[미적분] 2018학년도 9월 수능모의평가 수학 가형 21번, 2019학년도 수능 수학 가형 30번

[미적분] 2018학년도 9월 수능모의평가 수학 가형 21번, 2019학년도 수능 수학 가형 30번

가장 어려운 소위 말하는 킬러문제의 풀이이다.

2018학년도 9월 모의평가 수학 가형 21번

수열 \(\{a_{n}\}\)이$$a_{1}=-1,\,a_{n}=2-\frac{1}{2^{n-2}}\,(n\geq2)$$이다. 구간 \([-1,\,2)\)에서 정의된 함수 \(f(x)\)가 모든 자연수 \(n\)에 대하여$$f(x)=\sin(2^{n}\pi x)\,(a_{n}\leq x\leq a_{n+1})$$이다. \(-1<\alpha<0\)인 실수 \(\alpha\)에 대하여 \(\displaystyle\int_{\alpha}^{t}{f(x)dx}=0\)을 만족시키는 \(t\,(0<t<2)\)의 값의 개수가 103일 때, \(\log_{2}(1-\cos(2\pi\alpha))\)의 값은? [4점]

풀이: \(\displaystyle\int_{\alpha}^{t}{f(x)dx}=\int_{\alpha}^{0}{f(x)dx}+\int_{0}^{t}{f(x)dx}=0\)이므로 \(\displaystyle\int_{0}^{\alpha}{f(x)dx}=\int_{0}^{t}{f(x)dx}\)이고, \(\displaystyle\int_{0}^{\alpha}{f(x)dx}>0\)이며, 이 식을 만족하는 \(t\)가 103개 있다.

다음은 함수 \(y=f(x)\)의 그래프이다.

2이상의 자연수 \(n\)에 대해 \(\displaystyle a_{n}=2-\frac{1}{2^{n-2}}=2-\frac{2}{2^{n-1}}\left(=\frac{2^{n+1}-4}{2^{n}}\right)\), \(\displaystyle a_{n+1}=2-\frac{1}{2^{n-1}}\)이므로 \(\displaystyle b_{n}=\frac{a_{n}+a_{n+1}}{2}\)라 하면 \(\displaystyle b_{n}=\frac{2^{n+1}-3}{2^{n}}\,(n\geq3)\)이고$$\begin{align*}\int_{a_{n}}^{b_{n}}{f(x)dx}&=\left[-\frac{1}{2^{n}\pi}\cos(2^{n}\pi x)\right]_{a_{n}}^{b_{n}}=-\frac{\cos(2^{n}b_{n}\pi)-\cos(2^{n}a_{n}\pi)}{2^{n}\pi}\end{align*}$$이며 이때 2이상의 자연수 \(n\)에 대해 \(2^{n}b_{n}=2^{n+1}-3\)이므로 \(2^{n}b_{n}\)은 홀수이고, \(2^{n}a_{n}=2^{n+1}-4\)이므로 \(2^{n}a_{n}\)은 짝수이다. 그러면$$\cos(2^{n}b_{n}\pi)=-1,\,\cos(2^{n}a_{n}\pi)=1$$이고 따라서$$\int_{a_{n}}^{b_{n}}{f(x)dx}=\frac{2}{2^{n}\pi}=\frac{1}{2^{n-1}\pi}$$이다. 

다음은 함수 \(\displaystyle y=\int_{0}^{x}{f(s)ds}\,(1\leq x<2)\)의 그래프이다.

\(t\)에 대한 방정식 \(\displaystyle\int_{0}^{t}{f(x)dx}=\int_{0}^{\alpha}{f(x)dx}\)는 구간 \([0,\,a_{2}]\)에서 최대 2개의 해를 갖고, \([0,\,a_{3}]\)에서 최대 4개, \([0,\,a_{4}]\)에서 최대 6개를 갖고, \([0,\,a_{52}]\)에서 최대 102개를 갖는다.

