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[벡터] 2014학년도 수능 예비시행 수학 B형 28번, 2014학년도 9월 수능 모의평가 수학 B형 28번


(x0,y0,z0)을 지나고 방향벡터가 d=(a,b,c)인 직선의 방정식은 xx0a=yy0b=zz0c이다.


(x0,y0,z0)을 지나고 법선벡터가 h=(a,b,c)인 평면의 방정식은 a(xx0)+b(yy0)+c(zz0)=0이다.


다음은 2014학년도 수능 예비시행 수학 B형 28번 문제이다.

좌표공간에서 세 직선x=y=z2,x=y=z2a,x=y2=za가 같은 평면 위에 있을 때, 20a의 값을 구하시오. (단, a0이다.) [4점]


풀이: 문제의 세 직선이 있는 평면의 법선벡터를 h=(α,β,γ)라 하자. 세 직선의 방향벡터가 각각d1=(1,1,2),d2=(1,1,2a),d3=(1,2,a)이므로hd1=αβ+2γ=0(1)hd2=α+β+2aγ=0(2)hd3=α2β+aγ=0(3)이다.


(1)식과 (2)식을 서로 더하고 (2)식의 양 변에 2를 곱하고 (3)식을 더하면2α+2(1+a)γ=0(1)3α+15aγ=0(2)이다. (1)'식에 3을 곱하고 (2)'식에 2를 곱한 식을 서로 빼면(64a)γ=0이고 a=32이다. 그러므로 20a=30이다.


다음은 2014학년도 9월 모의평가 수학 B형 28번 문제이다.

좌표공간에서 직선 l:x1=y2=1z와 평면 α가 점 A(1,0,1)에서 수직으로 만난다. 평면 α위의 점 B(1,a,a)와 직선 l위의 점 C에 대하여 삼각형 ABC가 이등변삼각형일 때, 점 C에서 원점까지의 거리는 d이다. d2의 값을 구하시오. [4점]



풀이: 직선 AB는 직선 l과 수직이므로 AB=(2,a,a1)과 직선 l의 방향벡터 d=(1,2,1)과의 내적값은 0이다. 즉 (2)1+a2+(a1)(1)=2+2a(a1)=a1=0이므로 a=1이고 B(1,1,1)이다. 또한 AB=(2,1,0)이므로 ¯AB=(2)2+12+02=5이다.

직선 l을 매개변수 t에 대해 나타내면 x=t+1,y=2t,z=1t이고 C(t+1,2t,1t)라 하자. ¯AB=¯AC, AC=(t,2t,t)(t에 관계없이 ABAC=0)이므로 ¯AC=t2+(2t)2+(t)2=6t=5이고 t=56이다. 그러면 원점에서 점 C까지의 거리는 d=(t+1)2+(2t)2+(1t)2=6t2+2=7이고 따라서 d2=7이다.

만약 이 문제가 수리논술 또는 서술형 문제로 출제되었다면 ¯AB¯AC가 서로 수직임을 보여야 한다.

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Posted by skywalker222