[벡터] 2014학년도 수능 수학 B형 29번, 2017학년도 수능 수학 가형 29번

[벡터] 2014학년도 수능 수학 B형 29번, 2017학년도 수능 수학 가형 29번

여기서는 가장 풀기 어려운 공간벡터 문제를 다루었다. 

2014학년도 수능 수학 B형 29번 

좌표공간에서 구 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=4$ 위를 움직이는 두 점 $\text{P},\,\text{Q}$가 있다. 두 점 $\text{P},\,\text{Q}$에서 평면 $y=4$에 내린 수선의 발을 각각 $\text{P}_{1},\,\text{Q}_{1}$이라 하고, 평면 $y+\sqrt{3}z+8=0$에 내린 수선의 발을 각각 $\text{P}_{2},\,\text{Q}_{2}$라 하자. $2|\overrightarrow{\text{PQ}}|^{2}-|\overrightarrow{\text{P}_{1}\text{Q}_{1}}|^{2}-|\overrightarrow{\text{P}_{2}\text{Q}_{2}}|^{2}$의 최댓값을 구하시오. [4점]

풀이: 평면 $y=4$와 $y+\sqrt{3}z+8=0$의 법선벡터가 각각 $\overrightarrow{n_{1}}=(0,\,1,\,0)$, $\overrightarrow{n_{2}}=(0,\,1,\,\sqrt{3})$이므로 $$\frac{\overrightarrow{n_{1}}\cdot\overrightarrow{n_{2}}}{|\overrightarrow{n_{1}}||\overrightarrow{n_{2}}|}=\frac{0\cdot0+1\cdot1+0\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{0^{2}+1^{2}+0^{2}}\sqrt{0^{2}+1^{2}+(\sqrt{3})^{2}}}=\frac{1}{2}=\cos\frac{\pi}{3}$$ 이고 두 평면 $y=4$와 $y+\sqrt{3}z+8=0$이 이루는 예각은 $\displaystyle\frac{\pi}{3}$이다. 

문제에서 요구하는 $2|\overrightarrow{\text{PQ}}|^{2}-|\overrightarrow{\text{P}_{1}\text{Q}_{1}}|^{2}-|\overrightarrow{\text{P}_{2}\text{Q}_{2}}|^{2}$가 최대이려면 우선 $|\overrightarrow{\text{PQ}}|$가 최대, 즉 $|\overrightarrow{\text{PQ}}|=4$(구의 지름)이어야 한다. 또한 다음의 그림처럼 점 $\text{P},\,\text{Q}$, $\text{P}_{1},\,\text{Q}_{1}$, $\text{P}_{2},\,\text{Q}_{2}$가 한 평면 위에 있어야 한다.

위의 그림에서 $\alpha$는 평면 $y=4$와 $y+\sqrt{3}z+8=0$과 이루는 각이 $\displaystyle\frac{\pi}{3}$인 평면이고, $\theta$는 $\overrightarrow{\text{PQ}}$와 평면 $\alpha$가 이루는 각이다. $2|\overrightarrow{\text{PQ}}|-|\overrightarrow{\text{P}_{1}\text{Q}_{1}}|-|\overrightarrow{\text{P}_{2}\text{Q}_{2}}|$를 $f(\theta)$라 하면 $|\overrightarrow{\text{PQ}}|=4$, $\overrightarrow{\text{PQ}}$와 $\overrightarrow{\text{P}_{1}\text{Q}_{1}}$이 이루는 예각이 $\displaystyle\frac{\pi}{3}-\theta$, $\overrightarrow{\text{PQ}}$와 $\overrightarrow{\text{P}_{2}\text{Q}_{2}}$가 이루는 예각이 $\displaystyle\frac{\pi}{3}+\theta$이므로 $$\begin{align*}f(\theta)&=2\cdot4^{2}-4^{2}\cos^{2}\left(\frac{\pi}{3}-\theta\right)-4^{2}\cos^{2}\left(\frac{\pi}{3}+\theta\right)\\&=32-16\cos^{2}\left(\frac{\pi}{3}-\theta\right)-16\cos^{2}\left(\frac{\pi}{3}+\theta\right)\end{align*}$$ 이고 $$\begin{align*}f'(\theta)&=-16\sin\left(\frac{2}{3}\pi-2\theta\right)+16\sin\left(\frac{2}{3}\pi+2\theta\right)\\&=-16\left\{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos2\theta+\frac{1}{2}\sin2\theta\right)-\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos2\theta-\frac{1}{2}\sin2\theta\right)\right\}\\&=-16\sin2\theta\end{align*}$$ 이므로 $\theta=0$일 때 $f(\theta)$는 최대이고 따라서 $f(\theta)$의 최댓값은 $$f(0)=32-16\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\right)=32-16\cdot\frac{1}{2}=32-8=24$$ 이다.     

