[미적분] 2017학년도 9월 수능모의평가 수학 가형 30번, 2018학년도 6월 수능모의평가 수학 가형 21번

[미적분] 2017학년도 9월 수능모의평가 수학 가형 30번, 2018학년도 6월 수능모의평가 수학 가형 21번

여기서 다루는 문제는 문제의 조건을 이용하여 다항함수를 찾는 문제이다.

다음은 2017학년도 9월 모의평가 수학 가형 30번 문제이다. 주어진 삼각함수를 사차함수와 합성한 함수의 이계도함수가 실수 전체에서 연속일 조건을 구하면서 문제의 사차함수에 대한 정보를 파악하는 문제이다.

최고차항의 계수가 \(1\)인 사차함수 \(f(x)\)와 함수 $$g(x)=|2\sin(x+2|x|)+1|$$ 에 대하여 함수 \(h(x)=f(g(x))\)는 실수 전체의 집합에서 이계도함수 \(h''(x)\)를 갖고, \(h''(x)\)는 실수 전체에서 연속이다. \(f'(3)\)의 값을 구하시오. [4점] 풀이: 먼저 함수 \(g(x)=|2\sin(x+2|x|)+1|\)의 그래프를 그려보자. $$g(x)=\begin{cases}|2\sin3x+1|&(x\geq0)\\|-2\sin x+1|&(x<0)\end{cases}$$이므로 \(g(x)\)의 그래프는 다음과 같다. 위의 그래프로부터 함수 \(g(x)\)의 미분가능하지 않은 점은 \(\displaystyle x=-\frac{13}{6}\pi\), \(\displaystyle x=-\frac{7}{6}\pi\), \(x=0\), \(\displaystyle x=\frac{7}{18}\pi\), \(\displaystyle x=\frac{11}{18}\pi\)이다. 함수 \(h(x)=f(g(x))\)가 실수 전체에서 이계도함수를 가지며 그 이계도함수는 실수 전체에서 연속이므로 \(h'(x)=g'(x)f'(g(x))\)는 미분가능한 함수여야 하고 \(h''(x)=g''(x)f'(g(x))+\{g'(x)\}^{2}f''(g(x))\)는 연속함수여야 한다. 먼저 함수 \(h(x)=f(g(x))\)가 미분가능한 함수가 될 \(f(x)\)의 조건을 구하자. \(\displaystyle g\left(-\frac{13}{6}\pi\right)=g\left(-\frac{7}{6}\pi\right)=g\left(\frac{7}{18}\pi\right)=g\left(\frac{11}{18}\pi\right)=0\), \(g(0)=1\)이므로 \(f'(0)=f'(1)=0\)이어야 한다. 그다음으로 \(h(x)\)의 이계도함수인 \(h''(x)=g''(x)f'(g(x))+\{g'(x)\}^{2}f''(g(x))\)가 연속함수가 될 \(f(x)\)의 조건을 구하자. $$\lim_{x\,\rightarrow\,-\frac{13}{6}\pi+}{\frac{g(x)-g\left(-\frac{13}{6}\pi\right)}{x+\frac{13}{6}\pi}}=6,\,\lim_{x\,\rightarrow\,-\frac{13}{6}\pi-}{\frac{g(x)-g\left(-\frac{13}{6}\pi\right)}{x+\frac{13}{6}\pi}}=-6,\,\lim_{x\,\rightarrow\,-\frac{7}{6}\pi+}{\frac{g(x)-g\left(-\frac{7}{6}\pi\right)}{x+\frac{7}{6}\pi}}=2,\\ \lim_{x\,\rightarrow\,-\frac{7}{6}\pi-}{\frac{g(x)-g\left(-\frac{7}{6}\pi\right)}{x+\frac{7}{6}\pi}}=-2,\,\lim_{x\,\rightarrow\,0+}{\frac{g(x)-g(0)}{x}}=6,\,\lim_{x\,\rightarrow\,0-}{\frac{g(x)-g(0)}{x}}=-2$$이므로 \(\{g'(x)\}^{2}\)는 \(x=0\)을 제외한 실수 전체에서 연속이다. 그러므로 \(g(0)=1\)이기 때문에 \(f''(1)=0\)이어야 한다. \(g''(x)\)는 \(g(x)\)의 미분가능하지 않은 점에서 불연속이나 그 점에서 \(f(g(x))\)의 값이 \(0\)이 되기 때문에 \(g''(x)f(g(x))\)는 연속함수이다. 앞에서 구한 \(f(x)\)의 조건은 \(f'(0)=f'(1)=0\)이고 \(f''(1)=0\)이었다. \(f(x)\)는 최고차항의 계수가 1인 사차함수이므로 \(f(x)=x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+cx+d\)이고 \(f'(x)=4x^{3}+3ax^{2}+2bx+c\), \(f''(x)=12x^{2}+6ax+2b\)이다. \(f'(0)=c=0\), \(f'(1)=4+3a+2b=0\), \(f''(1)=12+6a+2b=0\)이고 두개의 식 \(3a+2b=-4\), \(3a+b=-6\)을 얻는다. 이 두 식을 연립해서 풀면 \(b=2\), \(\displaystyle a=-\frac{8}{3}\)을 얻는다. 그러면 \(f'(x)=4x^{3}-8x^{2}+4x\)이고 따라서 \(f'(3)=4\times3^{3}-8\times3^{2}+4\times3=108-72+12=48\)이다.

