[미적분] 2015학년도 6월 수능모의평가 수학 B형 30번, 2015학년도 9월 수능모의평가 수학 B형 30번
이 문제들은 문제에서 주어진 조건을 이용하여 단서를 찾고 적분값을 구하는 문제이다.
다음은 2015학년도 6월 모의평가 수학 B형 30번 문제이다.
실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 \(f(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다.
\(\displaystyle\int_{3}^{6}{f(x)dx}=a\)라 할 때, \(6a\)의 값을 구하시오. [4점] 풀이: 문제에서 요구하는 것은 적분 \(\displaystyle\int_{3}^{6}{f(x)dx}\)이므로 구간 \([3,\,6]\)에서 함수 \(f(x)\)의 형태가 어떤지만 알면 된다. 조건 (나)에서 \(n=0\)일 때 점 \((3,\,7)\)을 지나고 \(n=1\)일 때 점 \((4,\,8)\), \((5,\,10)\), \((6,\,13)\)을 지난다. 또한 조건 (다)에서 \(k=2\)일 때 닫힌구간 \([4,\,5]\)에서 함수 \(y=f(x)\)의 그래프는 이차함수이다. 두 점 \((3,\,7)\)과 \((4,\,8)\)을 잇는 직선의 방정식은 \(y=x+4\)이고 기울기는 \(1\), 두 점 \((5,\,10)\)과 \(6,\,13\)을 잇는 직선의 방정식은 \(y=3x-5\)이고 기울기는 \(3\)이다. 함수 \(f(x)\)는 실수 전체에서 미분가능하고 조건 (가)에서 \(1\leq f'(x)\leq 3\)이어야 한다. 그러면 \(f'(4)=1\)이고 \(f'(5)=3\)이어야 하고 \([4,\,5]\)에서 \(f'(x)=ax+b\,(a\neq0)\)이라 하면 두 개의 식 \(4a+b=1\), \(5a+b=3\)을 연립하면 \(a=2\), \(b=-7\)이어야 하므로 \(f'(x)=2x-7\)이다. 또한 점 \((4,\,8)\)또는 \((5,\,10)\)을 지나므로 \(f(x)=x^{2}-7x+C\)라 하면 \(8=4^{2}-7\cdot4+C=-12+C\)이므로 \(C=20\)이고 따라서 \([4,\,5]\)에서 \(f(x)=x^{2}-7x+20\)이다. 그러면 구간 \([3,\,6]\)에서 함수 \(f(x)\)는 다음과 같다. $$f(x)=\begin{cases}x+4\,&(3\leq x<4)\\x^{2}-7x+20\,&(4\leq x<5)\\3x-5\,&(5\leq x\leq 6)\end{cases}$$ 따라서 \(\displaystyle\int_{3}^{6}{f(x)dx}=\int_{3}^{4}{(x+4)dx}+\int_{4}^{5}{(x^{2}-7x+20)dx}+\int_{5}^{6}{(3x-5)dx}\)이고 \(\displaystyle\int_{3}^{4}{(x+4)dx}=\frac{7+8}{2}=\frac{15}{2}\), \(\displaystyle\int_{5}^{6}{(3x-5)dx}=\frac{10+13}{2}=\frac{23}{2}\) \(\displaystyle\int_{4}^{5}{(x^{2}-7x+20)dx}=\frac{125-64}{3}-7\frac{25-16}{2}+20=\frac{61}{3}-\frac{63}{2}+20=\frac{61}{3}-\frac{23}{2}=\frac{122-69}{6}=\frac{53}{6}\)이므로 \(\displaystyle a=\int_{3}^{6}{f(x)dx}=\frac{15}{2}+\frac{53}{6}+\frac{23}{2}=\frac{53}{6}+19=\frac{53+114}{6}=\frac{167}{6}\)이고 따라서 \(6a=167\)이다. |
단서를 찾았더라도 이차함수를 적분하는 과정에서 계산실수를 할 수 있다.
다음은 2015학년도 9월 모의평가 수학 B형 30번 문제이다.
양의 실수 전체의 집합에서 감소하고 연속인 함수 \(f(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다.
