[로그] 2015학년도 9월 수능모의평가 수학 B형 21번, 2016학년도 6월 수능모의평가 수학 B형 20번

[로그] 2015학년도 9월 수능모의평가 수학 B형 21번, 2016학년도 6월 수능모의평가 수학 B형 20번

양수 $x$에 대하여 상용로그 $\log x$의 정수부분을 지표라 하고 소수부분을 가수라 한다. $\log x$의 지표를 $n$, 가수를 $\alpha$라 하면 $\log x=n+\alpha$이고 $0\leq\alpha<1$이다.

다음은 2015학년도 9월 모의평가 수학 B형 21번 문제이다.

양수 $t$에 대하여 $\log t$의 지표와 가수를 각각 $f(t)$, $g(t)$라 하자. 자연수 $n$에 대하여 $$f(t)=9n\left\{g(t)-\frac{1}{3}\right\}^{2}-n$$ 을 만족시키는 서로 다른 모든 $f(t)$의 합을 $a_{n}$이라 할 때, $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\frac{a_{n}}{n^{2}}}$의 값은? [4점] 풀이: $f(t)=9n\left\{g(t)-\frac{1}{3}\right\}^{2}-n=n\{3g(t)-1\}^{2}-n$은 $\log t$의 지표이므로 정수 값을 가져야 한다. 자연수 $k$에 대하여 $\displaystyle(3g(t)-1)^{2}=\frac{k}{n}$이라 하자. 그러면 $\displaystyle3g(t)-1=\pm\sqrt{\frac{k}{n}}$이고 $g(t)$는 $\log t$의 가수이므로, 가수의 정의에 의해 $\displaystyle3g(t)-1=\sqrt{\frac{k}{n}}$이고 $\displaystyle g(t)=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\sqrt{\frac{k}{n}}$이다. $0\leq g(t)<1$이므로 $\displaystyle0\leq\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\sqrt{\frac{k}{n}}<1$이고 $\displaystyle0\leq1+\sqrt{\frac{k}{n}}<3$이므로 $\displaystyle-1\leq\sqrt{\frac{k}{n}}<2$이고 $\displaystyle0\leq\frac{k}{n}<4$이다. 그러면 $k<4n$이고 이때 $\displaystyle f(t)=n\{3g(t)-1\}^{2}-n=k-n$, $k$가 자연수이므로 $\displaystyle a_{n}=\sum_{k=1}^{4n-1}{(k-n)}=\frac{4n(4n-1)}{2}-n(4n-1)=4n^{2}-n$이고 따라서 $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\frac{a_{n}}{n^{2}}}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\frac{4n^{2}-n}{n^{2}}}=4$이다.

이 문제의 풀이과정에서 핵심은 $f(t)$가 $\log t$의 지표이고 $g(t)$가 $\log t$의 가수라는데 있다.

다음은 2016학년도 6월 모의평가 수학 B형 20번 문제이다.

