[미적분] 2018학년도 6월 수능모의평가 수학 가형 30번, 수능 수학 가형 30번

[미적분] 2018학년도 6월 수능모의평가 수학 가형 30번, 수능 수학 가형 30번

이 문제는 문제의 복잡한(?) 조건들을 이용해 요구하는 값을 구하는 문제이다.

2018학년도 6월 모의평가 수학 가형 30번

실수 $a$와 함수 $f(x)=\ln(x^{4}+1)-c\,(c>0인 상수)$에 대하여 함수 $g(x)$를 $$g(x)=\int_{a}^{x}{f(t)dt}$$ 라 하자. 함수 $y=g(x)$의 그래프가 $x$축과 만나는 서로 다른 점의 개수가 2가 되도록 하는 모든 $a$의 값을 작은 수부터 크기순으로 나열하면 $\alpha_{1},\,\alpha_{2},\,...,\,\alpha_{m}$($m$은 자연수)이다. $a=\alpha_{1}$일 때, 함수 $g(x)$와 상수 $k$는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 $g(x)$는 $x=1$에서 극댓값을 갖는다. (나) $\displaystyle\int_{\alpha_{1}}^{\alpha_{m}}{g(x)dx}=k\alpha_{m}\int_{0}^{1}{|f(x)|dx}$

 

$mk\times e^{c}$의 값을 구하시오. [4점]

풀이: 조건 (가)에 의해 $g(x)$는 $x=1$에서 극댓값을 가지므로 $g'(1)=f(1)=\ln2-c=0$이고 $c=\ln2$이다.

$\displaystyle\int_{0}^{1}{|f(x)|dx}=S$라 하자.그러면 $f(x)$가 우함수이므로 $\displaystyle\int_{-1}^{1}{f(x)dx}=-2S$이다. $f(x)$의 그래프는 다음과 같고

$g(x)$가 $x$축과 만나는 서로 다른 점의 개수가 2인 경우는 다음과 같다.

그러면 $m=4$이고 $\alpha_{1},\,\alpha_{2},\,\alpha_{3},\,\alpha_{4}$는 다음과 같다.

이때 $\alpha_{1}=-\alpha_{4}$이다. 조건 (나)에서 $$\begin{align*}\int_{\alpha_{1}}^{\alpha_{4}}{g(x)dx}&=\int_{\alpha_{1}}^{\alpha_{4}}{(x)'g(x)dx}\\&=[xg(x)]_{\alpha_{1}}^{\alpha_{4}}-\int_{\alpha_{1}}^{\alpha_{4}}{xf(x)dx}\\&=\alpha_{4}g(\alpha_{4})\\&=\alpha_{4}\int_{\alpha_{1}}^{\alpha_{4}}{f(x)dx}\end{align*}$$ 이고 $\displaystyle\int_{\alpha_{1}}^{\alpha_{4}}{f(x)dx}=2S$이므로 $$\alpha_{4}\cdot2S=ka_{4}S$$ 이고 $k=2$이다. 

따라서 $mke^{c}=4\cdot2\cdot e^{\ln2}=4\cdot2\cdot2=16$이다. 

 

2018학년도 수능 수학 가형 30번

실수 $t$에 대하여 함수 $f(x)$를 $$f(x)=\begin{cases}1-|x-t|&\,(|x-t|\leq1)\\0&\,(|x-t|>1)\end{cases}$$ 이라 할 때, 어떤 홀수 $k$에 대하여 함수 $$g(t)=\int_{k}^{k+8}{f(x)\cos(\pi x)dx}$$ 가 다음 조건을 만족시킨다.

함수 $g(t)$가 $t=\alpha$에서 극소이고 $g(\alpha)<0$인 모든 $\alpha$를 작은 수부터 크기순으로 나열한 것을 $\alpha_{1},\,\alpha_{2},\,...,\,\alpha_{m}$($m$은 자연수)라 할 때, $\displaystyle\sum_{i=1}^{m}{\alpha_{i}}=45$이다.

 

$\displaystyle k-\pi^{2}\sum_{i=1}^{m}{g(\alpha_{i})}$의 값을 구하시오. [4점] 

풀이: 함수 $y=f(x)$의 그래프는 다음과 같다.

$\cos\pi x$는 홀수 정수에서 극소이므로 $\alpha$는 홀수 정수이고 $g(t)$는 $x=k$에서 $x=k+8$까지 함수 $f(x)\cos\pi x$를 정적분한 함수이므로 $\alpha$로 가능한 홀수는 다음과 같고 $$k,\,k+2,\,k+4,\,k+6,\,k+8$$ 문제의 조건에서 $\displaystyle\sum_{i=1}^{m}{\alpha_{i}}=45$이므로 $$k+(k+2)+(k+4)+(k+6)+(k+8)=5k+20=45$$ 이고 $k=5$이다. $f(x)$는 $x=t$에 대해 대칭이고, 홀수 정수 $t$에 대해 $\cos\pi t$는 $x=t$에 대해 대칭이므로 $g(t)$는 다음과 같다. $$\begin{align*}g(t)&=2\int_{t-1}^{t}{(x-t+1)\cos\pi xdx}\\&=2\left[\frac{(x-t+1)\sin\pi x}{\pi}\right]_{t-1}^{t}-\frac{2}{\pi}\int_{t-1}^{t}{\sin\pi xdx}\\&=\frac{2}{\pi^{2}}[-\cos\pi x]_{t-1}^{t}\\&=\frac{2(\cos \pi t-\cos\pi(t-1))}{\pi^{2}}\\&=-\frac{4}{\pi^{2}}\end{align*}$$ 따라서 $$k-\pi^{2}\sum_{i=1}^{m}{g(\alpha_{i})}=5-\pi^{2}\cdot5\cdot\left(-\frac{4}{\pi^{2}}\right)=5+20=25$$ 이다.