[미적분] 2018학년도 9월 수능모의평가 수학 가형 21번, 2019학년도 수능 수학 가형 30번

[미적분] 2018학년도 9월 수능모의평가 수학 가형 21번, 2019학년도 수능 수학 가형 30번

가장 어려운 소위 말하는 킬러문제의 풀이이다.

2018학년도 9월 모의평가 수학 가형 21번

수열 $\{a_{n}\}$이 $$a_{1}=-1,\,a_{n}=2-\frac{1}{2^{n-2}}\,(n\geq2)$$ 이다. 구간 $[-1,\,2)$에서 정의된 함수 $f(x)$가 모든 자연수 $n$에 대하여 $$f(x)=\sin(2^{n}\pi x)\,(a_{n}\leq x\leq a_{n+1})$$ 이다. $-1<\alpha<0$인 실수 $\alpha$에 대하여 $\displaystyle\int_{\alpha}^{t}{f(x)dx}=0$을 만족시키는 $t\,(0<t<2)$의 값의 개수가 103일 때, $\log_{2}(1-\cos(2\pi\alpha))$의 값은? [4점]

풀이: $\displaystyle\int_{\alpha}^{t}{f(x)dx}=\int_{\alpha}^{0}{f(x)dx}+\int_{0}^{t}{f(x)dx}=0$이므로 $\displaystyle\int_{0}^{\alpha}{f(x)dx}=\int_{0}^{t}{f(x)dx}$이고, $\displaystyle\int_{0}^{\alpha}{f(x)dx}>0$이며, 이 식을 만족하는 $t$가 103개 있다.

다음은 함수 $y=f(x)$의 그래프이다.

2이상의 자연수 $n$에 대해 $\displaystyle a_{n}=2-\frac{1}{2^{n-2}}=2-\frac{2}{2^{n-1}}\left(=\frac{2^{n+1}-4}{2^{n}}\right)$, $\displaystyle a_{n+1}=2-\frac{1}{2^{n-1}}$이므로 $\displaystyle b_{n}=\frac{a_{n}+a_{n+1}}{2}$라 하면 $\displaystyle b_{n}=\frac{2^{n+1}-3}{2^{n}}\,(n\geq3)$이고 $$\begin{align*}\int_{a_{n}}^{b_{n}}{f(x)dx}&=\left[-\frac{1}{2^{n}\pi}\cos(2^{n}\pi x)\right]_{a_{n}}^{b_{n}}=-\frac{\cos(2^{n}b_{n}\pi)-\cos(2^{n}a_{n}\pi)}{2^{n}\pi}\end{align*}$$ 이며 이때 2이상의 자연수 $n$에 대해 $2^{n}b_{n}=2^{n+1}-3$이므로 $2^{n}b_{n}$은 홀수이고, $2^{n}a_{n}=2^{n+1}-4$이므로 $2^{n}a_{n}$은 짝수이다. 그러면 $$\cos(2^{n}b_{n}\pi)=-1,\,\cos(2^{n}a_{n}\pi)=1$$ 이고 따라서 $$\int_{a_{n}}^{b_{n}}{f(x)dx}=\frac{2}{2^{n}\pi}=\frac{1}{2^{n-1}\pi}$$ 이다. 

다음은 함수 $\displaystyle y=\int_{0}^{x}{f(s)ds}\,(1\leq x<2)$의 그래프이다.

$t$에 대한 방정식 $\displaystyle\int_{0}^{t}{f(x)dx}=\int_{0}^{\alpha}{f(x)dx}$는 구간 $[0,\,a_{2}]$에서 최대 2개의 해를 갖고, $[0,\,a_{3}]$에서 최대 4개, $[0,\,a_{4}]$에서 최대 6개를 갖고, $[0,\,a_{52}]$에서 최대 102개를 갖는다.

