[미적분] 2015학년도 6월 수능모의평가 수학 B형 21번, 2017학년도 6월 수능모의평가 수학 가형 17번

[미적분] 2015학년도 6월 수능모의평가 수학 B형 21번, 2017학년도 6월 수능모의평가 수학 가형 17번

풀이과정의 빈칸을 채우는 문제는 주로 수열 위주로 출제되었다가 잠깐 미적분 문제로 출제된 적이 있었다.

2015학년도 6월 수능모의평가 수학 B형 21번

양의 실수 \(t\)에 대하여 좌표평면에서 \(x,\,y\)에 대한 연립부등식$$\begin{cases}x^{2}+(y-1)^{2}\leq1\\y\leq tx\end{cases}$$가 나타내는 영역의 넓이를 \(f(t)\)라 하자. 다음은 \(f'(2)\)의 값을 구하는 과정이다.

원 \(C:\,x^{2}+(y-1)^{2}=1\)의 중심을 \(\text{A}\), 원 \(C\)와 직선 \(l:\,y=tx\)가 만나는 두 점을 각각 \(\text{O},\,\text{B}\)라 하자. 직선 \(l\)이 \(x\)축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 \(\theta\left(0<\theta<\frac{\pi}{2}\right)\)라 하면 \(\angle\text{OAB}=2\theta\)이다. 주어진 연립부등식이 나타내는 영역의 넓이를 \(g(\theta)\)라 하면 \(g(\theta)=\theta-[(가)]\)이다. \(t=\tan\theta\)이므로 \(g(\theta)=f(t)=f(\tan\theta)\)이고, 합성함수의 미분법에 의하여 \(g'(\theta)=f'(t)\times[(나)]\)이다. \(t=2\)일 때, \(\tan\theta=2\)이므로 \(f'(2)=[(다)]\)이다.

      

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 \(h_{1}(\theta),\,h_{2}(\theta)\)라 하고 (다)에 알맞은 수를 \(a\)라 할 때, \(\displaystyle a\times h_{1}\left(\frac{\pi}{4}\right)\times h_{2}\left(\frac{\pi}{4}\right)\)의 값은? [4점]

풀이: \(\angle\text{OAB}=2\theta\)이므로$$g(\theta)=\frac{1}{2}\cdot1^{2}\cdot2\theta-\frac{1}{2}\cdot1^{2}\cdot\sin2\theta=\theta-\frac{1}{2}\sin2\theta$$이고 따라서 (가)에 들어갈 식은 \(\displaystyle\frac{1}{2}\sin2\theta\)이다.

\(t=\tan\theta\)이므로 합성함수의 미분법에 의해$$g'(\theta)=\frac{d}{dt}f(t)\frac{dt}{d\theta}=f'(t)\sec^{2}\theta$$이고 따라서 (나)에 들어갈 식은 \(\sec^{2}\theta\)이다. 

\(t=2\)일 때 \(\tan\theta=2\)이므로 \(\sec^{2}\theta=\tan^{2}\theta+1=2^{2}+1=5\)이고 \(\displaystyle0<\theta<\frac{\pi}{2}\)이므로$$\sec\theta=\sqrt{5},\,\cos\theta=\frac{1}{\sqrt{5}},\,\sin\theta=\frac{2}{\sqrt{5}},\,\cos2\theta=\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta=-\frac{3}{5}$$이고 또한 \(g'(\theta)=1-\cos2\theta\)이므로$$\left\{1-\left(-\frac{3}{5}\right)\right\}=\frac{8}{5}=f'(2)\cdot5$$이고 따라서 \(\displaystyle f'(2)=\frac{8}{25}\)이고 (다)에 알맞은 수는 \(\displaystyle\frac{8}{25}\)이다. 그러면$$h_{1}(\theta)=\frac{1}{2}\sin2\theta,\,h_{2}(\theta)=\sec^{2}\theta,\,a=\frac{8}{25}$$이고 따라서$$a\cdot h_{1}\left(\frac{\pi}{4}\right)\cdot h_{2}\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{8}{25}\cdot\frac{1}{2}\cdot2=\frac{8}{25}$$이다.   

2017학년도 6월 수능모의평가 수학 가형 17번

그림과 같이 포물선 \(y^{2}=4x\)위의 점 \(\text{A}(t^{2},\,2t)\)에서 이 포물선의 준선 \(l\)에 내린 수선의 발을 \(\text{B}\)라 하자. 다음은 점 \(\text{A}\)에서의 접선과 직선 \(\text{OB}\)가 만나는 점을 \(\text{P}\)라 할 때, 점 \(\text{P}\)의 좌표를 구하는 과정이다. (단, \(t\neq0\)이고 \(\text{O}\)는 원점이다.)

포물선의 방정식 \(y^{2}=4x\)의 양변을 \(x\)에 대하여 미분하여 정리하면$$\frac{dy}{dx}=[(가)]\,(단,\,y\neq0)$$이므로 점 \(\text{A}(t^{2},\,2t)\)에서의 접선의 방정식을 구하면$$y=[(나)]\times x+t\,\cdots\cdots㉠$$이다.   \(\text{B}([(다)],\,2t)\)이므로 직선 \(\text{OB}\)의 방정식은$$y=\frac{2t}{[(다)]}x\,\cdots\cdots㉡$$이다. ㉠, ㉡을 연립하여 점 \(\text{P}\)의 좌표를 구하면$$\left([(다)]\times\frac{t^{2}}{2t^{2}+1},\,\frac{2t^{3}}{2t^{2}+1}\right)$$이다.

  

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 \(f(y)\), \(g(t)\)라 하고, (다)에 알맞은 수를 \(a\)라 할 때, \(f(a)\times g(a)\)의 값은? [4점]

풀이: 포물선의 방정식 \(y^{2}=4x\)의 양변을 \(x\)에 대해 미분하면 \(\displaystyle2y\frac{dy}{dx}=4\)이므로 \(\displaystyle\frac{dy}{dx}=\frac{2}{y}\)이고 따라서 (가)에 들어갈 식은 \(\displaystyle\frac{2}{y}\)이다.

점 \(\text{A}(t^{2},\,2t)\)에서 접선의 기울기는 \(\displaystyle\frac{dy}{dx}|_{(t^{2},\,2t)}=\frac{1}{t}\)이므로 점 \(\text{A}(t^{2},\,2t)\)에서 접선의 방정식은$$y=\frac{1}{t}(x-t)+2t=\frac{1}{t}x+t$$이고 따라서 (나)에 들어갈 식은 \(\displaystyle\frac{1}{t}\)이다.

\(\text{B}(-1,\,2t)\)이므로 직선 \(\text{OB}\)의 방정식은 \(\displaystyle y=\frac{2t-0}{-1-0}x=-2tx\)이고, 이 직선의 방정식을 앞에서 구한 접선의 방정식 \(\displaystyle y=\frac{1}{t}x+t\)와 연립하면$$-2tx=\frac{1}{t}x+t$$이고 교점의 \(x\)좌표는 \(\displaystyle x=(-1)\frac{t^{2}}{2t^{2}+1}=-\frac{t^{2}}{2t^{2}+1}\)이므로 따라서 (다)에 알맞은 수는 \(-1\)이다.$$f(y)=\frac{2}{y},\,g(t)=\frac{1}{t},\,a=-1$$이므로 따라서 \(f(a)g(a)=f(-1)g(-1)=(-2)(-1)=2\)이다.