[벡터] 2018학년도 6월 수능모의평가 수학 가형 29번, 9월 수능모의평가 수학 가형 29번

[벡터] 2018학년도 6월 수능모의평가 수학 가형 29번, 9월 수능모의평가 수학 가형 29번

여기서 풀이할 문제는 2018학년도 6월, 9월 모의평가 문제 중 4점짜리 벡터 문제다. 4점짜리 벡터문제는 고난이도 수준(변별력 문제)으로 출제된다.

다음은 2018학년도 6월 모의평가 수학 가형 29번 문제이다.

좌표평면에서 중심이 $\text{O}$이고 반지름의 길이가 $1$인 원 위의 한 점을 $\text{A}$, 중심이 $\text{O}$이고 반지름의 길이가 $3$인 원 위의 한 점을 $\text{B}$라 할 때, 점 $\text{P}$가 다음 조건을 만족시킨다. (가) $\overrightarrow{\text{OB}}\cdot\overrightarrow{\text{OP}}=3\overrightarrow{\text{OA}}\cdot\overrightarrow{\text{OP}}$ (나) $|\overrightarrow{\text{PA}}|^{2}+|\overrightarrow{\text{PB}}|^{2}=20$ $\overrightarrow{\text{PA}}\cdot\overrightarrow{\text{PB}}$ 의 최솟값은 $m$이고 이때 $|\overrightarrow{\text{OP}}|=k$이다. $m+k^{2}$의 값을 구하시오. [4점] 풀이: 점 $\text{A}$는 반지름의 길이가 $1$인 원 위의 점이므로 $|\overrightarrow{\text{OA}}|=1$이고 점 $\text{B}$는 반지름의 길이가 $3$인 원 위의 점이므로 $|\overrightarrow{\text{OB}}|=3$이다. $\overrightarrow{\text{PA}}=\overrightarrow{\text{OA}}-\overrightarrow{\text{OP}}$, $\overrightarrow{\text{PB}}=\overrightarrow{\text{OB}}-\overrightarrow{\text{OP}}$이고 조건 (가)와 (나)에 의해 $$\begin{align*}|\overrightarrow{\text{PA}}|^{2}+|\overrightarrow{\text{PB}}|^{2}&=|\overrightarrow{\text{OA}}-\overrightarrow{\text{OP}}|^{2}+|\overrightarrow{\text{OB}}-\overrightarrow{\text{OP}}|^{2}\\&=(\overrightarrow{\text{OA}}-\overrightarrow{\text{OP}})^{2}+(\overrightarrow{\text{OB}}-\overrightarrow{\text{OP}})^{2}\\&=|\overrightarrow{\text{OA}}|^{2}-2\overrightarrow{\text{OA}}\cdot\overrightarrow{\text{OP}}+|\overrightarrow{\text{OP}}|^{2}+|\overrightarrow{\text{OB}}|^{2}-2\overrightarrow{\text{OB}}\cdot\overrightarrow{\text{OP}}+|\overrightarrow{\text{OP}}|^{2}\\&=2|\overrightarrow{\text{OP}}|^{2}-8\overrightarrow{\text{OA}}\cdot\overrightarrow{\text{OP}}+10\\&=20\end{align*}$$ 이므로 $|\overrightarrow{\text{OP}}|^{2}-4\overrightarrow{\text{OA}}\cdot\overrightarrow{\text{OP}}=5$이다. $$\begin{align*}\overrightarrow{\text{PA}}\cdot\overrightarrow{\text{PB}}&=(\overrightarrow{\text{OA}}-\overrightarrow{\text{OA}})(\overrightarrow{\text{OP}}-\overrightarrow{\text{OB}})\\&=|\overrightarrow{\text{OP}}|^{2}-\overrightarrow{\text{OA}}\cdot\overrightarrow{\text{OP}}-\overrightarrow{\text{OB}}\cdot\overrightarrow{\text{OP}}+\overrightarrow{\text{OA}}\cdot\overrightarrow{\text{OB}}\\&=|\overrightarrow{\text{OP}}|^{2}-4\overrightarrow{\text{OA}}\cdot\overrightarrow{\text{OB}}+\overrightarrow{\text{OA}}\cdot\overrightarrow{\text{OB}}\\&=5+\overrightarrow{\text{OA}}\cdot\overrightarrow{\text{OB}}\end{align*}$$ 이므로 $\overrightarrow{\text{PA}}\cdot\overrightarrow{\text{PB}}$의 값이 최소일 때는 $\overrightarrow{\text{OA}}$와 $\overrightarrow{\text{OB}}$가 서로 반대방향일 때이고 이때 $\overrightarrow{\text{OA}}\cdot\overrightarrow{\text{OB}}=-(1\times3)=-3$이다. 따라서 $m=5-3=2$이다. 이제 $k$의 값만 구하면 된다. 앞에서 언급했듯이 점 $\text{A}$는 반지름이 1인 원 위의 점이고, 점 $\text{B}$는 반지름이 3인 원 위의 점이다. $\overrightarrow{\text{PA}}\cdot\overrightarrow{\text{PB}}$의 값이 최소일 때 $\overrightarrow{\text{OA}}$와 $\overrightarrow{\text{OB}}$의 방향이 서로 반대이므로 $\overrightarrow{\text{OB}}=-3\overrightarrow{\text{OA}}$이고 조건 (가)에 의해 $3\overrightarrow{\text{OA}}\cdot\overrightarrow{\text{OP}}=\overrightarrow{\text{OB}}\cdot\overrightarrow{\text{OP}}=-3\overrightarrow{\text{OA}}\cdot\overrightarrow{\text{OP}}$이므로 $\overrightarrow{\text{OA}}\cdot\overrightarrow{\text{OP}}=0$이다. 그러면 $k^{2}-5=0$이고 따라서 $m+k^{2}=2+5=7$이다.

