[로그] 2015학년도 9월 수능모의평가 수학 B형 21번, 2016학년도 6월 수능모의평가 수학 B형 20번

[로그] 2015학년도 9월 수능모의평가 수학 B형 21번, 2016학년도 6월 수능모의평가 수학 B형 20번

양수 \(x\)에 대하여 상용로그 \(\log x\)의 정수부분을 지표라 하고 소수부분을 가수라 한다. \(\log x\)의 지표를 \(n\), 가수를 \(\alpha\)라 하면 \(\log x=n+\alpha\)이고 \(0\leq\alpha<1\)이다.

다음은 2015학년도 9월 모의평가 수학 B형 21번 문제이다.

양수 \(t\)에 대하여 \(\log t\)의 지표와 가수를 각각 \(f(t)\), \(g(t)\)라 하자. 자연수 \(n\)에 대하여 $$f(t)=9n\left\{g(t)-\frac{1}{3}\right\}^{2}-n$$ 을 만족시키는 서로 다른 모든 \(f(t)\)의 합을 \(a_{n}\)이라 할 때, \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\frac{a_{n}}{n^{2}}}\)의 값은? [4점] 풀이: \(f(t)=9n\left\{g(t)-\frac{1}{3}\right\}^{2}-n=n\{3g(t)-1\}^{2}-n\)은 \(\log t\)의 지표이므로 정수 값을 가져야 한다. 자연수 \(k\)에 대하여 \(\displaystyle(3g(t)-1)^{2}=\frac{k}{n}\)이라 하자. 그러면 \(\displaystyle3g(t)-1=\pm\sqrt{\frac{k}{n}}\)이고 \(g(t)\)는 \(\log t\)의 가수이므로, 가수의 정의에 의해 \(\displaystyle3g(t)-1=\sqrt{\frac{k}{n}}\)이고 \(\displaystyle g(t)=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\sqrt{\frac{k}{n}}\)이다. \(0\leq g(t)<1\)이므로 \(\displaystyle0\leq\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\sqrt{\frac{k}{n}}<1\)이고 \(\displaystyle0\leq1+\sqrt{\frac{k}{n}}<3\)이므로 \(\displaystyle-1\leq\sqrt{\frac{k}{n}}<2\)이고 \(\displaystyle0\leq\frac{k}{n}<4\)이다. 그러면 \(k<4n\)이고 이때 \(\displaystyle f(t)=n\{3g(t)-1\}^{2}-n=k-n\), \(k\)가 자연수이므로 \(\displaystyle a_{n}=\sum_{k=1}^{4n-1}{(k-n)}=\frac{4n(4n-1)}{2}-n(4n-1)=4n^{2}-n\)이고 따라서 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\frac{a_{n}}{n^{2}}}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\frac{4n^{2}-n}{n^{2}}}=4\)이다.

이 문제의 풀이과정에서 핵심은 \(f(t)\)가 \(\log t\)의 지표이고 \(g(t)\)가 \(\log t\)의 가수라는데 있다.

다음은 2016학년도 6월 모의평가 수학 B형 20번 문제이다.

