[벡터] 2018학년도 6월 수능모의평가 수학 가형 29번, 9월 수능모의평가 수학 가형 29번

[벡터] 2018학년도 6월 수능모의평가 수학 가형 29번, 9월 수능모의평가 수학 가형 29번

여기서 풀이할 문제는 2018학년도 6월, 9월 모의평가 문제 중 4점짜리 벡터 문제다. 4점짜리 벡터문제는 고난이도 수준(변별력 문제)으로 출제된다.

다음은 2018학년도 6월 모의평가 수학 가형 29번 문제이다.

좌표평면에서 중심이 \(\text{O}\)이고 반지름의 길이가 \(1\)인 원 위의 한 점을 \(\text{A}\), 중심이 \(\text{O}\)이고 반지름의 길이가 \(3\)인 원 위의 한 점을 \(\text{B}\)라 할 때, 점 \(\text{P}\)가 다음 조건을 만족시킨다. (가) \(\overrightarrow{\text{OB}}\cdot\overrightarrow{\text{OP}}=3\overrightarrow{\text{OA}}\cdot\overrightarrow{\text{OP}}\) (나) \(|\overrightarrow{\text{PA}}|^{2}+|\overrightarrow{\text{PB}}|^{2}=20\) \(\overrightarrow{\text{PA}}\cdot\overrightarrow{\text{PB}}\) 의 최솟값은 \(m\)이고 이때 \(|\overrightarrow{\text{OP}}|=k\)이다. \(m+k^{2}\)의 값을 구하시오. [4점] 풀이: 점 \(\text{A}\)는 반지름의 길이가 \(1\)인 원 위의 점이므로 \(|\overrightarrow{\text{OA}}|=1\)이고 점 \(\text{B}\)는 반지름의 길이가 \(3\)인 원 위의 점이므로 \(|\overrightarrow{\text{OB}}|=3\)이다. \(\overrightarrow{\text{PA}}=\overrightarrow{\text{OA}}-\overrightarrow{\text{OP}}\), \(\overrightarrow{\text{PB}}=\overrightarrow{\text{OB}}-\overrightarrow{\text{OP}}\)이고 조건 (가)와 (나)에 의해 $$\begin{align*}|\overrightarrow{\text{PA}}|^{2}+|\overrightarrow{\text{PB}}|^{2}&=|\overrightarrow{\text{OA}}-\overrightarrow{\text{OP}}|^{2}+|\overrightarrow{\text{OB}}-\overrightarrow{\text{OP}}|^{2}\\&=(\overrightarrow{\text{OA}}-\overrightarrow{\text{OP}})^{2}+(\overrightarrow{\text{OB}}-\overrightarrow{\text{OP}})^{2}\\&=|\overrightarrow{\text{OA}}|^{2}-2\overrightarrow{\text{OA}}\cdot\overrightarrow{\text{OP}}+|\overrightarrow{\text{OP}}|^{2}+|\overrightarrow{\text{OB}}|^{2}-2\overrightarrow{\text{OB}}\cdot\overrightarrow{\text{OP}}+|\overrightarrow{\text{OP}}|^{2}\\&=2|\overrightarrow{\text{OP}}|^{2}-8\overrightarrow{\text{OA}}\cdot\overrightarrow{\text{OP}}+10\\&=20\end{align*}$$이므로 \(|\overrightarrow{\text{OP}}|^{2}-4\overrightarrow{\text{OA}}\cdot\overrightarrow{\text{OP}}=5\)이다. $$\begin{align*}\overrightarrow{\text{PA}}\cdot\overrightarrow{\text{PB}}&=(\overrightarrow{\text{OA}}-\overrightarrow{\text{OA}})(\overrightarrow{\text{OP}}-\overrightarrow{\text{OB}})\\&=|\overrightarrow{\text{OP}}|^{2}-\overrightarrow{\text{OA}}\cdot\overrightarrow{\text{OP}}-\overrightarrow{\text{OB}}\cdot\overrightarrow{\text{OP}}+\overrightarrow{\text{OA}}\cdot\overrightarrow{\text{OB}}\\&=|\overrightarrow{\text{OP}}|^{2}-4\overrightarrow{\text{OA}}\cdot\overrightarrow{\text{OB}}+\overrightarrow{\text{OA}}\cdot\overrightarrow{\text{OB}}\\&=5+\overrightarrow{\text{OA}}\cdot\overrightarrow{\text{OB}}\end{align*}$$이므로 \(\overrightarrow{\text{PA}}\cdot\overrightarrow{\text{PB}}\)의 값이 최소일 때는 \(\overrightarrow{\text{OA}}\)와 \(\overrightarrow{\text{OB}}\)가 서로 반대방향일 때이고 이때 \(\overrightarrow{\text{OA}}\cdot\overrightarrow{\text{OB}}=-(1\times3)=-3\)이다. 따라서 \(m=5-3=2\)이다. 이제 \(k\)의 값만 구하면 된다. 앞에서 언급했듯이 점 \(\text{A}\)는 반지름이 1인 원 위의 점이고, 점 \(\text{B}\)는 반지름이 3인 원 위의 점이다. \(\overrightarrow{\text{PA}}\cdot\overrightarrow{\text{PB}}\)의 값이 최소일 때 \(\overrightarrow{\text{OA}}\)와 \(\overrightarrow{\text{OB}}\)의 방향이 서로 반대이므로 \(\overrightarrow{\text{OB}}=-3\overrightarrow{\text{OA}}\)이고 조건 (가)에 의해 \(3\overrightarrow{\text{OA}}\cdot\overrightarrow{\text{OP}}=\overrightarrow{\text{OB}}\cdot\overrightarrow{\text{OP}}=-3\overrightarrow{\text{OA}}\cdot\overrightarrow{\text{OP}}\)이므로 \(\overrightarrow{\text{OA}}\cdot\overrightarrow{\text{OP}}=0\)이다. 그러면 \(k^{2}-5=0\)이고 따라서 \(m+k^{2}=2+5=7\)이다.