2이상의 자연수 \(n\)에 대해 구간 \([a_{n},\,a_{n+1}]\)에서 \(\displaystyle y=\int_{0}^{x}{f(s)ds}\)의 최댓값은 \(\displaystyle\frac{1}{2^{n-1}\pi}\)이다. 방정식 \(\displaystyle\int_{0}^{t}{f(x)dx}=\int_{0}^{\alpha}{f(x)dx}\)의 해가 103개이고, 앞에서 \([0,\,a_{52}]\)에서 최대 102개의 해를 가지므로 \([a_{52},\,a_{53}]\)에서 1개의 해를 가져야 하며, 이때 \(\displaystyle\int_{0}^{t}{f(x)dx}=\frac{1}{2^{52-1}\pi}=\frac{1}{2^{51}\pi}\)이다.

\([-1,\,0]\)에서 \(f(x)=\sin2\pi x\)이므로$$\frac{1}{2^{51}\pi}=\int_{0}^{t}{f(x)dx}=\int_{0}^{\alpha}{f(x)dx}=\int_{0}^{\alpha}{\sin2\pi xdx}=\left[-\frac{1}{2\pi}\cos(2\pi x)\right]_{0}^{\alpha}=\frac{1-\cos(2\pi\alpha)}{2\pi}$$이고, \(1-\cos(2\pi\alpha)=2^{-50}\)이므로 따라서 \(\log_{2}(1-\cos(2\pi\alpha))=-50\)이다. 

2019학년도 수능 수학 가형 30번   

최고차항의 계수가 \(6\pi\)인 삼차함수 \(f(x)\)에 대하여 함수 \(\displaystyle g(x)=\frac{1}{2+\sin(f(x))}\)이 \(x=\alpha\)에서 극대 또는 극소이고 \(\alpha\geq0\)인 모든 \(\alpha\)를 작은 수부터 크기순으로 나열한 것을 \(\alpha_{1},\,\alpha_{2},\,\alpha_{3},\,\alpha_{4},\,\alpha_{5},\,...\)라 할 때, \(g(x)\)는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) \(\alpha_{1}=0\)이고 \(\displaystyle g(\alpha_{1})=\frac{2}{5}\)이다. (나) \(\displaystyle\frac{1}{g(\alpha_{5})}=\frac{1}{g(\alpha_{2})}+\frac{1}{2}\)

       

\(\displaystyle g'\left(-\frac{1}{2}\right)=a\pi\)라 할 때, \(a^{2}\)의 값을 구하시오.

(단, \(\displaystyle0<f(0)<\frac{\pi}{2}\)) [4점]

풀이: 조건 (가)에서 \(\alpha_{1}=0\), \(\displaystyle g(\alpha_{1})=\frac{2}{5}\)이므로$$g(\alpha_{1})=g(0)=\frac{1}{2+\sin f(0)}=\frac{2}{5}$$이고 \(\displaystyle2+\sin f(0)=\frac{5}{2}\)이므로 \(\displaystyle\sin f(0)=\frac{1}{2}\)이고 \(\displaystyle 0<f(0)<\frac{\pi}{2}\)이므로 \(\displaystyle f(0)=\frac{\pi}{6}\)이다.$$g'(x)=-\frac{f'(x)\cos f(x)}{\{2+\sin f(x)\}^{2}}$$이고 \(\alpha_{1}=0\)은 \(g(x)\)의 극값이므로 \(g'(0)=0\)이고 \(\displaystyle\cos f(0)=\frac{\sqrt{3}}{2}\)이므로 \(f'(0)=0\)이다. 

또한$$\frac{1}{g(\alpha_{5})}=2+\sin f(\alpha_{5}),\,\frac{1}{g(\alpha_{2})}=2+\sin f(\alpha_{2})$$조건 (나)에 의해$$\sin f(\alpha_{5})=\sin f(\alpha_{2})+\frac{1}{2}$$이다. 앞에서 \(f(x)\)의 최고차항의 계수가 \(6\pi\)이고 \(\displaystyle f(0)=\frac{\pi}{6}\), \(f'(0)=0\)이므로$$f(x)=6\pi x^{3}+px^{2}+\frac{\pi}{6},\,f'(x)=18\pi x^{2}+2px$$이다. \(f(x)\)의 최고차항의 계수가 양수이므로 \(x\geq0\)에서 \(f(x)\)는 증가하거나 하나의 극솟값을 가져야 하는데 조건 (나)로부터 얻은 결과$$\sin f(\alpha_{5})=\sin f(\alpha_{2})+\frac{1}{2}$$를 만족해야 하므로 \(f(x)\)는 \(x\geq0\)에서 하나의 극솟값을 가져야 하고 \(f'(\alpha_{2})=0\) 또는 \(f'(\alpha_{5})=0\)이어야 한다.

