[통계] 2016학년도 9월 수능모의평가 수학 A형 29번, 2017학년도 수능(11월) 수학 가형 13번

[통계] 2016학년도 9월 수능모의평가 수학 A형 29번, 2017학년도 수능(11월) 수학 가형 13번

연속확률변수 $X$의 확률밀도함수가 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^{2}}}e^{-\frac{(x-m)^{2}}{2\sigma}}$일 때 $X$의 확률분포를 정규분포라고 한다. 여기서 $e$는 $\displaystyle e=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}}$으로 정의되는 무리수이고 $X$의 평균은 $m$, 표준편차는 $\sigma$이다. 이때 기호로 $X\,\sim\,N(m,\,\sigma^{2})$로 나타낸다.

평균이 $0$이고 표준편차가 $1$인 정규분포를 표준정규분포라 하고 $Z\,\sim\,N(0,\,1^{2})$로 나타낸다. 이때 표준정규분포의 확률밀도함수는 $\displaystyle f(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{z^{2}}{2}}$이다.

정규분포를 따르는 확률변수 $X$를 표준정규분포를 따르는 확률변수로 바꾸는 것을 표준화한다고 하며 이때 표준화된 확률변수는 $\displaystyle Z=\frac{X-m}{\sigma}$이다. 표준정규분포의 확률밀도함수는 우함수이므로 그 성질을 이용하여 확률을 쉽게 구할 수 있다. 예를들어 $Z\,\sim\,N(0,\,1^{2})$일 때, $\text{P}(Z\leq1)=0.5+\text{P}(0\leq Z\leq 1)$이고 이때 $\text{P}(-1\leq Z\leq0)=\text{P}(0\leq Z\leq1)$이다.

평균이 $m$이고 표준편차가 $\sigma$인 정규분포를 따르는 집단에서 크기가 $n$인 표본을 추출했을 때 그 표본평균은 $\overline{X}$이다. $E(\overline{X})=m$, $\displaystyle\text{V}(\overline{X})=\frac{\sigma^{2}}{n}$, $\displaystyle\sigma(\overline{X})=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$이므로 $\displaystyle\overline{X}\,\sim\,N\left(m,\,\frac{\sigma^{2}}{n}\right)$이다.

다음은 2016학년도 9월 모의평가 수학 A형 29번 문제이다. 표준정규분포의 확률밀도함수가 우함수임을 이용하여 해결하는 문제다.

확률변수 $X$가 정규분포 $\text{N}(4,\,3^{2})$를 따를 때, $\displaystyle\sum_{n=1}^{7}{\text{P}(X\leq n)}=a$이다. $10a$의 값을 구하시오. [4점] 풀이: $\text{P}(X\leq1)$과 $\text{P}(X\leq 7)$을 표준화하면 $\text{P}(Z\leq-1)$, $\text{P}(Z\leq1)$이다. 이때 $\text{P}(Z\leq-1)=0.5-\text{P}(-1\leq Z\leq0)=0.5-\text{P}(0\leq Z\leq1)$, $\displaystyle\text{P}(Z\leq1)=0.5+\text{P}(0\leq Z\leq1)\,\left(Z=\frac{X-4}{3}\right)$이므로 $\text{P}(X\leq1)+\text{P}(X\leq7)=(0.5-\text{P}(0\leq Z\leq1))+(0.5+\text{P}(0\leq Z\leq1))=1$이다. 같은 방법으로 $\text{P}(X\leq2)+\text{P}(X\leq6)=1$, $\text{P}(X\leq3)+\text{P}(X\leq5)=1$이고 $\text{P}(X\leq4)=\text{P}(Z\leq0)=0.5$이다. 따라서 $a=1+1+1+0.5=3.5$이므로 $10a=35$이다.

표준정규분포의 확률밀도함수가 우함수인 것과 확률밀도함수의 정의를 이용한다.

다음은 2017학년도 수능 수학 가형 13번 문제이다. 앞의 문제와 비슷한데 표본평균에 대한 확률을 구해야 한다.

정규분포 $\text{N}(0,\,4^{2})$을 따르는 모집단에서 크기가 $9$인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균을 $\overline{X}$, 정규분포 $\text{N}(3,\,2^{2})$을 따르는 모집단에서 크기가 $16$인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균을 $\overline{Y}$라 하자. $\text{P}(\overline{X}\geq1)=\text{P}(\overline{Y}\leq a)$를 만족시키는 상수 $a$의 값은? [3점] 풀이: $E(\overline{X})=0$, $\displaystyle\sigma(\overline{X})=\frac{4}{\sqrt{9}}=\frac{4}{3}$이므로 $\displaystyle\overline{X}\,\sim\,\text{N}\left(0,\,\left(\frac{4}{3}\right)^{2}\right)$이고 $E(\overline{Y})=3$, $\displaystyle\sigma(\overline{X})=\frac{2}{\sqrt{16}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$이므로 $\displaystyle\overline{Y}\,\sim\,\text{N}\left(3,\,\left(\frac{1}{2}\right)^{2}\right)$이다. $\displaystyle Z=\frac{\overline{X}}{\frac{4}{3}}$라고 하자. $\displaystyle\text{P}(\overline{X}\geq1)=\text{P}\left(Z\geq\frac{3}{4}\right)$이므로 $\displaystyle Z=\frac{\overline{Y}-3}{\frac{1}{2}}$라고 하자. 그러면 $\displaystyle\text{P}(\overline{Y}\leq a)=\text{P}\left(Z\leq\frac{a-3}{\frac{1}{2}}\right)=\text{P}(Z\leq2a-6)$이고 $\displaystyle\text{P}\left(Z\geq\frac{3}{4}\right)=\text{P}\left(Z\leq 2a-6\right)$이 성립하려면 $\displaystyle 2a-6=-\frac{3}{4}$이어야 한다. 따라서 $\displaystyle a=\frac{21}{8}$이다.