벡터를 분해해서 풀다보면 답을 찾을 수 있다.

다음은 2018학년도 9월 모의평가 수학 가형 29번 문제다. 최댓값과 최솟값을 구하는 문제인데 최솟값은 금방 구할 수 있다. 최댓값을 구하는게 관건인데 미분을 생각하지 못했다면 풀기가 어렵다.

좌표공간에 세 점 \(\text{O}(0,\,0,\,0)\), \(\text{A}(1,\,0,\,0)\), \(\text{B}(0,\,0,\,2)\)가 있다. 점 \(\text{P}\)가 \(\overrightarrow{\text{OB}}\cdot\overrightarrow{\text{OP}}=0\), \(|\overrightarrow{\text{OP}}|\leq4\)를 만족시키며 움직일 때,$$|\overrightarrow{\text{PQ}}|=1,\,\overrightarrow{\text{PQ}}\cdot\overrightarrow{\text{OA}}\geq\frac{\sqrt{3}}{2}$$을 만족시키는 점 \(\text{Q}\)에 대하여 \(|\overrightarrow{\text{BQ}}|\)의 최댓값과 최솟값을 각각 \(M\), \(m\)이라 하자. \(M+m=a+b\sqrt{5}\)일 때, \(6(a+b)\)의 값을 구하시오. (단, \(a\), \(b\)는 유리수이다.) [4점] 풀이: 점 \(\text{B}(0,\,0,\,2)\)는 \(z\)축 위의 점이므로 \(\overrightarrow{\text{OB}}\)는 \(xy\)평면\((z=0)\)과 수직이다. \(\overrightarrow{\text{OB}}\cdot\overrightarrow{\text{OP}}=0\)이고 \(|\overrightarrow{\text{OP}}|\leq4\)이므로 점 \(\text{P}\)는 \(xy\)평면 위의 중심이 원점이고 반지름의 길이가 4인 원의 내부(경계 포함)에 있는 점이다. 점 \(\text{A}(1,\,0,\,0)\)은 \(xy\)평면 위의 점이며 점 \(P\)의 영역 내부에 있는 점이고, 점 \(\text{Q}\)가 \(|\overrightarrow{\text{PQ}}|=1\), \(\displaystyle\overrightarrow{\text{PQ}}\cdot\overrightarrow{\text{OA}}\geq\frac{\sqrt{3}}{2}\)을 만족하므로 \(\overrightarrow{\text{PQ}}\)와 \(\overrightarrow{\text{OA}}\)가 이루는 각을 \(\theta\)라고 하면 \(|\overrightarrow{\text{PQ}}|=|\overrightarrow{\text{OA}}|=1\)이므로 \(\displaystyle\cos\theta\geq\frac{\sqrt{3}}{2}\), 즉 \(\displaystyle-\frac{\pi}{6}\leq\theta\leq\frac{\pi}{6}\)이다.(\(xy\)평면 위를 +, 아래를 -로 잡았다) \(|\overrightarrow{\text{OQ}}|\)의 최댓값은 \(\displaystyle\frac{1}{2}\)이고 \(\displaystyle\text{Q}\left(0,\,0,\,\frac{1}{2}\right)\)일 때 \(|\overrightarrow{\text{BQ}}|\)의 값이 최소이고 \(\displaystyle m=2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\)이다. 