먼저 함수 \(g(x)=|2\sin(x+2|x|)+1|\)의 그래프를 그려 미분가능하지 않은 점들을 조사하고 \(h(x)=f(g(x))\)가 연속인 이계도함수를 갖는다고 가정하고 그 조건에 맞게 하는 함수 \(f(x)\)의 조건을 구해 \(f'(x)\)를 구한다. (이 문제에서 주어진 정보만으로는 \(f(x)\)를 구할 수 없다.)

다음은 2018학년도 6월 모의평가 수학 가형 21번 문제이다. 함수의 극한이 섞여있는데 보통 극한의 문제보다 어렵다.

최고차항의 계수가 \(1\)인 사차함수 \(f(x)\)에 대하여 $$F(x)=\ln|f(x)|$$ 라 하고, 최고차항의 계수가 \(1\)인 삼차함수 \(g(x)\)에 대하여 $$G(x)=\ln|g(x)\sin x|$$ 라 하자. $$\lim_{x\,\rightarrow\,1}{(x-1)F'(x)}=3,\,\lim_{x\,\rightarrow\,0}{\frac{F'(x)}{G'(x)}}=\frac{1}{4}$$ 일 때, \(f(3)+g(3)\)의 값은? [4점] 풀이: \(\displaystyle F'(x)=\frac{f'(x)}{f(x)}\)이고 \(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,1}{(x-1)F'(x)}=\lim_{x\,\rightarrow\,0}{\frac{(x-1)f'(x)}{f(x)}}=3\)이므로 \(f(x)\)는 \((x-1)\)을 인수로 갖는다. \(f(x)=(x-1)(x^{3}+ax^{2}+bx+c)\)라 하면 \(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,1}{\frac{(x-1)f'(x)}{f(x)}}=\frac{1+a+b+c}{1+a+b+c}=1\neq3\)이다. \(f(x)=(x-1)^{2}(x^{2}+ax+b)\)라 하면 \(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,1}{\frac{(x-1)f'(x)}{f(x)}}=\frac{2(1+a+b)}{1+a+b}=2\neq3\)이다. \(f(x)=(x-1)^{3}(x+a)\,(a\neq-1)\)라 하면 \(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,1}{\frac{(x-1)f'(x)}{f(x)}}=\frac{3(1+a)}{1+a}=3\)이므로 \(f(x)=(x-1)^{3}(x+a)\)가 조건 \(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,1}{(x-1)F'(x)}=3\)을 만족하는 함수이다. \(\displaystyle G'(x)=\frac{g(x)\cos x+g'(x)\sin x}{g(x)\sin x}\)이고 \(\displaystyle\frac{F'(x)}{G'(x)}=\frac{g(x)\sin x}{g(x)\cos x+g'(x)\sin x}\frac{3(x-1)^{2}(x+a)+(x-1)^{3}}{(x-1)^{3}(x+a)}=\frac{g(x)\tan x}{g'(x)\tan x+g(x)}\frac{4x+3a-1}{(x-1)(x+a)}\). 이때 \(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,0}{g(x)\tan x}=0\)이므로 \(a=0\)이어야 하고 \(f(x)=x(x-1)^{3}\)이다. 그러면 \(\displaystyle\frac{F'(x)}{G'(x)}=\frac{g(x)}{g'(x)\tan x+g(x)}\frac{\tan x}{x}\frac{4x-1}{x-1}\)이고 \(g(x)\)는 \(x\)를 인수로 가져야 한다. \(g(x)=x(x^{2}+px+q)\)일 때 \(\displaystyle\frac{F'(x)}{G'(x)}=\frac{x(x^{2}+px+q)}{(3x^{2}+2px+q)\tan x+x(x^{2}+px+q)}\frac{\tan x}{x}\frac{4x-1}{x-1}\)이므로 \(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,0}{\frac{F'(x)}{G'(x)}}=\frac{q}{q+q}=\frac{1}{2}\neq\frac{1}{4}\)이다. \(g(x)=x^{2}(x+p)\,(p\neq0)\)일 때 \(\displaystyle\frac{F'(x)}{G'(x)}=\frac{x^{2}(x+p)}{x(3x+2p)\tan x+x^{2}(x+p)}\frac{\tan x}{x}\frac{4x-1}{x-1}\)이므로 \(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,0}{\frac{F'(x)}{G'(x)}}=\frac{p}{2p+p}=\frac{1}{3}\neq\frac{1}{4}\)이다. \(g(x)=x^{3}\)일 때 \(\displaystyle\frac{F'(x)}{G'(x)}=\frac{x^{3}}{3x^{2}\tan x+x^{3}}\frac{\tan x}{x}\frac{4x-1}{x-1}\)이므로 \(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,0}{\frac{F'(x)}{G'(x)}}=\frac{1}{3+1}=\frac{1}{4}\)이고 따라서 \(g(x)=x^{3}\)이 조건 \(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,0}{\frac{F'(x)}{G'(x)}}=\frac{1}{4}\)를 만족하는 함수이다. 그러면 \(f(x)=x(x-1)^{3}\), \(g(x)=x^{3}\)이므로 따라서 \(f(3)+g(3)=3\times2^{3}+3^{3}=24+27=51\)이다.