[공간도형] 2014학년도 수능 예비시행 수학 B형 30번, 2015학년도 9월 수능모의평가 수학 B형 29번

[공간도형] 2014학년도 수능 예비시행 수학 B형 30번, 2015학년도 9월 수능모의평가 수학 B형 29번

공간도형 문제는 보통 정사영과 관련된 문제이지만 도형이 복잡하게(?) 주어져서 가장 어렵게 느끼는 문제다.

다음은 2014학년도 예비시행 수학 B형 30번 문제이다.

반지름의 길이가 \(2\)인 구의 중심 \(\text{O}\)를 지나는 평면을 \(\alpha\)라 하고, 평면 \(\alpha\)와 이루는 각이 \(45^{\circ}\)인 평면을 \(\beta\)라 하자. 평면 \(\alpha\)와 구가 만나서 생기는 원을 \(C_{1}\), 평면 \(\beta\)와 구가 만나서 생기는 원을 \(C_{2}\)라 하자. 원 \(C_{2}\)의 중심 \(\text{A}\)와 평면 \(\alpha\) 사이의 거리가 \(\displaystyle\frac{\sqrt{6}}{2}\)일 때, 그림과 같이 다음 조건을 만족하도록 원 \(C_{1}\)위에 점 \(\text{P}\), 원 \(C_{2}\)위에 두 점 \(\text{Q}\), \(\text{R}\)를 잡는다. (가) \(\angle\text{QAR}=90^{\circ}\) (나) 직선 \(\text{OP}\)와 직선 \(\text{AQ}\)는 서로 평행하다. 평면 \(\text{PQR}\)와 평면 \(\text{AQPO}\)가 이루는 각을 \(\theta\)라 할 때, \(\displaystyle\cos^{2}\theta=\frac{q}{p}\)이다. \(p+q\)의 값을 구하시오. (단, \(p\)와 \(q\)는 서로소인 자연수이다.) [4점] 풀이: 구의 반지름이 \(2\)이므로 \(\overline{\text{OR}}=\overline{\text{OQ}}=2\)이고 직선 \(\text{OA}\)는 평면 \(\beta\)와 수직이므로 \(\displaystyle\overline{\text{OA}}=\frac{\sqrt{6}}{2}\times\sqrt{2}=\sqrt{3}\)이다. 평면 \(\text{AQR}\)은 평면 \(\beta\)위에 있으므로 직선 \(\text{OA}\)와 수직이다. \(\overline{\text{OA}}=\sqrt{3}\), \(\overline{\text{OQ}}=2\), \(\angle\text{OAQ}=90^{\circ}\)이므로 \(\overline{\text{AQ}}=1\)이고 점 \(\text{A}\)는 원 \(C_{2}\)의 중심, 점 \(\text{R}\), \(\text{Q}\)는 원 \(C_{2}\)위의 점이므로 \(\overline{\text{AR}}=\overline{\text{AQ}}=1\)이고 \(\overline{\text{QR}}=\sqrt{2}\)이다. 왼쪽은 평면 \(\text{PQR}\)과 평면 \(\text{AQPO}\)이다. 직선 \(\text{PR}\)의 평면 \(\text{AQPO}\)위로의 정사영은 직선 \(\text{PA}\)이다. 그러면 평면 \(\text{PQR}\)의 평면 \(\text{AQPO}\)위로의 정사영은 평면 \(\text{AQP}\)이다. 평면 \(\text{PQR}\)의 넓이를 구하면 \(\displaystyle\frac{1}{2}\times\sqrt{2}\times\frac{\sqrt{14}}{2}=\frac{\sqrt{7}}{2}\)이고 평면 \(\text{AQP}\)의 넓이를 구하면 \(\displaystyle\frac{1}{2}\times1\times\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)이다. 따라서 \(\displaystyle\cos\theta=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{7}}{2}}=\sqrt{\frac{3}{7}}\)이고 \(\displaystyle\cos^{2}\theta=\frac{3}{7}\)이므로 \(p+q=7+3=10\)이다.

다음은 2015학년도 9월 모의평가 수학 B형 29번 문제이다.

