[벡터] 2014학년도 수능 예비시행 수학 B형 28번, 2014학년도 9월 수능 모의평가 수학 B형 28번
점 \((x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\)을 지나고 방향벡터가 \(\vec{d}=(a,\,b,\,c)\)인 직선의 방정식은 \(\displaystyle\frac{x-x_{0}}{a}=\frac{y-y_{0}}{b}=\frac{z-z_{0}}{c}\)이다.
점 \((x_{0},\,y_{0},\,z_{0})\)을 지나고 법선벡터가 \(\vec{h}=(a,\,b,\,c)\)인 평면의 방정식은 \(a(x-x_{0})+b(y-y_{0})+c(z-z_{0})=0\)이다.
다음은 2014학년도 수능 예비시행 수학 B형 28번 문제이다.
좌표공간에서 세 직선$$x=-y=\frac{z}{2},\,x=y=\frac{z}{2a},\,x=-\frac{y}{2}=\frac{z}{a}$$가 같은 평면 위에 있을 때, \(20a\)의 값을 구하시오. (단, \(a\neq0\)이다.) [4점] 풀이: 문제의 세 직선이 있는 평면의 법선벡터를 \(\vec{h}=(\alpha,\,\beta,\,\gamma)\)라 하자. 세 직선의 방향벡터가 각각$$\vec{d_{1}}=(1,\,-1,\,2),\,\vec{d_{2}}=(1,\,1,\,2a),\,\vec{d_{3}}=(1,\,-2,\,a)$$이므로$$\vec{h}\cdot\vec{d_{1}}=\alpha-\beta+2\gamma=0\,(1)\\ \vec{h}\cdot\vec{d_{2}}=\alpha+\beta+2a\gamma=0\,(2)\\ \vec{h}\cdot\vec{d_{3}}=\alpha-2\beta+a\gamma=0\,(3)$$이다. (1)식과 (2)식을 서로 더하고 (2)식의 양 변에 2를 곱하고 (3)식을 더하면$$2\alpha+2(1+a)\gamma=0\,(1)'\\3\alpha+15a\gamma=0\,(2)'$$이다. (1)'식에 3을 곱하고 (2)'식에 2를 곱한 식을 서로 빼면$$(6-4a)\gamma=0$$이고 \(\displaystyle a=\frac{3}{2}\)이다. 그러므로 \(20a=30\)이다. |
다음은 2014학년도 9월 모의평가 수학 B형 28번 문제이다.
좌표공간에서 직선 \(\displaystyle l: x-1=\frac{y}{2}=1-z\)와 평면 \(\alpha\)가 점 \(\text{A}(1,\,0,\,1)\)에서 수직으로 만난다. 평면 \(\alpha\)위의 점 \(\text{B}(-1,\,a,\,a)\)와 직선 \(l\)위의 점 \(\text{C}\)에 대하여 삼각형 \(\text{ABC}\)가 이등변삼각형일 때, 점 \(\text{C}\)에서 원점까지의 거리는 \(d\)이다. \(d^{2}\)의 값을 구하시오. [4점] 풀이: 직선 \(\text{AB}\)는 직선 \(l\)과 수직이므로 \(\vec{\text{AB}}=(-2,\,a,\,a-1)\)과 직선 \(l\)의 방향벡터 \(\vec{d}=(1,\,2,\,-1)\)과의 내적값은 0이다. 즉 \((-2)\cdot1+a\cdot2+(a-1)\cdot(-1)=-2+2a-(a-1)=a-1=0\)이므로 \(a=1\)이고 \(\text{B}(-1,\,1,\,1)\)이다. 또한 \(\vec{\text{AB}}=(-2,\,1,\,0)\)이므로 \(\overline{\text{AB}}=\sqrt{(-2)^{2}+1^{2}+0^{2}}=\sqrt{5}\)이다. 직선 \(l\)을 매개변수 \(t\)에 대해 나타내면 \(x=t+1,\,y=2t,\,z=1-t\)이고 \(\text{C}(t+1,\,2t,\,1-t)\)라 하자. \(\overline{\text{AB}}=\overline{\text{AC}}\), \(\vec{\text{AC}}=(t,\,2t,\,-t)\)(\(t\)에 관계없이 \(\vec{\text{AB}}\cdot\vec{\text{AC}}=0\))이므로 \(\overline{\text{AC}}=\sqrt{t^{2}+(2t)^{2}+(-t)^{2}}=\sqrt{6}t=\sqrt{5}\)이고 \(\displaystyle t=\sqrt{\frac{5}{6}}\)이다. 그러면 원점에서 점 \(\text{C}\)까지의 거리는 \(\displaystyle d=\sqrt{(t+1)^{2}+(2t)^{2}+(1-t)^{2}}=\sqrt{6t^{2}+2}=\sqrt{7}\)이고 따라서 \(d^{2}=7\)이다. |
만약 이 문제가 수리논술 또는 서술형 문제로 출제되었다면 \(\overline{\text{AB}}\)와 \(\overline{\text{AC}}\)가 서로 수직임을 보여야 한다.