2017학년도 수능 수학 가형 29번

한 모서리의 길이가 4인 정사면체 $\text{ABCD}$에서 삼각형 $\text{ABC}$의 무게중심을 $\text{O}$, 선분 $\text{AD}$의 중점을 $\text{P}$라 하자. 정사면체 $\text{ABCD}$의 한 면 $\text{BCD}$ 위의 점 $\text{Q}$에 대하여 두 벡터 $\overrightarrow{\text{OQ}}$와 $\overrightarrow{\text{OP}}$가 서로 수직일 때, $|\overrightarrow{\text{PQ}}|$의 최댓값은 $\displaystyle\frac{q}{p}$이다. $p+q$의 값을 구하시오. (단, $p,\,q$는 서로소인 자연수이다.) [4점]

풀이: 선분 $\text{BC}$의 중점을 $\text{M}$이라 하자. 다음은 평면 $\text{DAM}$을 나타낸 것이다.

여기서 $\text{Q}$는 선분 $\text{DM}$상에 있다.

$\displaystyle\overline{\text{DM}}=\overline{\text{AM}}=4\sin\frac{\pi}{3}=2\sqrt{3}$이고, 점 $\text{O}$는 삼각형 $\text{ABC}$의 무게중심이므로 $\displaystyle\overline{\text{AO}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$, $\displaystyle\overline{\text{OM}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$이다.

점 $\text{P}$는 선분 $\text{AD}$의 중점이므로 $$\begin{align*}\overline{\text{OP}}^{2}&=\left(\frac{1}{2}\overline{\text{OD}}\right)^{2}+\left(\frac{1}{2}\overline{\text{AO}}\right)^{2}\\&=\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)^{2}+\left(\frac{2\sqrt{6}}{3}\right)^{2}\\&=\frac{12+24}{9}=\frac{36}{9}\\&=4\end{align*}$$ 이고 $|\overrightarrow{\text{OP}}|=2$이다. 

$\overrightarrow{\text{OQ}}=t\overrightarrow{\text{OD}}+(1-t)\overrightarrow{\text{OM}}$이라 하자. 삼각형 $\text{POA}$는 $\overline{\text{PA}}=\overline{\text{PO}}=2$인 이등변삼각형이므로 $\overrightarrow{\text{OP}}$와 $\overrightarrow{\text{OD}}$가 이루는 각은 $\displaystyle\frac{\pi}{2}-\theta$이고, $\angle\text{POA}=\theta$이므로 $\overrightarrow{\text{OP}}$와 $\overrightarrow{\text{OM}}$이 이루는 각은 $\pi-\theta$이다.