벡터를 분해해서 풀다보면 답을 찾을 수 있다.

다음은 2018학년도 9월 모의평가 수학 가형 29번 문제다. 최댓값과 최솟값을 구하는 문제인데 최솟값은 금방 구할 수 있다. 최댓값을 구하는게 관건인데 미분을 생각하지 못했다면 풀기가 어렵다.

좌표공간에 세 점 $\text{O}(0,\,0,\,0)$, $\text{A}(1,\,0,\,0)$, $\text{B}(0,\,0,\,2)$가 있다. 점 $\text{P}$가 $\overrightarrow{\text{OB}}\cdot\overrightarrow{\text{OP}}=0$, $|\overrightarrow{\text{OP}}|\leq4$를 만족시키며 움직일 때, $$|\overrightarrow{\text{PQ}}|=1,\,\overrightarrow{\text{PQ}}\cdot\overrightarrow{\text{OA}}\geq\frac{\sqrt{3}}{2}$$ 을 만족시키는 점 $\text{Q}$에 대하여 $|\overrightarrow{\text{BQ}}|$의 최댓값과 최솟값을 각각 $M$, $m$이라 하자. $M+m=a+b\sqrt{5}$일 때, $6(a+b)$의 값을 구하시오. (단, $a$, $b$는 유리수이다.) [4점] 풀이: 점 $\text{B}(0,\,0,\,2)$는 $z$축 위의 점이므로 $\overrightarrow{\text{OB}}$는 $xy$평면$(z=0)$과 수직이다. $\overrightarrow{\text{OB}}\cdot\overrightarrow{\text{OP}}=0$이고 $|\overrightarrow{\text{OP}}|\leq4$이므로 점 $\text{P}$는 $xy$평면 위의 중심이 원점이고 반지름의 길이가 4인 원의 내부(경계 포함)에 있는 점이다. 점 $\text{A}(1,\,0,\,0)$은 $xy$평면 위의 점이며 점 $P$의 영역 내부에 있는 점이고, 점 $\text{Q}$가 $|\overrightarrow{\text{PQ}}|=1$, $\displaystyle\overrightarrow{\text{PQ}}\cdot\overrightarrow{\text{OA}}\geq\frac{\sqrt{3}}{2}$을 만족하므로 $\overrightarrow{\text{PQ}}$와 $\overrightarrow{\text{OA}}$가 이루는 각을 $\theta$라고 하면 $|\overrightarrow{\text{PQ}}|=|\overrightarrow{\text{OA}}|=1$이므로 $\displaystyle\cos\theta\geq\frac{\sqrt{3}}{2}$, 즉 $\displaystyle-\frac{\pi}{6}\leq\theta\leq\frac{\pi}{6}$이다.($xy$평면 위를 +, 아래를 -로 잡았다) $|\overrightarrow{\text{OQ}}|$의 최댓값은 $\displaystyle\frac{1}{2}$이고 $\displaystyle\text{Q}\left(0,\,0,\,\frac{1}{2}\right)$일 때 $|\overrightarrow{\text{BQ}}|$의 값이 최소이고 $\displaystyle m=2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$이다. 이제 최댓값을 구해야 한다. 