그림과 같이 평면 \(\alpha\)위에 놓여 있는 서로 다른 네 구 \(S\), \(S_{1}\), \(S_{2}\), \(S_{3}\)이 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(S\)의 반지름의 길이는 \(3\)이고, \(S_{1}\), \(S_{2}\), \(S_{3}\)의 반지름의 길이는 \(1\)이다. (나) \(S_{1}\), \(S_{2}\), \(S_{3}\)은 모두 \(S\)에 접한다. (다) \(S_{1}\)은 \(S_{2}\)와 접하고, \(S_{2}\)는 \(S_{3}\)에 접한다. \(S_{1}\), \(S_{2}\), \(S_{3}\)의 중심을 각각 \(\text{O}_{1}\), \(\text{O}_{2}\), \(\text{O}_{3}\)이라 하자. 두 점 \(\text{O}_{1}\), \(\text{O}_{2}\)를 지나고 평면 \(\alpha\)에 수직인 평면을 \(\beta\), 두 점 \(\text{O}_{2}\), \(\text{O}_{3}\)을 지나고 평면 \(\alpha\)에 수직인 평면이 \(S_{3}\)과 만나서 생기는 단면을 \(D\)라 하자. 단면 \(D\)의 평면 \(\beta\)위로의 정사영의 넓이를 \(\displaystyle\frac{q}{p}\pi\)라 할 때, \(p+q\)의 값을 구하시오. (단, \(p\)와 \(q\)는 서로소인 자연수이다.) [4점]   풀이: \(\text{O}\), \(\text{O}_{1}\), \(\text{O}_{2}\), \(\text{O}_{3}\)의 평면 \(\alpha\)위로의 정사영을 \(\text{O}'\), \(\text{O}_{1}'\), \(\text{O}_{2}'\), \(\text{O}_{3}'\)이라 하자. \(\overline{\text{OO}_{i}'}=1\,(i=1,\,2,\,3)\), \(\overline{\text{OO}'}=3\)이므로 \(\overline{\text{O}_{i}\text{O}'}=\sqrt{(3+1)^{2}-(3-1)^{2}}=\sqrt{16-4}=2\sqrt{3}\)이다. 왼쪽 그림은 구 \(S\), \(S_{1}\), \(S_{2}\), \(S_{3}\)을 평면 \(\alpha\)위에서 바라본 모습이다. 구 \(S_{1}\)과 \(S_{2}\)의 접점을 \(\text{M}_{1}\), 구 \(S_{2}\)와 \(S_{3}\)의 접점을 \(\text{M}_{2}\), 점 \(\text{M}_{1}\)과 \(\text{M}_{2}\)의 평면 \(\alpha\)로의 정사영을 \(\text{M}_{1}'\), \(\text{M}_{2}'\), 점 \(\text{O}\), \(\text{M}_{2}\), \(\text{M}_{2}'\)를 지나는 평면이 평면 \(\alpha\)와 \(\beta\)와 동시에 만나는 점을 \(\text{C}\)라 하자. \(\overline{\text{O}'\text{O}_{1}'}=\overline{\text{O}'\text{O}_{2}'}=\overline{\text{O}'\text{O}_{3}'}=2\sqrt{3}\)이고 구 \(S_{1}\), \(S_{2}\), \(S_{3}\)의 반지름이 \(1\)이므로 \(\overline{\text{O}'\text{M}_{1}'}=\sqrt{\left(\overline{\text{O}_{1}'\text{O}'}\right)^{2}-\left(\overline{\text{O}_{1}'\text{M}_{1}'}\right)^{2}}=\sqrt{(2\sqrt{3})^{2}-1}=\sqrt{11}\)이고 \(\angle\text{O}'\text{O}_{2}'\text{M}_{1}'=\angle\text{O}'\text{O}_{2}'\text{M}_{2}'\)이므로 \(\angle\text{O}'\text{O}_{2}'\text{M}_{1}'=\theta\)라 하면 \(\displaystyle\tan\theta=\frac{\overline{\text{M}_{2}'\text{O}_{2}'}}{\overline{\text{O}'\text{M}_{2}'}}=\frac{1}{\sqrt{11}}\)이므로 \(\displaystyle\tan2\theta=\frac{2\tan\theta}{1-\tan^{2}\theta}=\frac{\sqrt{11}}{5}\)이고 \(\displaystyle\overline{\text{M}_{1}'\text{C}}=\overline{\text{O}'\text{M}_{1}'}\tan2\theta=\sqrt{11}\times\frac{\sqrt{11}}{5}=\frac{11}{5}\)이다. 그러면 \(\displaystyle\overline{\text{O}_{2}'\text{C}}=\frac{11}{5}-1=\frac{6}{5}\)이고 \(\overline{\text{M}_{2}'\text{O}_{2}'}=1\)이므로 \(\displaystyle\cos(\angle\text{M}_{2}'\text{O}_{2}'\text{C})=\frac{\overline{\text{M}_{2}'\text{O}_{2}'}}{\overline{\text{O}_{2}'\text{C}}}=\frac{1}{\frac{6}{5}}=\frac{5}{6}\)이고 이때 평면 \(\beta\)와 단면 \(D\)가 이루는 각이 \(\angle\text{M}_{2}'\text{O}_{2}'\text{C}\)와 같으므로 단면 \(D\)의 평면 \(\beta\)위로의 정사영의 넓이는 \(\displaystyle1^{2}\pi\times\cos(\angle\text{M}_{2}'\text{O}_{2}'\text{C})=\frac{5}{6}\pi\)이고 따라서 \(p+q=6+5=11\)이다.

이 문제는 공간도형 문제 중 가장 어려운 축에 속하는 문제이다.