[벡터] 2014학년도 수능 수학 B형 29번, 2017학년도 수능 수학 가형 29번

[벡터] 2014학년도 수능 수학 B형 29번, 2017학년도 수능 수학 가형 29번

여기서는 가장 풀기 어려운 공간벡터 문제를 다루었다. 

2014학년도 수능 수학 B형 29번 

좌표공간에서 구 \(x^{2}+y^{2}+z^{2}=4\) 위를 움직이는 두 점 \(\text{P},\,\text{Q}\)가 있다. 두 점 \(\text{P},\,\text{Q}\)에서 평면 \(y=4\)에 내린 수선의 발을 각각 \(\text{P}_{1},\,\text{Q}_{1}\)이라 하고, 평면 \(y+\sqrt{3}z+8=0\)에 내린 수선의 발을 각각 \(\text{P}_{2},\,\text{Q}_{2}\)라 하자. \(2|\overrightarrow{\text{PQ}}|^{2}-|\overrightarrow{\text{P}_{1}\text{Q}_{1}}|^{2}-|\overrightarrow{\text{P}_{2}\text{Q}_{2}}|^{2}\)의 최댓값을 구하시오. [4점]

풀이: 평면 \(y=4\)와 \(y+\sqrt{3}z+8=0\)의 법선벡터가 각각 \(\overrightarrow{n_{1}}=(0,\,1,\,0)\), \(\overrightarrow{n_{2}}=(0,\,1,\,\sqrt{3})\)이므로$$\frac{\overrightarrow{n_{1}}\cdot\overrightarrow{n_{2}}}{|\overrightarrow{n_{1}}||\overrightarrow{n_{2}}|}=\frac{0\cdot0+1\cdot1+0\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{0^{2}+1^{2}+0^{2}}\sqrt{0^{2}+1^{2}+(\sqrt{3})^{2}}}=\frac{1}{2}=\cos\frac{\pi}{3}$$이고 두 평면 \(y=4\)와 \(y+\sqrt{3}z+8=0\)이 이루는 예각은 \(\displaystyle\frac{\pi}{3}\)이다. 

문제에서 요구하는 \(2|\overrightarrow{\text{PQ}}|^{2}-|\overrightarrow{\text{P}_{1}\text{Q}_{1}}|^{2}-|\overrightarrow{\text{P}_{2}\text{Q}_{2}}|^{2}\)가 최대이려면 우선 \(|\overrightarrow{\text{PQ}}|\)가 최대, 즉 \(|\overrightarrow{\text{PQ}}|=4\)(구의 지름)이어야 한다. 또한 다음의 그림처럼 점 \(\text{P},\,\text{Q}\), \(\text{P}_{1},\,\text{Q}_{1}\), \(\text{P}_{2},\,\text{Q}_{2}\)가 한 평면 위에 있어야 한다.

위의 그림에서 \(\alpha\)는 평면 \(y=4\)와 \(y+\sqrt{3}z+8=0\)과 이루는 각이 \(\displaystyle\frac{\pi}{3}\)인 평면이고, \(\theta\)는 \(\overrightarrow{\text{PQ}}\)와 평면 \(\alpha\)가 이루는 각이다. \(2|\overrightarrow{\text{PQ}}|-|\overrightarrow{\text{P}_{1}\text{Q}_{1}}|-|\overrightarrow{\text{P}_{2}\text{Q}_{2}}|\)를 \(f(\theta)\)라 하면 \(|\overrightarrow{\text{PQ}}|=4\), \(\overrightarrow{\text{PQ}}\)와 \(\overrightarrow{\text{P}_{1}\text{Q}_{1}}\)이 이루는 예각이 \(\displaystyle\frac{\pi}{3}-\theta\), \(\overrightarrow{\text{PQ}}\)와 \(\overrightarrow{\text{P}_{2}\text{Q}_{2}}\)가 이루는 예각이 \(\displaystyle\frac{\pi}{3}+\theta\)이므로$$\begin{align*}f(\theta)&=2\cdot4^{2}-4^{2}\cos^{2}\left(\frac{\pi}{3}-\theta\right)-4^{2}\cos^{2}\left(\frac{\pi}{3}+\theta\right)\\&=32-16\cos^{2}\left(\frac{\pi}{3}-\theta\right)-16\cos^{2}\left(\frac{\pi}{3}+\theta\right)\end{align*}$$이고$$\begin{align*}f'(\theta)&=-16\sin\left(\frac{2}{3}\pi-2\theta\right)+16\sin\left(\frac{2}{3}\pi+2\theta\right)\\&=-16\left\{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos2\theta+\frac{1}{2}\sin2\theta\right)-\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos2\theta-\frac{1}{2}\sin2\theta\right)\right\}\\&=-16\sin2\theta\end{align*}$$이므로 \(\theta=0\)일 때 \(f(\theta)\)는 최대이고 따라서 \(f(\theta)\)의 최댓값은$$f(0)=32-16\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\right)=32-16\cdot\frac{1}{2}=32-8=24$$이다.     