양수 \(t\)에 대하여 \(\log t\)의 가수를 \(f(t)\)라 하자. 자연수 \(n\)에 대하여 다음 조건을 만족시키는 모든 양수 \(t\)의 개수를 \(a_{n}\)이라 할 때, \(a_{4}+a_{5}\)의 값은? [4점] (가) \(1\leq t<100\) (나) \(f(t^{n})+2f(t)=1\) 풀이: \(\log t\)의 지표를 \(g(t)\)라 하자. 조건 (가)에 의해 \(1\leq t<100\)이므로 \(0\leq\log t<2\)이고 \(g(t)=0\) 또는 \(g(t)=1\)이다. 문제에서 요구하는 것은 \(a_{4}+a_{5}\)의 값이므로 \(n=4\)일 때와 \(n=5\)일 때에 대해서 문제를 해결하면 된다. (1): \(n=4\)일 때 \(\log t^{4}=4\log t=4g(t)+4f(t)\)이므로 \(0\leq4f(t)<1\)일 때 \(f(t^{4})=4f(t)\)이고 조건 (나)에 의해 \(f(t^{4})+2f(t)=4f(t)+2f(t)=6(t)=1\)이고 \(\displaystyle f(t)=\frac{1}{6}\), \(\displaystyle f(t^{4})=4f(t)=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\)이다. \(1\leq4f(t)<2\)일 때 \(f(t^{4})=4f(t)-1\)이고 조건 (나)에 의해 \(f(t^{4})+2f(t)=(4f(t)-1)+2f(t)=6f(t)-1=1\)이고 \(\displaystyle f(t)=\frac{1}{3}\), \(\displaystyle f(t^{4})=4f(t)-1=\frac{4}{3}-1=\frac{1}{3}\)이다. \(2\leq4f(t)<3\)일 때 \(f(t^{4})=4f(t)-2\)이고 조건 (나)에 의해 \(f(t^{4})+2f(t)=(4f(t)-2)+2f(t)=6f(t)-2=1\)이고 \(\displaystyle f(t)=\frac{1}{2}\), \(\displaystyle f(t^{4})=4f(t)-2=\frac{4}{2}-2=0\)이다. \(3\leq4f(t)<4\)일 때 \(f(t^{4})=4f(t)-3\)이고 조건 (나)에 의해 \(f(t^{4})+2f(t)=(4f(t)-3)+2f(t)=6f(t)-3=1\)이고 \(\displaystyle f(t)=\frac{2}{3}\), \(\displaystyle f(t^{4})=4f(t)-3=\frac{8}{3}-3=-\frac{1}{3}\)이다. 이는 \(f(t^{4})\)가 \(\log t^{4}\)의 가수라는 조건에 위배된다. \(g(t)=0\)또는 \(g(t)=1\)이므로 \(a_{4}=2\times3=6\)이다. (2) \(n=5\)일 때 \(\log t^{5}=5g(t)+5f(t)\)이므로 \(0\leq5f(t)<1\)일 때 \(f(t^{5})=5f(t)\)이고 조건 (나)에 의해 \(f(t^{5})+2f(t)=5f(t)+2f(t)=7f(t)=1\)이고 \(\displaystyle f(t)=\frac{1}{7}\), \(\displaystyle f(t^{5})=5f(t)=\frac{5}{7}\)이다. \(1\leq5f(t)<2\)일 떄 \(f(t^{5})=5f(t)-1\)이고 조건 (나)에 의해 \(f(t^{5})+2f(t)=(5f(t)-1)+2f(T)=1\)이고 \(\displaystyle f(t)=\frac{2}{7}\), \(\displaystyle f(t^{5})=5f(t)-1=\frac{10}{7}-1=\frac{3}{7}\)이다. \(2\leq5f(t)<3\)일 떄 \(f(t^{5})=5f(t)-2\)이고 조건 (나)에 의해 \(f(t^{5})+2f(t)=(5f(t)-2)+2f(T)=1\)이고 \(\displaystyle f(t)=\frac{3}{7}\), \(\displaystyle f(t^{5})=5f(t)-2=\frac{15}{7}-2=\frac{1}{7}\)이다. \(3\leq5f(t)<4\)일 떄 \(f(t^{5})=5f(t)-3\)이고 조건 (나)에 의해 \(f(t^{5})+2f(t)=(5f(t)-3)+2f(T)=1\)이고 \(\displaystyle f(t)=\frac{4}{7}\), \(\displaystyle f(t^{5})=5f(t)-3=\frac{20}{7}-3=-\frac{1}{7}\)이다. 이는 \(f(t^{5})\)가 \(\log t^{5}\)의 가수라는 조건에 위배된다. \(4\leq5f(t)<5\)일 떄 \(f(t^{5})=5f(t)-4\)이고 조건 (나)에 의해 \(f(t^{5})+2f(t)=(5f(t)-4)+2f(T)=1\)이고 \(\displaystyle f(t)=\frac{5}{7}\), \(\displaystyle f(t^{5})=5f(t)-4=\frac{25}{7}-4=-\frac{3}{7}\)이다. 이는 \(f(t^{5})\)가 \(\log t^{5}\)의 가수라는 조건에 위배된다. \(g(t)=0\)또는 \(g(t)=1\)이므로 \(a_{5}=2\times3=6\)이다. 따라서 \(a_{4}+a_{5}=6+6=12\)이다.

\(g(t)\)와 \(f(t)\)가 \(\log t\)의 지표와 가수일 때 \(\log t^{n}=n\log t=ng(t)+nf(t)\)이므로 \(nf(t)\)가 \(0\)과 \(1\)사이일 때부터 \(n-1\)과 \(n\)사이일 때를 조사한다.