[미적분] 2015학년도 6월 수능모의평가 수학 B형 30번, 2015학년도 9월 수능모의평가 수학 B형 30번

[미적분] 2015학년도 6월 수능모의평가 수학 B형 30번, 2015학년도 9월 수능모의평가 수학 B형 30번

이 문제들은 문제에서 주어진 조건을 이용하여 단서를 찾고 적분값을 구하는 문제이다.

다음은 2015학년도 6월 모의평가 수학 B형 30번 문제이다.

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 모든 실수 $x$에 대하여 $1\leq f'(x)\leq 3$이다. (나) 모든 정수 $n$에 대하여 함수 $y=f(x)$의 그래프는 점 $(4n,\,8n)$, 점 $(4n+1,\,8n+2)$, 점 $(4n+2,\,8n+5)$, 점 $(4n+3,\,8n+7)$을 모두 지난다. (다) 모든 정수 $k$에 대하여 닫힌구간 $[2k,\,2k+1]$에서 함수 $y=f(x)$의 그래프는 각각 이차함수의 그래프의 일부이다.  $\displaystyle\int_{3}^{6}{f(x)dx}=a$라 할 때, $6a$의 값을 구하시오. [4점] 풀이: 문제에서 요구하는 것은 적분 $\displaystyle\int_{3}^{6}{f(x)dx}$이므로 구간 $[3,\,6]$에서 함수 $f(x)$의 형태가 어떤지만 알면 된다. 조건 (나)에서 $n=0$일 때 점 $(3,\,7)$을 지나고 $n=1$일 때 점 $(4,\,8)$, $(5,\,10)$, $(6,\,13)$을 지난다. 또한 조건 (다)에서 $k=2$일 때 닫힌구간 $[4,\,5]$에서 함수 $y=f(x)$의 그래프는 이차함수이다. 두 점 $(3,\,7)$과 $(4,\,8)$을 잇는 직선의 방정식은 $y=x+4$이고 기울기는 $1$, 두 점 $(5,\,10)$과 $6,\,13$을 잇는 직선의 방정식은 $y=3x-5$이고 기울기는 $3$이다. 함수 $f(x)$는 실수 전체에서 미분가능하고 조건 (가)에서 $1\leq f'(x)\leq 3$이어야 한다. 그러면 $f'(4)=1$이고 $f'(5)=3$이어야 하고 $[4,\,5]$에서 $f'(x)=ax+b\,(a\neq0)$이라 하면 두 개의 식 $4a+b=1$, $5a+b=3$을 연립하면 $a=2$, $b=-7$이어야 하므로 $f'(x)=2x-7$이다. 또한 점 $(4,\,8)$또는 $(5,\,10)$을 지나므로 $f(x)=x^{2}-7x+C$라 하면 $8=4^{2}-7\cdot4+C=-12+C$이므로 $C=20$이고 따라서 $[4,\,5]$에서 $f(x)=x^{2}-7x+20$이다. 그러면 구간 $[3,\,6]$에서 함수 $f(x)$는 다음과 같다. $$f(x)=\begin{cases}x+4\,&(3\leq x<4)\\x^{2}-7x+20\,&(4\leq x<5)\\3x-5\,&(5\leq x\leq 6)\end{cases}$$ 따라서 $\displaystyle\int_{3}^{6}{f(x)dx}=\int_{3}^{4}{(x+4)dx}+\int_{4}^{5}{(x^{2}-7x+20)dx}+\int_{5}^{6}{(3x-5)dx}$이고 $\displaystyle\int_{3}^{4}{(x+4)dx}=\frac{7+8}{2}=\frac{15}{2}$, $\displaystyle\int_{5}^{6}{(3x-5)dx}=\frac{10+13}{2}=\frac{23}{2}$ $\displaystyle\int_{4}^{5}{(x^{2}-7x+20)dx}=\frac{125-64}{3}-7\frac{25-16}{2}+20=\frac{61}{3}-\frac{63}{2}+20=\frac{61}{3}-\frac{23}{2}=\frac{122-69}{6}=\frac{53}{6}$이므로 $\displaystyle a=\int_{3}^{6}{f(x)dx}=\frac{15}{2}+\frac{53}{6}+\frac{23}{2}=\frac{53}{6}+19=\frac{53+114}{6}=\frac{167}{6}$이고 따라서 $6a=167$이다.

단서를 찾았더라도 이차함수를 적분하는 과정에서 계산실수를 할 수 있다.

 

다음은 2015학년도 9월 모의평가 수학 B형 30번 문제이다.