그러면 $\displaystyle\cos\theta=\frac{1}{\sqrt{3}},\,\sin\theta=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$이고, $\overrightarrow{\text{OP}}$와 $\overrightarrow{\text{OQ}}$는 서로 수직이므로 $$\begin{align*}\overrightarrow{\text{OP}}\cdot\overrightarrow{\text{OQ}}&=\overrightarrow{\text{OP}}\cdot(t\overrightarrow{\text{OD}}+(1-t)\overrightarrow{\text{OM}})\\&=t\overrightarrow{\text{OD}}\cdot\overrightarrow{\text{OD}}+(1-t)\overrightarrow{\text{OP}}\cdot\overrightarrow{\text{OM}}\\&=t2\cdot\frac{4\sqrt{6}}{3}\cos\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)+(1-t)2\cdot\frac{2\sqrt{3}}{3}\cos(\pi-\theta)\\&=2t\cdot\frac{4\sqrt{6}}{3}\cdot\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}+(1-t)\frac{4\sqrt{3}}{3}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\\&=\frac{8\cdot2}{3}t+(t-1)\frac{4}{3}\\&=\frac{20}{3}t-\frac{4}{3}\\&=0\end{align*}$$ 이고 $\displaystyle t=\frac{1}{5}$이다. 그러면 $\displaystyle\overrightarrow{\text{OQ}}=\frac{1}{5}\overrightarrow{\text{OD}}+\frac{4}{5}\overrightarrow{\text{OM}}$이다. $\displaystyle\angle\text{DOM}=\frac{\pi}{2}$이므로 $$\begin{align*}|\overrightarrow{\text{OQ}}|^{2}&=\frac{1}{25}\left(\frac{4\sqrt{6}}{3}\right)^{2}+\frac{16}{25}\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)^{2}\\&=\frac{1}{25}\cdot\frac{32}{3}+\frac{16}{25}\cdot\frac{4}{3}\\&=\frac{96}{75}=\frac{32}{25}\end{align*}$$ 이고 $\displaystyle|\overrightarrow{\text{OQ}}|=\frac{4\sqrt{2}}{5}$이며 $$|\overrightarrow{\text{PQ}}|=\sqrt{2^{2}+\left(\frac{4\sqrt{2}}{5}\right)}=\sqrt{4+\frac{32}{25}}=\frac{\sqrt{132}}{5}=\frac{2\sqrt{33}}{5}$$ 이다.

여기까지 점 $\text{Q}$는 평면 $\text{DAM}$위에 있다고 가정했다. 실제로 점 $\text{Q}$는 평면 $\text{BCD}$위에 있고, $\overrightarrow{\text{OP}}$와 수직이므로 점 $\text{Q}$의 자취는 다음의 그림과 같다.

$\text{Q}$가 평면 $\text{DAM}$에 있을 때 $\displaystyle\overrightarrow{\text{OQ}}=\frac{1}{5}\overrightarrow{\text{OD}}+\frac{4}{5}\overrightarrow{\text{OM}}$이므로 점 $Q$는 선분 $\text{DM}$을 $4:1$로 내분하고 $\displaystyle\overrightarrow{\text{DQ}}=\frac{4}{5}(2\sqrt{3})=\frac{8\sqrt{3}}{5}$이다. 

그러면 $Q$의 자취의 길이를 $l$이라고 할 때 $\displaystyle l:\overline{\text{BC}}(=4)=\frac{8\sqrt{3}}{3}:2\sqrt{3}$이므로 $\displaystyle l=\frac{16}{5}$이다. 

점 $\text{Q}$가 선분 $\overline{\text{DB}}$ 또는 $\overline{\text{DC}}$위에 있을 때 $|\overrightarrow{\text{PQ}}|$가 최대이고 이때 $$|\overrightarrow{\text{PQ}}|^{2}=\left(\frac{2\sqrt{33}}{5}\right)^{2}+\left(\frac{1}{2}\cdot\frac{16}{5}\right)^{2}=\frac{132}{25}+\frac{64}{25}=\frac{196}{25}$$ 이므로 $\displaystyle|\overrightarrow{\text{PQ}}|=\sqrt{\frac{196}{25}}=\frac{14}{5}$이고 따라서 $p+q=19$이다.