양수 $t$에 대하여 $\log t$의 가수를 $f(t)$라 하자. 자연수 $n$에 대하여 다음 조건을 만족시키는 모든 양수 $t$의 개수를 $a_{n}$이라 할 때, $a_{4}+a_{5}$의 값은? [4점] (가) $1\leq t<100$ (나) $f(t^{n})+2f(t)=1$ 풀이: $\log t$의 지표를 $g(t)$라 하자. 조건 (가)에 의해 $1\leq t<100$이므로 $0\leq\log t<2$이고 $g(t)=0$ 또는 $g(t)=1$이다. 문제에서 요구하는 것은 $a_{4}+a_{5}$의 값이므로 $n=4$일 때와 $n=5$일 때에 대해서 문제를 해결하면 된다. (1): $n=4$일 때 $\log t^{4}=4\log t=4g(t)+4f(t)$이므로 $0\leq4f(t)<1$일 때 $f(t^{4})=4f(t)$이고 조건 (나)에 의해 $f(t^{4})+2f(t)=4f(t)+2f(t)=6(t)=1$이고 $\displaystyle f(t)=\frac{1}{6}$, $\displaystyle f(t^{4})=4f(t)=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$이다. $1\leq4f(t)<2$일 때 $f(t^{4})=4f(t)-1$이고 조건 (나)에 의해 $f(t^{4})+2f(t)=(4f(t)-1)+2f(t)=6f(t)-1=1$이고 $\displaystyle f(t)=\frac{1}{3}$, $\displaystyle f(t^{4})=4f(t)-1=\frac{4}{3}-1=\frac{1}{3}$이다. $2\leq4f(t)<3$일 때 $f(t^{4})=4f(t)-2$이고 조건 (나)에 의해 $f(t^{4})+2f(t)=(4f(t)-2)+2f(t)=6f(t)-2=1$이고 $\displaystyle f(t)=\frac{1}{2}$, $\displaystyle f(t^{4})=4f(t)-2=\frac{4}{2}-2=0$이다. $3\leq4f(t)<4$일 때 $f(t^{4})=4f(t)-3$이고 조건 (나)에 의해 $f(t^{4})+2f(t)=(4f(t)-3)+2f(t)=6f(t)-3=1$이고 $\displaystyle f(t)=\frac{2}{3}$, $\displaystyle f(t^{4})=4f(t)-3=\frac{8}{3}-3=-\frac{1}{3}$이다. 이는 $f(t^{4})$가 $\log t^{4}$의 가수라는 조건에 위배된다. $g(t)=0$또는 $g(t)=1$이므로 $a_{4}=2\times3=6$이다. (2) $n=5$일 때 $\log t^{5}=5g(t)+5f(t)$이므로 $0\leq5f(t)<1$일 때 $f(t^{5})=5f(t)$이고 조건 (나)에 의해 $f(t^{5})+2f(t)=5f(t)+2f(t)=7f(t)=1$이고 $\displaystyle f(t)=\frac{1}{7}$, $\displaystyle f(t^{5})=5f(t)=\frac{5}{7}$이다. $1\leq5f(t)<2$일 떄 $f(t^{5})=5f(t)-1$이고 조건 (나)에 의해 $f(t^{5})+2f(t)=(5f(t)-1)+2f(T)=1$이고 $\displaystyle f(t)=\frac{2}{7}$, $\displaystyle f(t^{5})=5f(t)-1=\frac{10}{7}-1=\frac{3}{7}$이다. $2\leq5f(t)<3$일 떄 $f(t^{5})=5f(t)-2$이고 조건 (나)에 의해 $f(t^{5})+2f(t)=(5f(t)-2)+2f(T)=1$이고 $\displaystyle f(t)=\frac{3}{7}$, $\displaystyle f(t^{5})=5f(t)-2=\frac{15}{7}-2=\frac{1}{7}$이다. $3\leq5f(t)<4$일 떄 $f(t^{5})=5f(t)-3$이고 조건 (나)에 의해 $f(t^{5})+2f(t)=(5f(t)-3)+2f(T)=1$이고 $\displaystyle f(t)=\frac{4}{7}$, $\displaystyle f(t^{5})=5f(t)-3=\frac{20}{7}-3=-\frac{1}{7}$이다. 이는 $f(t^{5})$가 $\log t^{5}$의 가수라는 조건에 위배된다. $4\leq5f(t)<5$일 떄 $f(t^{5})=5f(t)-4$이고 조건 (나)에 의해 $f(t^{5})+2f(t)=(5f(t)-4)+2f(T)=1$이고 $\displaystyle f(t)=\frac{5}{7}$, $\displaystyle f(t^{5})=5f(t)-4=\frac{25}{7}-4=-\frac{3}{7}$이다. 이는 $f(t^{5})$가 $\log t^{5}$의 가수라는 조건에 위배된다. $g(t)=0$또는 $g(t)=1$이므로 $a_{5}=2\times3=6$이다. 따라서 $a_{4}+a_{5}=6+6=12$이다.

$g(t)$와 $f(t)$가 $\log t$의 지표와 가수일 때 $\log t^{n}=n\log t=ng(t)+nf(t)$이므로 $nf(t)$가 $0$과 $1$사이일 때부터 $n-1$과 $n$사이일 때를 조사한다.