\(\displaystyle\int_{\frac{7}{2}}^{\frac{11}{2}}{\frac{f(x)}{x}dx}=\frac{q}{p}\)라 할 때, \(p+q\)의 값을 구하시오. (단, \(p\)와 \(q\)는 서로소인 자연수이다.) [4점] 풀이: 조건 (가)와 (나)로부터 세 점 \((0,\,0)\), \((t,\,f(t))\), \((t+1,\,f(t+1))\)을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이를 구하면(왼쪽그림 참고) \(\displaystyle\left(\frac{1}{2}tf(t)+\frac{1}{2}\left[f(t)+f(t+1)\right]\right)-\frac{1}{2}(t+1)f(t+1)=\frac{1}{2}(t+1)f(t)-\frac{1}{2}tf(t+1)=\frac{t+1}{t}\)이고 식을 정리하면 \(\displaystyle\frac{f(t)}{t}-\frac{f(t+1)}{t+1}=\frac{2}{t^{2}}\)이다. 식 \(\displaystyle\frac{f(t)}{t}-\frac{f(t+1)}{t+1}=\frac{2}{t^{2}}\)의 양 변을 \(1\)부터 \(x\)까지 \(t\)에 대해 각각 적분하면 \(\displaystyle\int_{1}^{x}{\frac{f(t)}{t}dt}-\int_{1}^{x}{\frac{f(t+1)}{t+1}dt}=\int_{1}^{x}{\frac{2}{t^{2}}dt}\)이고 \(\displaystyle\int_{1}^{x}{\frac{f(t)}{t}dt}-\int_{2}^{x+1}{\frac{f(t)}{t}}dt=2-\frac{2}{x}\)이다. (1) \(\displaystyle x=\frac{9}{2}\)를 대입하면 \(\displaystyle\int_{1}^{\frac{2}{9}}{\frac{f(t)}{t}dt}-\int_{2}^{\frac{11}{2}}{\frac{f(t)}{t}dt}=2-\frac{4}{9}=\frac{14}{9}\)이고 \(\displaystyle\int_{1}^{\frac{2}{9}}{\frac{f(t)}{t}dt}-\int_{2}^{\frac{11}{2}}{\frac{f(t)}{t}dt}=\int_{1}^{2}{\frac{f(t)}{t}dt}-\int_{\frac{2}{9}}^{\frac{2}{11}}{\frac{f(t)}{t}dt}=2-\int_{\frac{2}{9}}^{\frac{2}{11}}{\frac{f(t)}{t}dt}=\frac{14}{9}\)이므로 \(\displaystyle\int_{\frac{9}{2}}^{\frac{11}{2}}{\frac{f(t)}{t}dt}=2-\frac{14}{9}=\frac{4}{9}\)이다. (2) \(\displaystyle x=\frac{7}{2}\)를 대입하면 \(\displaystyle\int_{1}^{\frac{7}{2}}{\frac{f(t)}{t}dt}-\int_{2}^{\frac{9}{2}}{\frac{f(t)}{t}dt}=2-\frac{4}{7}=\frac{10}{7}\)이고 \(\displaystyle\int_{1}^{\frac{7}{2}}{\frac{f(t)}{t}dt}-\int_{2}^{\frac{9}{2}}{\frac{f(t)}{t}dt}=\int_{1}^{2}{\frac{f(t)}{t}dt}-\int_{2}^{\frac{7}{2}}{\frac{f(t)}{t}dt}=2-\int_{2}^{\frac{7}{2}}{\frac{f(t)}{t}dt}=\frac{10}{7}\)이므로 \(\displaystyle\int_{\frac{7}{2}}^{\frac{9}{2}}{\frac{f(t)}{t}dt}=2-\frac{10}{7}=\frac{4}{7}\)이다. 따라서 \(\displaystyle\int_{\frac{7}{2}}^{\frac{11}{2}}{\frac{f(x)}{x}dx}=\int_{\frac{7}{2}}^{\frac{9}{2}}{\frac{f(x)}{x}dx}+\int_{\frac{2}{9}}^{\frac{2}{11}}{\frac{f(x)}{x}dx}=\frac{4}{7}+\frac{4}{9}=\frac{64}{63}\)이므로 \(p+q=63+64=127\)이다. |
조건 (가)와 (나)를 이용하여 \(\frac{f(t)}{t}-\frac{f(t+1)}{t+1}=\frac{2}{t^{2}}\)식을 얻은 다음 이 식을 1부터 \(x\)까지 적분한 후, \(\displaystyle x=\frac{7}{2}\)과 \(x=\frac{9}{2}\)를 적분한 식에 대입한다.