이제 최댓값을 구해야 한다. 위의 그림은 \(|\overrightarrow{\text{BQ}}|\)의 최댓값을 구하기 위해 그린 그림이다. 위 그림에서 \(\overrightarrow{\text{BQ}}=(4+\cos\theta,\,-2+\sin\theta)\)이고$$\begin{align*}|\overrightarrow{\text{BQ}}|&=\sqrt{(4+\cos\theta)^{2}+(-2+\sin\theta)^{2}}\\&=\sqrt{(16+8\cos\theta+\cos^{2}\theta)+(4-4\sin\theta+\sin^{2}\theta)}\\&=\sqrt{21+8\cos\theta-4\sin\theta}\end{align*}$$이다.$$\begin{align*}\frac{d}{d\theta}|\overrightarrow{\text{BQ}}|&=\frac{-8\sin\theta-4\cos\theta}{2\sqrt{21+8\cos\theta-4\sin\theta}}\\&=\frac{-4\sin\theta-2\cos\theta}{\sqrt{21+8\cos\theta-4\sin\theta}}\end{align*}$$이므로 \(\displaystyle\theta=\alpha\,\left(-\frac{\pi}{6}\leq\alpha\leq\frac{\pi}{6}\right)\)일때 \(|\overrightarrow{\text{BQ}}|\)의 값이 최대라고 하면 \(4\sin\alpha+2\cos\alpha=0\)이고 \(\displaystyle\tan\alpha=-\frac{1}{2}\)이다. \(\displaystyle\tan\left(-\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{1}{\sqrt{3}}<-\frac{1}{2}=\tan\alpha\)이므로 \(\displaystyle\cos\alpha=\frac{2}{\sqrt{1^{2}+2^{2}}}=\frac{2}{\sqrt{5}},\,\sin\alpha=-\frac{1}{\sqrt{1^{2}+2^{2}}}=-\frac{1}{\sqrt{5}}\)이다. 그러면$$\begin{align*}M&=\sqrt{21+8\frac{2}{\sqrt{5}}-4\left(-\frac{1}{\sqrt{5}}\right)}=\sqrt{21+\frac{16}{\sqrt{5}}+\frac{4}{\sqrt{5}}}\\&=\sqrt{21+\frac{20}{\sqrt{5}}}=\sqrt{21+4\sqrt{5}}=\sqrt{21+2\sqrt{20}}\\&=1+\sqrt{20}=1+2\sqrt{5}\end{align*}$$이고 따라서 \(\displaystyle M+m=\frac{3}{2}+(1+2\sqrt{5})=\frac{5}{2}+2\sqrt{5}\)이고 \(\displaystyle a=\frac{5}{2}\), \(b=2\)이므로 \(\displaystyle6(a+b)=6\left(\frac{5}{2}+2\right)=15+12=27\)이다.

고난도 벡터문제 중에서 미분을 사용해서 푸는 문제는 이번이 처음이다. 미분을 사용해야 한다는 것을 알았다면 어떻게 풀어야 할 지를 알았을 것이고 모르거나 알았어도 이중근호를 푸는 방법을 모르면 운(?)에 맡기고 찍었을 것이다.

이중근호: \(\sqrt{a+b+2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\).