2이상의 자연수 $n$에 대해 구간 $[a_{n},\,a_{n+1}]$에서 $\displaystyle y=\int_{0}^{x}{f(s)ds}$의 최댓값은 $\displaystyle\frac{1}{2^{n-1}\pi}$이다. 방정식 $\displaystyle\int_{0}^{t}{f(x)dx}=\int_{0}^{\alpha}{f(x)dx}$의 해가 103개이고, 앞에서 $[0,\,a_{52}]$에서 최대 102개의 해를 가지므로 $[a_{52},\,a_{53}]$에서 1개의 해를 가져야 하며, 이때 $\displaystyle\int_{0}^{t}{f(x)dx}=\frac{1}{2^{52-1}\pi}=\frac{1}{2^{51}\pi}$이다.

$[-1,\,0]$에서 $f(x)=\sin2\pi x$이므로 $$\frac{1}{2^{51}\pi}=\int_{0}^{t}{f(x)dx}=\int_{0}^{\alpha}{f(x)dx}=\int_{0}^{\alpha}{\sin2\pi xdx}=\left[-\frac{1}{2\pi}\cos(2\pi x)\right]_{0}^{\alpha}=\frac{1-\cos(2\pi\alpha)}{2\pi}$$ 이고, $1-\cos(2\pi\alpha)=2^{-50}$이므로 따라서 $\log_{2}(1-\cos(2\pi\alpha))=-50$이다. 

2019학년도 수능 수학 가형 30번   

최고차항의 계수가 $6\pi$인 삼차함수 $f(x)$에 대하여 함수 $\displaystyle g(x)=\frac{1}{2+\sin(f(x))}$이 $x=\alpha$에서 극대 또는 극소이고 $\alpha\geq0$인 모든 $\alpha$를 작은 수부터 크기순으로 나열한 것을 $\alpha_{1},\,\alpha_{2},\,\alpha_{3},\,\alpha_{4},\,\alpha_{5},\,...$라 할 때, $g(x)$는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $\alpha_{1}=0$이고 $\displaystyle g(\alpha_{1})=\frac{2}{5}$이다. (나) $\displaystyle\frac{1}{g(\alpha_{5})}=\frac{1}{g(\alpha_{2})}+\frac{1}{2}$

       

$\displaystyle g'\left(-\frac{1}{2}\right)=a\pi$라 할 때, $a^{2}$의 값을 구하시오.

(단, $\displaystyle0<f(0)<\frac{\pi}{2}$) [4점]

풀이: 조건 (가)에서 $\alpha_{1}=0$, $\displaystyle g(\alpha_{1})=\frac{2}{5}$이므로 $$g(\alpha_{1})=g(0)=\frac{1}{2+\sin f(0)}=\frac{2}{5}$$ 이고 $\displaystyle2+\sin f(0)=\frac{5}{2}$이므로 $\displaystyle\sin f(0)=\frac{1}{2}$이고 $\displaystyle 0<f(0)<\frac{\pi}{2}$이므로 $\displaystyle f(0)=\frac{\pi}{6}$이다. $$g'(x)=-\frac{f'(x)\cos f(x)}{\{2+\sin f(x)\}^{2}}$$ 이고 $\alpha_{1}=0$은 $g(x)$의 극값이므로 $g'(0)=0$이고 $\displaystyle\cos f(0)=\frac{\sqrt{3}}{2}$이므로 $f'(0)=0$이다. 

또한 $$\frac{1}{g(\alpha_{5})}=2+\sin f(\alpha_{5}),\,\frac{1}{g(\alpha_{2})}=2+\sin f(\alpha_{2})$$ 조건 (나)에 의해 $$\sin f(\alpha_{5})=\sin f(\alpha_{2})+\frac{1}{2}$$ 이다. 앞에서 $f(x)$의 최고차항의 계수가 $6\pi$이고 $\displaystyle f(0)=\frac{\pi}{6}$, $f'(0)=0$이므로 $$f(x)=6\pi x^{3}+px^{2}+\frac{\pi}{6},\,f'(x)=18\pi x^{2}+2px$$ 이다. $f(x)$의 최고차항의 계수가 양수이므로 $x\geq0$에서 $f(x)$는 증가하거나 하나의 극솟값을 가져야 하는데 조건 (나)로부터 얻은 결과 $$\sin f(\alpha_{5})=\sin f(\alpha_{2})+\frac{1}{2}$$ 를 만족해야 하므로 $f(x)$는 $x\geq0$에서 하나의 극솟값을 가져야 하고 $f'(\alpha_{2})=0$ 또는 $f'(\alpha_{5})=0$이어야 한다.