위의 그림은 $|\overrightarrow{\text{BQ}}|$의 최댓값을 구하기 위해 그린 그림이다. 위 그림에서 $\overrightarrow{\text{BQ}}=(4+\cos\theta,\,-2+\sin\theta)$이고 $$\begin{align*}|\overrightarrow{\text{BQ}}|&=\sqrt{(4+\cos\theta)^{2}+(-2+\sin\theta)^{2}}\\&=\sqrt{(16+8\cos\theta+\cos^{2}\theta)+(4-4\sin\theta+\sin^{2}\theta)}\\&=\sqrt{21+8\cos\theta-4\sin\theta}\end{align*}$$ 이다. $$\begin{align*}\frac{d}{d\theta}|\overrightarrow{\text{BQ}}|&=\frac{-8\sin\theta-4\cos\theta}{2\sqrt{21+8\cos\theta-4\sin\theta}}\\&=\frac{-4\sin\theta-2\cos\theta}{\sqrt{21+8\cos\theta-4\sin\theta}}\end{align*}$$ 이므로 $\displaystyle\theta=\alpha\,\left(-\frac{\pi}{6}\leq\alpha\leq\frac{\pi}{6}\right)$일때 $|\overrightarrow{\text{BQ}}|$의 값이 최대라고 하면 $4\sin\alpha+2\cos\alpha=0$이고 $\displaystyle\tan\alpha=-\frac{1}{2}$이다. $\displaystyle\tan\left(-\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{1}{\sqrt{3}}<-\frac{1}{2}=\tan\alpha$이므로 $\displaystyle\cos\alpha=\frac{2}{\sqrt{1^{2}+2^{2}}}=\frac{2}{\sqrt{5}},\,\sin\alpha=-\frac{1}{\sqrt{1^{2}+2^{2}}}=-\frac{1}{\sqrt{5}}$이다. 그러면 $$\begin{align*}M&=\sqrt{21+8\frac{2}{\sqrt{5}}-4\left(-\frac{1}{\sqrt{5}}\right)}=\sqrt{21+\frac{16}{\sqrt{5}}+\frac{4}{\sqrt{5}}}\\&=\sqrt{21+\frac{20}{\sqrt{5}}}=\sqrt{21+4\sqrt{5}}=\sqrt{21+2\sqrt{20}}\\&=1+\sqrt{20}=1+2\sqrt{5}\end{align*}$$ 이고 따라서 $\displaystyle M+m=\frac{3}{2}+(1+2\sqrt{5})=\frac{5}{2}+2\sqrt{5}$이고 $\displaystyle a=\frac{5}{2}$, $b=2$이므로 $\displaystyle6(a+b)=6\left(\frac{5}{2}+2\right)=15+12=27$이다.

고난도 벡터문제 중에서 미분을 사용해서 푸는 문제는 이번이 처음이다. 미분을 사용해야 한다는 것을 알았다면 어떻게 풀어야 할 지를 알았을 것이고 모르거나 알았어도 이중근호를 푸는 방법을 모르면 운(?)에 맡기고 찍었을 것이다.

이중근호: $\sqrt{a+b+2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$.