양의 실수 전체의 집합에서 감소하고 연속인 함수 $f(x)$가 다음 조건을 만족시킨다. (가) 모든 양의 실수 $x$에 대하여 $f(x)>0$이다. (나) 임의의 양의 실수 $t$에 대하여 세 점 $(0,\,0)$, $(t,\,f(t))$, $(t+1,\,f(t+1))$을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이가 $\displaystyle\frac{t+1}{t}$이다. (다) $\displaystyle\int_{1}^{2}{\frac{f(x)}{x}dx}=2$ $\displaystyle\int_{\frac{7}{2}}^{\frac{11}{2}}{\frac{f(x)}{x}dx}=\frac{q}{p}$라 할 때, $p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) [4점] 풀이: 조건 (가)와 (나)로부터 세 점 $(0,\,0)$, $(t,\,f(t))$, $(t+1,\,f(t+1))$을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이를 구하면(왼쪽그림 참고) $\displaystyle\left(\frac{1}{2}tf(t)+\frac{1}{2}\left[f(t)+f(t+1)\right]\right)-\frac{1}{2}(t+1)f(t+1)=\frac{1}{2}(t+1)f(t)-\frac{1}{2}tf(t+1)=\frac{t+1}{t}$이고 식을 정리하면 $\displaystyle\frac{f(t)}{t}-\frac{f(t+1)}{t+1}=\frac{2}{t^{2}}$이다. 식 $\displaystyle\frac{f(t)}{t}-\frac{f(t+1)}{t+1}=\frac{2}{t^{2}}$의 양 변을 $1$부터 $x$까지 $t$에 대해 각각 적분하면 $\displaystyle\int_{1}^{x}{\frac{f(t)}{t}dt}-\int_{1}^{x}{\frac{f(t+1)}{t+1}dt}=\int_{1}^{x}{\frac{2}{t^{2}}dt}$이고 $\displaystyle\int_{1}^{x}{\frac{f(t)}{t}dt}-\int_{2}^{x+1}{\frac{f(t)}{t}}dt=2-\frac{2}{x}$이다. (1) $\displaystyle x=\frac{9}{2}$를 대입하면 $\displaystyle\int_{1}^{\frac{2}{9}}{\frac{f(t)}{t}dt}-\int_{2}^{\frac{11}{2}}{\frac{f(t)}{t}dt}=2-\frac{4}{9}=\frac{14}{9}$이고 $\displaystyle\int_{1}^{\frac{2}{9}}{\frac{f(t)}{t}dt}-\int_{2}^{\frac{11}{2}}{\frac{f(t)}{t}dt}=\int_{1}^{2}{\frac{f(t)}{t}dt}-\int_{\frac{2}{9}}^{\frac{2}{11}}{\frac{f(t)}{t}dt}=2-\int_{\frac{2}{9}}^{\frac{2}{11}}{\frac{f(t)}{t}dt}=\frac{14}{9}$이므로 $\displaystyle\int_{\frac{9}{2}}^{\frac{11}{2}}{\frac{f(t)}{t}dt}=2-\frac{14}{9}=\frac{4}{9}$이다. (2) $\displaystyle x=\frac{7}{2}$를 대입하면 $\displaystyle\int_{1}^{\frac{7}{2}}{\frac{f(t)}{t}dt}-\int_{2}^{\frac{9}{2}}{\frac{f(t)}{t}dt}=2-\frac{4}{7}=\frac{10}{7}$이고 $\displaystyle\int_{1}^{\frac{7}{2}}{\frac{f(t)}{t}dt}-\int_{2}^{\frac{9}{2}}{\frac{f(t)}{t}dt}=\int_{1}^{2}{\frac{f(t)}{t}dt}-\int_{2}^{\frac{7}{2}}{\frac{f(t)}{t}dt}=2-\int_{2}^{\frac{7}{2}}{\frac{f(t)}{t}dt}=\frac{10}{7}$이므로 $\displaystyle\int_{\frac{7}{2}}^{\frac{9}{2}}{\frac{f(t)}{t}dt}=2-\frac{10}{7}=\frac{4}{7}$이다. 따라서 $\displaystyle\int_{\frac{7}{2}}^{\frac{11}{2}}{\frac{f(x)}{x}dx}=\int_{\frac{7}{2}}^{\frac{9}{2}}{\frac{f(x)}{x}dx}+\int_{\frac{2}{9}}^{\frac{2}{11}}{\frac{f(x)}{x}dx}=\frac{4}{7}+\frac{4}{9}=\frac{64}{63}$이므로 $p+q=63+64=127$이다.

조건 (가)와 (나)를 이용하여 $\frac{f(t)}{t}-\frac{f(t+1)}{t+1}=\frac{2}{t^{2}}$식을 얻은 다음 이 식을 1부터 $x$까지 적분한 후, $\displaystyle x=\frac{7}{2}$과 $x=\frac{9}{2}$를 적분한 식에 대입한다.