$f'(\alpha_{2})=0$이면, $0<x<\alpha_{2}$에서 $f(x)$는 감소하고 $$f(\alpha_{3})=\frac{\pi}{2},\,f(\alpha_{4})=\frac{3}{2}\pi,\,f(\alpha_{5})=\frac{5}{2}\pi$$ 이므로 $\displaystyle\sin f(\alpha_{5})=1$이고 $\displaystyle\sin f(\alpha_{2})=\frac{1}{2}$이 되는데 $0<x<\alpha_{2}$에서 $f(x)$는 감소하고 $\displaystyle f(\alpha_{1})=\frac{\pi}{6}$, $\displaystyle\sin f(\alpha_{1})=\frac{1}{2}$이므로 $\displaystyle\sin f(\alpha_{2})=\frac{1}{2}$일 수는 없다.

그러므로 $f'(\alpha_{5})=0$이어야 하고, $0<x<\alpha_{5}$에서 $f(x)$는 감소하며 $$f(\alpha_{2})=-\frac{\pi}{2},\,f(\alpha_{3})=-\frac{3}{2}\pi,\,f(\alpha_{4})=-\frac{5}{2}\pi$$ 이고 조건 (나)로부터 얻은 결과 $\displaystyle\sin f(\alpha_{5})=\sin f(\alpha_{2})+\frac{1}{2}$를 만족해야 하며 $\sin f(\alpha_{2})=-1$이므로 $\displaystyle f(\alpha_{5})=-\frac{1}{2}$이고 $\displaystyle f(\alpha_{4})=-\frac{5}{2}\pi$이므로 $\displaystyle f(\alpha_{5})=-\frac{5}{2}\pi-\frac{\pi}{3}=-\frac{17}{6}\pi$이다. $$f'(\alpha_{5})=18\pi\alpha_{5}^{2}+2p\alpha_{5}=0$$ 이므로 $\displaystyle\alpha_{5}=-\frac{p}{9\pi}$이고 $$f(\alpha_{5})=6\pi\left(-\frac{p}{9\pi}\right)^{3}+p\left(-\frac{p}{9\pi}\right)^{2}+\frac{\pi}{6}=-\frac{17}{6}\pi$$ 이며 $$-\frac{6\pi p^{3}}{(9\pi)^{3}}+\frac{p^{3}}{(9\pi)^{2}}+3\pi=\frac{3\pi p^{3}}{(9\pi)^{3}}+3\pi=0$$ 이므로 $p^{3}=-(9\pi)^{3}$이고 $p=-9\pi$이다. 그러므로 $$f(x)=6\pi x^{3}-9\pi x+\frac{\pi}{6},\,f'(x)=18\pi x^{2}-18\pi x$$ 이고 $$\begin{align*}f\left(-\frac{1}{2}\right)&=-\frac{3}{4}\pi-\frac{9}{4}\pi+\frac{\pi}{6}=-3\pi+\frac{\pi}{6}\\&=-2\pi-\frac{5}{6}\pi\\f'\left(-\frac{1}{2}\right)&=\frac{9}{2}\pi+9\pi\\&=\frac{27}{2}\pi\end{align*}$$ 이므로 $$\cos f\left(-\frac{1}{2}\right)=\cos\frac{5}{6}\pi=-\frac{\sqrt{3}}{2},\,\sin f\left(-\frac{1}{2}\right)=-\sin\frac{5}{6}\pi=-\frac{1}{2}$$ 이고 $$\begin{align*}g'\left(-\frac{1}{2}\right)&=-\frac{\displaystyle\frac{27}{2}\pi\cdot\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}{\displaystyle\left\{2-\frac{1}{2}\right\}^{2}}=\frac{\displaystyle\frac{27\sqrt{3}}{4}}{\displaystyle\frac{9}{4}}\\&=3\sqrt{3}\pi\end{align*}$$ 이므로 $a=3\sqrt{3}$이고 따라서 $a^{2}=27$이다.