[벡터] 2014학년도 수능 예비시행 수학 B형 28번, 2014학년도 9월 수능 모의평가 수학 B형 28번
점 (x0,y0,z0)을 지나고 방향벡터가 →d=(a,b,c)인 직선의 방정식은 x−x0a=y−y0b=z−z0c이다.
점 (x0,y0,z0)을 지나고 법선벡터가 →h=(a,b,c)인 평면의 방정식은 a(x−x0)+b(y−y0)+c(z−z0)=0이다.
다음은 2014학년도 수능 예비시행 수학 B형 28번 문제이다.
좌표공간에서 세 직선x=−y=z2,x=y=z2a,x=−y2=za가 같은 평면 위에 있을 때, 20a의 값을 구하시오. (단, a≠0이다.) [4점] 풀이: 문제의 세 직선이 있는 평면의 법선벡터를 →h=(α,β,γ)라 하자. 세 직선의 방향벡터가 각각→d1=(1,−1,2),→d2=(1,1,2a),→d3=(1,−2,a)이므로→h⋅→d1=α−β+2γ=0(1)→h⋅→d2=α+β+2aγ=0(2)→h⋅→d3=α−2β+aγ=0(3)이다. (1)식과 (2)식을 서로 더하고 (2)식의 양 변에 2를 곱하고 (3)식을 더하면2α+2(1+a)γ=0(1)′3α+15aγ=0(2)′이다. (1)'식에 3을 곱하고 (2)'식에 2를 곱한 식을 서로 빼면(6−4a)γ=0이고 a=32이다. 그러므로 20a=30이다. |
다음은 2014학년도 9월 모의평가 수학 B형 28번 문제이다.
좌표공간에서 직선 l:x−1=y2=1−z와 평면 α가 점 A(1,0,1)에서 수직으로 만난다. 평면 α위의 점 B(−1,a,a)와 직선 l위의 점 C에 대하여 삼각형 ABC가 이등변삼각형일 때, 점 C에서 원점까지의 거리는 d이다. d2의 값을 구하시오. [4점] 풀이: 직선 AB는 직선 l과 수직이므로 →AB=(−2,a,a−1)과 직선 l의 방향벡터 →d=(1,2,−1)과의 내적값은 0이다. 즉 (−2)⋅1+a⋅2+(a−1)⋅(−1)=−2+2a−(a−1)=a−1=0이므로 a=1이고 B(−1,1,1)이다. 또한 →AB=(−2,1,0)이므로 ¯AB=√(−2)2+12+02=√5이다. 직선 l을 매개변수 t에 대해 나타내면 x=t+1,y=2t,z=1−t이고 C(t+1,2t,1−t)라 하자. ¯AB=¯AC, →AC=(t,2t,−t)(t에 관계없이 →AB⋅→AC=0)이므로 ¯AC=√t2+(2t)2+(−t)2=√6t=√5이고 t=√56이다. 그러면 원점에서 점 C까지의 거리는 d=√(t+1)2+(2t)2+(1−t)2=√6t2+2=√7이고 따라서 d2=7이다. |
만약 이 문제가 수리논술 또는 서술형 문제로 출제되었다면 ¯AB와 ¯AC가 서로 수직임을 보여야 한다.