[통계] 2016학년도 9월 수능모의평가 수학 A형 29번, 2017학년도 수능(11월) 수학 가형 13번

[통계] 2016학년도 9월 수능모의평가 수학 A형 29번, 2017학년도 수능(11월) 수학 가형 13번

연속확률변수 \(X\)의 확률밀도함수가 \(\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^{2}}}e^{-\frac{(x-m)^{2}}{2\sigma}}\)일 때 \(X\)의 확률분포를 정규분포라고 한다. 여기서 \(e\)는 \(\displaystyle e=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}}\)으로 정의되는 무리수이고 \(X\)의 평균은 \(m\), 표준편차는 \(\sigma\)이다. 이때 기호로 \(X\,\sim\,N(m,\,\sigma^{2})\)로 나타낸다.

평균이 \(0\)이고 표준편차가 \(1\)인 정규분포를 표준정규분포라 하고 \(Z\,\sim\,N(0,\,1^{2})\)로 나타낸다. 이때 표준정규분포의 확률밀도함수는 \(\displaystyle f(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{z^{2}}{2}}\)이다.

정규분포를 따르는 확률변수 \(X\)를 표준정규분포를 따르는 확률변수로 바꾸는 것을 표준화한다고 하며 이때 표준화된 확률변수는 \(\displaystyle Z=\frac{X-m}{\sigma}\)이다. 표준정규분포의 확률밀도함수는 우함수이므로 그 성질을 이용하여 확률을 쉽게 구할 수 있다. 예를들어 \(Z\,\sim\,N(0,\,1^{2})\)일 때, \(\text{P}(Z\leq1)=0.5+\text{P}(0\leq Z\leq 1)\)이고 이때 \(\text{P}(-1\leq Z\leq0)=\text{P}(0\leq Z\leq1)\)이다.

평균이 \(m\)이고 표준편차가 \(\sigma\)인 정규분포를 따르는 집단에서 크기가 \(n\)인 표본을 추출했을 때 그 표본평균은 \(\overline{X}\)이다. \(E(\overline{X})=m\), \(\displaystyle\text{V}(\overline{X})=\frac{\sigma^{2}}{n}\), \(\displaystyle\sigma(\overline{X})=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\)이므로 \(\displaystyle\overline{X}\,\sim\,N\left(m,\,\frac{\sigma^{2}}{n}\right)\)이다.

다음은 2016학년도 9월 모의평가 수학 A형 29번 문제이다. 표준정규분포의 확률밀도함수가 우함수임을 이용하여 해결하는 문제다.

확률변수 \(X\)가 정규분포 \(\text{N}(4,\,3^{2})\)를 따를 때, \(\displaystyle\sum_{n=1}^{7}{\text{P}(X\leq n)}=a\)이다. \(10a\)의 값을 구하시오. [4점] 풀이: \(\text{P}(X\leq1)\)과 \(\text{P}(X\leq 7)\)을 표준화하면 \(\text{P}(Z\leq-1)\), \(\text{P}(Z\leq1)\)이다. 이때 \(\text{P}(Z\leq-1)=0.5-\text{P}(-1\leq Z\leq0)=0.5-\text{P}(0\leq Z\leq1)\), \(\displaystyle\text{P}(Z\leq1)=0.5+\text{P}(0\leq Z\leq1)\,\left(Z=\frac{X-4}{3}\right)\)이므로 \(\text{P}(X\leq1)+\text{P}(X\leq7)=(0.5-\text{P}(0\leq Z\leq1))+(0.5+\text{P}(0\leq Z\leq1))=1\)이다. 같은 방법으로 \(\text{P}(X\leq2)+\text{P}(X\leq6)=1\), \(\text{P}(X\leq3)+\text{P}(X\leq5)=1\)이고 \(\text{P}(X\leq4)=\text{P}(Z\leq0)=0.5\)이다. 따라서 \(a=1+1+1+0.5=3.5\)이므로 \(10a=35\)이다.

표준정규분포의 확률밀도함수가 우함수인 것과 확률밀도함수의 정의를 이용한다.

다음은 2017학년도 수능 수학 가형 13번 문제이다. 앞의 문제와 비슷한데 표본평균에 대한 확률을 구해야 한다.

정규분포 \(\text{N}(0,\,4^{2})\)을 따르는 모집단에서 크기가 \(9\)인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균을 \(\overline{X}\), 정규분포 \(\text{N}(3,\,2^{2})\)을 따르는 모집단에서 크기가 \(16\)인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균을 \(\overline{Y}\)라 하자. \(\text{P}(\overline{X}\geq1)=\text{P}(\overline{Y}\leq a)\)를 만족시키는 상수 \(a\)의 값은? [3점] 풀이: \(E(\overline{X})=0\), \(\displaystyle\sigma(\overline{X})=\frac{4}{\sqrt{9}}=\frac{4}{3}\)이므로 \(\displaystyle\overline{X}\,\sim\,\text{N}\left(0,\,\left(\frac{4}{3}\right)^{2}\right)\)이고 \(E(\overline{Y})=3\), \(\displaystyle\sigma(\overline{X})=\frac{2}{\sqrt{16}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\)이므로 \(\displaystyle\overline{Y}\,\sim\,\text{N}\left(3,\,\left(\frac{1}{2}\right)^{2}\right)\)이다. \(\displaystyle Z=\frac{\overline{X}}{\frac{4}{3}}\)라고 하자. \(\displaystyle\text{P}(\overline{X}\geq1)=\text{P}\left(Z\geq\frac{3}{4}\right)\)이므로 \(\displaystyle Z=\frac{\overline{Y}-3}{\frac{1}{2}}\)라고 하자. 그러면 \(\displaystyle\text{P}(\overline{Y}\leq a)=\text{P}\left(Z\leq\frac{a-3}{\frac{1}{2}}\right)=\text{P}(Z\leq2a-6)\)이고 \(\displaystyle\text{P}\left(Z\geq\frac{3}{4}\right)=\text{P}\left(Z\leq 2a-6\right)\)이 성립하려면 \(\displaystyle 2a-6=-\frac{3}{4}\)이어야 한다. 따라서 \(\displaystyle a=\frac{21}{8}\)이다.