2017학년도 수능 수학 가형 29번

한 모서리의 길이가 4인 정사면체 \(\text{ABCD}\)에서 삼각형 \(\text{ABC}\)의 무게중심을 \(\text{O}\), 선분 \(\text{AD}\)의 중점을 \(\text{P}\)라 하자. 정사면체 \(\text{ABCD}\)의 한 면 \(\text{BCD}\) 위의 점 \(\text{Q}\)에 대하여 두 벡터 \(\overrightarrow{\text{OQ}}\)와 \(\overrightarrow{\text{OP}}\)가 서로 수직일 때, \(|\overrightarrow{\text{PQ}}|\)의 최댓값은 \(\displaystyle\frac{q}{p}\)이다. \(p+q\)의 값을 구하시오. (단, \(p,\,q\)는 서로소인 자연수이다.) [4점]

풀이: 선분 \(\text{BC}\)의 중점을 \(\text{M}\)이라 하자. 다음은 평면 \(\text{DAM}\)을 나타낸 것이다.

여기서 \(\text{Q}\)는 선분 \(\text{DM}\)상에 있다.

\(\displaystyle\overline{\text{DM}}=\overline{\text{AM}}=4\sin\frac{\pi}{3}=2\sqrt{3}\)이고, 점 \(\text{O}\)는 삼각형 \(\text{ABC}\)의 무게중심이므로 \(\displaystyle\overline{\text{AO}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}\), \(\displaystyle\overline{\text{OM}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}\)이다.

점 \(\text{P}\)는 선분 \(\text{AD}\)의 중점이므로$$\begin{align*}\overline{\text{OP}}^{2}&=\left(\frac{1}{2}\overline{\text{OD}}\right)^{2}+\left(\frac{1}{2}\overline{\text{AO}}\right)^{2}\\&=\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)^{2}+\left(\frac{2\sqrt{6}}{3}\right)^{2}\\&=\frac{12+24}{9}=\frac{36}{9}\\&=4\end{align*}$$이고 \(|\overrightarrow{\text{OP}}|=2\)이다. 

\(\overrightarrow{\text{OQ}}=t\overrightarrow{\text{OD}}+(1-t)\overrightarrow{\text{OM}}\)이라 하자. 삼각형 \(\text{POA}\)는 \(\overline{\text{PA}}=\overline{\text{PO}}=2\)인 이등변삼각형이므로 \(\overrightarrow{\text{OP}}\)와 \(\overrightarrow{\text{OD}}\)가 이루는 각은 \(\displaystyle\frac{\pi}{2}-\theta\)이고, \(\angle\text{POA}=\theta\)이므로 \(\overrightarrow{\text{OP}}\)와 \(\overrightarrow{\text{OM}}\)이 이루는 각은 \(\pi-\theta\)이다.