\(f'(\alpha_{2})=0\)이면, \(0<x<\alpha_{2}\)에서 \(f(x)\)는 감소하고$$f(\alpha_{3})=\frac{\pi}{2},\,f(\alpha_{4})=\frac{3}{2}\pi,\,f(\alpha_{5})=\frac{5}{2}\pi$$이므로 \(\displaystyle\sin f(\alpha_{5})=1\)이고 \(\displaystyle\sin f(\alpha_{2})=\frac{1}{2}\)이 되는데 \(0<x<\alpha_{2}\)에서 \(f(x)\)는 감소하고 \(\displaystyle f(\alpha_{1})=\frac{\pi}{6}\), \(\displaystyle\sin f(\alpha_{1})=\frac{1}{2}\)이므로 \(\displaystyle\sin f(\alpha_{2})=\frac{1}{2}\)일 수는 없다.

그러므로 \(f'(\alpha_{5})=0\)이어야 하고, \(0<x<\alpha_{5}\)에서 \(f(x)\)는 감소하며$$f(\alpha_{2})=-\frac{\pi}{2},\,f(\alpha_{3})=-\frac{3}{2}\pi,\,f(\alpha_{4})=-\frac{5}{2}\pi$$이고 조건 (나)로부터 얻은 결과 \(\displaystyle\sin f(\alpha_{5})=\sin f(\alpha_{2})+\frac{1}{2}\)를 만족해야 하며 \(\sin f(\alpha_{2})=-1\)이므로 \(\displaystyle f(\alpha_{5})=-\frac{1}{2}\)이고 \(\displaystyle f(\alpha_{4})=-\frac{5}{2}\pi\)이므로 \(\displaystyle f(\alpha_{5})=-\frac{5}{2}\pi-\frac{\pi}{3}=-\frac{17}{6}\pi\)이다.$$f'(\alpha_{5})=18\pi\alpha_{5}^{2}+2p\alpha_{5}=0$$이므로 \(\displaystyle\alpha_{5}=-\frac{p}{9\pi}\)이고$$f(\alpha_{5})=6\pi\left(-\frac{p}{9\pi}\right)^{3}+p\left(-\frac{p}{9\pi}\right)^{2}+\frac{\pi}{6}=-\frac{17}{6}\pi$$이며$$-\frac{6\pi p^{3}}{(9\pi)^{3}}+\frac{p^{3}}{(9\pi)^{2}}+3\pi=\frac{3\pi p^{3}}{(9\pi)^{3}}+3\pi=0$$이므로 \(p^{3}=-(9\pi)^{3}\)이고 \(p=-9\pi\)이다. 그러므로$$f(x)=6\pi x^{3}-9\pi x+\frac{\pi}{6},\,f'(x)=18\pi x^{2}-18\pi x$$이고$$\begin{align*}f\left(-\frac{1}{2}\right)&=-\frac{3}{4}\pi-\frac{9}{4}\pi+\frac{\pi}{6}=-3\pi+\frac{\pi}{6}\\&=-2\pi-\frac{5}{6}\pi\\f'\left(-\frac{1}{2}\right)&=\frac{9}{2}\pi+9\pi\\&=\frac{27}{2}\pi\end{align*}$$이므로$$\cos f\left(-\frac{1}{2}\right)=\cos\frac{5}{6}\pi=-\frac{\sqrt{3}}{2},\,\sin f\left(-\frac{1}{2}\right)=-\sin\frac{5}{6}\pi=-\frac{1}{2}$$이고$$\begin{align*}g'\left(-\frac{1}{2}\right)&=-\frac{\displaystyle\frac{27}{2}\pi\cdot\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}{\displaystyle\left\{2-\frac{1}{2}\right\}^{2}}=\frac{\displaystyle\frac{27\sqrt{3}}{4}}{\displaystyle\frac{9}{4}}\\&=3\sqrt{3}\pi\end{align*}$$이므로 \(a=3\sqrt{3}\)이고 따라서 \(a^{2}=27\)이다.