[확률] 2010학년도 수능(11월) 수리 나형 21번, 2015학년도 수능(11월) 수학 A형 27번

[확률] 2010학년도 수능(11월) 수리 나형 21번, 2015학년도 수능(11월) 수학 A형 27번

\(\alpha\leq x\leq\beta\)의 모든 실수값을 갖는 연속확률변수 \(X\)에 대하여

(1) \(f(x)\geq0\)

(2) 함수 \(y=f(x)\)의 그래프와 \(x\)축, 두 직선 \(x=\alpha\), \(x=\beta\)로 둘러싸인 부분의 넓이는 1이다.

(3) \(P(a\leq X\leq b)\,(\alpha\leq a\leq b\leq\beta)\)는 함수 \(y=f(x)\)의 그래프와 \(x\)축, 두 직선 \(x=a\), \(x=b\)로 둘러싸인 부분의 넓이이다.

위의 세가지 성질을 만족하는 함수 \(f(x)\)를 확률밀도함수라고 한다.

다음은 2010학년도 수능 수리 나형 21번 문제이다.

연속확률변수 \(X\)가 갖는 값의 범위는 \(0\leq X\leq 4\)이고 \(X\)의 확률밀도함수의 그래프는 다음과 같다. \(100\text{P}(0\leq X\leq 2)\)의 값을 구하시오. [4점] 풀이: 확률밀도함수의 정의에 의해 \(\displaystyle\frac{1}{2}\times1\times a+\frac{1}{2}\times(4-1)\times 3a=\frac{a+9a}{2}=5a=1\)이므로 \(\displaystyle a=\frac{1}{5}\)이다. 따라서 \(\displaystyle100\text{P}(0\leq X\leq 2)=100\left(\frac{1}{2}\times\frac{1}{5}\times1+\frac{1}{2}\times\frac{1}{5}\times1\right)=100\times\frac{1}{5}=20\)이다.

4점짜리 문제치고는 매우 쉽다.

다음은 2015학년도 수능 수학 A형 27번 문제이다. 앞의 문제와 같은 확률밀도함수 문제이다.

구간 \([0,\,3]\)의 모든 실수값을 가지는 연속확률변수 \(X\)에 대하여 \(X\)의 확률밀도함수의 그래프는 그림과 같다. \(\displaystyle\text{P}(0\leq X\leq 2)=\frac{q}{p}\)라 할 때, \(p+q\)의 값을 구하시오. (단, \(k\)는 상수이고, \(p\)와 \(q\)는 서로소인 자연수이다.) [4점] 풀이: 확률밀도함수의 정의에 의해 \(\displaystyle\frac{1}{2}\times2\times(k+3k)+\frac{1}{2}\times(3-2)\times(3k+k)=4k+2k=6k=1\)이다. 그러므로 \(\displaystyle k=\frac{1}{6}\)이고 \(\displaystyle\text{P}(0\leq X\leq 2)=\frac{1}{2}\times2\times\left(\frac{1}{6}+3\times\frac{1}{6}\right)=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\)이다. 따라서 \(p+q=3+2=5\)이다.

4점치고는 매우 쉽다.