[공간도형] 2011학년도 수능(11월) 수리 가형 11번, 2014학년도 9월 수능모의평가 수학 B형 19번

[공간도형] 2011학년도 수능(11월) 수리 가형 11번, 2014학년도 9월 수능모의평가 수학 B형 19번

공간도형 문제는 보통 정사영의 넓이 또는 이면각에 대한 삼각함수값을 묻는 문제로 출제된다.

다음은 2011학년도 수능 수리 가형 11번 문제이다.

그림과 같이 중심 사이의 거리가 \(\sqrt{3}\)이고 반지름의 길이가 \(1\)인 두 원판과 평면 \(\alpha\)가 있다. 각 원판의 중심을 지나는 직선 \(l\)은 두 원판의 면과 각각 수직이고, 평면 \(\alpha\)와 이루는 각의 크기가 \(60^{\circ}\)이다. 태양광선이 그림과 같이 평면 \(\alpha\)에 수직인 방향으로 비출 때, 두 원판에 의해 평면 \(\alpha\)에 생기는 그림자의 넓이는? (단, 원판의 두께는 무시한다.) [4점] 풀이: 두 원판은 직선 \(l\)과 수직이므로 평행하다. 이 두 원판을 겹치면 다음과 같다. 겹쳐진 부분의 넓이를 구하면 \(\displaystyle2\left(\frac{2}{3}\pi+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\sqrt{3}\right)=\frac{4}{3}\pi+\frac{\sqrt{3}}{2}\)이다. 직선 \(l\)과 원판은 수직이고 직선 \(l\)이 평면 \(\alpha\)와 이루는 각도가 \(60^{\circ}\)이므로 원판이 평면 \(\alpha\)와 이루는 각도는 \(30^{\circ}\)이고 따라서 두 원판에 의해 평면 \(\alpha\)에 생기는 그림자의 넓이는 \(\displaystyle\left(\frac{4}{3}\pi+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\cos30^{\circ}=\frac{2\sqrt{3}}{3}\pi+\frac{3}{4}\)이다.

다음은 2014학년도 9월 모의평가 수학 B형 19번 문제이다.

좌표공간에서 \(y\)축을 포함하는 평면 \(\alpha\)에 대하여 \(xy\)평면 위의 원 \(C_{1}:\,(x-10)^{2}+y^{2}=3\)의 평면 \(\alpha\)위로의 정사영의 넓이와 \(yz\)평면 위의 원 \(C_{2}:\,y^{2}+(z-10)^{2}=1\)의 평면 \(\alpha\)위로의 정사영의 넓이가 \(S\)로 같을 때, \(S\)의 값은? [4점] 풀이: 원 \(C_{1}\)이 평면 \(\alpha\)와 이루는 각을 \(\beta\), 원 \(C_{2}\)가 평면 \(\alpha\)와 이루는 각을 \(\gamma\)라 하자. 원 \(C_{1}\)의 넓이가 \(3\pi\)이고, 원 \(C_{2}\)의 넓이가 \(\pi\)이므로 \(3\pi\cos\beta=\pi\cos\gamma=S\)이고 \(3\cos\beta=\cos\gamma\)이다. 이때 \(\displaystyle\beta+\gamma=\frac{\pi}{2}\)이므로 \(\displaystyle3\cos\beta=\cos\left(\frac{\pi}{2}-\beta\right)=\sin\beta\)이고 \(\tan\beta=3\)이다. 그러면 \(\tan^{2}\beta+1=\sec^{2}\beta\)이므로 \(\sec^{2}\beta=3^{2}+1=10\)이고 \(\sec\beta=\sqrt{10}\), \(\displaystyle\cos\beta=\frac{\sqrt{10}}{10}\)이다. 따라서 \(\displaystyle S=3\pi\cos\beta=\frac{3\sqrt{10}}{10}\pi\)이다.

위의 두 문제는 문제를 읽어보면 그리 어렵지 않다는 것(?)을 확인할 수 있는 문제다.