그러면 \(\displaystyle\cos\theta=\frac{1}{\sqrt{3}},\,\sin\theta=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\)이고, \(\overrightarrow{\text{OP}}\)와 \(\overrightarrow{\text{OQ}}\)는 서로 수직이므로$$\begin{align*}\overrightarrow{\text{OP}}\cdot\overrightarrow{\text{OQ}}&=\overrightarrow{\text{OP}}\cdot(t\overrightarrow{\text{OD}}+(1-t)\overrightarrow{\text{OM}})\\&=t\overrightarrow{\text{OD}}\cdot\overrightarrow{\text{OD}}+(1-t)\overrightarrow{\text{OP}}\cdot\overrightarrow{\text{OM}}\\&=t2\cdot\frac{4\sqrt{6}}{3}\cos\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)+(1-t)2\cdot\frac{2\sqrt{3}}{3}\cos(\pi-\theta)\\&=2t\cdot\frac{4\sqrt{6}}{3}\cdot\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}+(1-t)\frac{4\sqrt{3}}{3}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\\&=\frac{8\cdot2}{3}t+(t-1)\frac{4}{3}\\&=\frac{20}{3}t-\frac{4}{3}\\&=0\end{align*}$$이고 \(\displaystyle t=\frac{1}{5}\)이다. 그러면 \(\displaystyle\overrightarrow{\text{OQ}}=\frac{1}{5}\overrightarrow{\text{OD}}+\frac{4}{5}\overrightarrow{\text{OM}}\)이다. \(\displaystyle\angle\text{DOM}=\frac{\pi}{2}\)이므로$$\begin{align*}|\overrightarrow{\text{OQ}}|^{2}&=\frac{1}{25}\left(\frac{4\sqrt{6}}{3}\right)^{2}+\frac{16}{25}\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)^{2}\\&=\frac{1}{25}\cdot\frac{32}{3}+\frac{16}{25}\cdot\frac{4}{3}\\&=\frac{96}{75}=\frac{32}{25}\end{align*}$$이고 \(\displaystyle|\overrightarrow{\text{OQ}}|=\frac{4\sqrt{2}}{5}\)이며$$|\overrightarrow{\text{PQ}}|=\sqrt{2^{2}+\left(\frac{4\sqrt{2}}{5}\right)}=\sqrt{4+\frac{32}{25}}=\frac{\sqrt{132}}{5}=\frac{2\sqrt{33}}{5}$$이다.

여기까지 점 \(\text{Q}\)는 평면 \(\text{DAM}\)위에 있다고 가정했다. 실제로 점 \(\text{Q}\)는 평면 \(\text{BCD}\)위에 있고, \(\overrightarrow{\text{OP}}\)와 수직이므로 점 \(\text{Q}\)의 자취는 다음의 그림과 같다.

\(\text{Q}\)가 평면 \(\text{DAM}\)에 있을 때 \(\displaystyle\overrightarrow{\text{OQ}}=\frac{1}{5}\overrightarrow{\text{OD}}+\frac{4}{5}\overrightarrow{\text{OM}}\)이므로 점 \(Q\)는 선분 \(\text{DM}\)을 \(4:1\)로 내분하고 \(\displaystyle\overrightarrow{\text{DQ}}=\frac{4}{5}(2\sqrt{3})=\frac{8\sqrt{3}}{5}\)이다. 

그러면 \(Q\)의 자취의 길이를 \(l\)이라고 할 때 \(\displaystyle l:\overline{\text{BC}}(=4)=\frac{8\sqrt{3}}{3}:2\sqrt{3}\)이므로 \(\displaystyle l=\frac{16}{5}\)이다. 

점 \(\text{Q}\)가 선분 \(\overline{\text{DB}}\) 또는 \(\overline{\text{DC}}\)위에 있을 때 \(|\overrightarrow{\text{PQ}}|\)가 최대이고 이때$$|\overrightarrow{\text{PQ}}|^{2}=\left(\frac{2\sqrt{33}}{5}\right)^{2}+\left(\frac{1}{2}\cdot\frac{16}{5}\right)^{2}=\frac{132}{25}+\frac{64}{25}=\frac{196}{25}$$이므로 \(\displaystyle|\overrightarrow{\text{PQ}}|=\sqrt{\frac{196}{25}}=\frac{14}{5}\)이고 따라서 \(p+q=19\)이다.