f(k+t)=f(k)\,(0<t\leq1)$$ 또는 $$f(k+t)=2^{t}\times f(k)\,(0<t\leq1)$$ 이다. (다) 열린 구간 $(0,\,8)$에서 함수 $f(x)$가 미분가능하지 않은 점의 개수는 $2$이다. 풀이: 조건 (나)로부터 $0\leq k\leq7$인 각각의 정수 $k$에 대하여 함수 $f(x)$는 구간 $[k,\,k+1]$에서 상수함수이거나 밑이 $2$인 지수함수이다. 조건 (가)에서 $f(8)\leq100$이고 $2^{6}=64\leq100$이므로 함수 $f(x)$의 최댓값은 $64$이고 조건 (다)에서 $(0,\,8)$에서 함수 $f(x)$의 미분가능하지 않은 점의 개수가 $2$이고 밑이 $1$보다 큰 지수함수는 항상 증가해서 수평접선을 갖지 않기 때문에 문제에서 요구하는 함수 $f(x)$는 상수함수-지수함수-상수함수 순으로 나타나야 한다. $f(0)=1$이므로 구간 $[0,\,1]$에서 $f(x)=1$이고, $f(x)$의 최댓값이 $64$이고 점 $(1,\,1)$을 지나므로 구간 $[1,\,7]$에서 $f(x)=2^{x-1}$, 점 $(7,\,64)$를 지나므로 구간 $[7,\,8]$에서 $f(x)=64$이어야 한다. 즉 $$f(x)=\begin{cases}1\,&(0\leq x<1)\\2^{x-1}\,&(1\leq x<7)\\64\,&(7\leq x\leq8)\end{cases}$$ 따라서 $\displaystyle\int_{0}^{8}{f(x)dx}$의 최댓값은 다음과 같다. $$\int_{0}^{8}{f(x)dx}=\int_{0}^{1}{1dx}+\int_{1}^{7}{2^{x-1}dx}+\int_{7}^{8}{64dx}=1+\frac{2^{6}-1}{\ln2}+64=65+\frac{63}{\ln2}$$ 그러면 $p=65$, $q=63$이므로 따라서 $p+q=65+63=128$이다.