[이차곡선] 2007학년도 9월 수능모의평가 수리 가형 9번, 2009학년도 9월 수능모의평가 수리 가형 9번

[이차곡선] 2007학년도 9월 수능모의평가 수리 가형 9번, 2009학년도 9월 수능모의평가 수리 가형 8번

타원의 정의는 두 점으로부터 거리의 합이 일정한 점들의 집합이고, 쌍곡선의 정의는 두 점으로부터 거리의 차가 일정한 점들의 집합이다.  

2007학년도 9월 모의평가 수리 가형 9번

쌍곡선 \(\displaystyle\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{3}=1\)의 두 초점 \((2\sqrt{3},\,0)\), \((-2\sqrt{3},\,0)\)을 각각 \(\text{F}\), \(\text{F}'\)이라 하자. 이 쌍곡선 위를 움직이는 점 \(\text{P}(x,\,y)\,(x>0)\)에 대하여 선분 \(\text{F}'\text{P}\)위의 점 \(\text{Q}\)가 \(\overline{\text{FP}}=\overline{\text{PQ}}\)를 만족시킬 때, 점 \(\text{Q}\)가 나타내는 도형 전체의 길이는? [4점]

풀이:

점 \(\text{P}(x,\,y)\)는 \(y\)축 오른쪽에 있으므로 \(\overline{\text{PF}'}-\overline{\text{PF}}=6\)이고, \(\overline{\text{PF}}=\overline{\text{PQ}}\)이므로 쌍곡선의 정의에 의해$$6=\overline{\text{PF}'}-\overline{\text{PF}}=\overline{\text{PF}'}-\overline{\text{PQ}}=\overline{\text{F}'\text{Q}}$$이다. 쌍곡선의 점근선의 방정식이 \(\displaystyle y=\pm\frac{\sqrt{3}}{3}x\)이고 \(\displaystyle\tan\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}\)이므로 쌍곡선의 한 점근선이 \(x\)축과 이루는 예각은 \(\displaystyle\frac{\pi}{6}\)이다. 

점 \(P(x,\,y)\)에 대해 직선 \(\text{F}'\text{Q}\)의 기울기와 \(\text{F}'\text{P}\)의 기울기는 같고, 그 기울기는 \(\displaystyle\frac{y}{x+2\sqrt{3}}\)이며 \(x\,\rightarrow\,\infty\)일 때 \(y>0\)이면, \(\displaystyle\frac{y}{x+2\sqrt{3}}\,\rightarrow\,\frac{\sqrt{3}}{3}\), \(y<0\)이면 \(\displaystyle\frac{y}{x+2\sqrt{3}}\,\rightarrow\,-\frac{\sqrt{3}}{3}\)이므로 점 \(Q\)는 반지름이 6이고, 중심각이 \(\displaystyle2\cdot\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{3}\)인 호 위의 점이고 따라서 \(Q\)가 나타내는 도형 전체의 길이는 \(\displaystyle6\cdot\frac{\pi}{3}=2\pi\)이다. 

2009학년도 9월 수능모의평가 수리 가형 8번(변형)

좌표평면에서 원 \(x^{2}+y^{2}=36\) 위를 움직이는 점 \(\text{P}(a,\,b)\)와 점 \(\text{A}(4,\,0)\)에 대하여 다음 조건을 만족시키는 점 \(\text{Q}\) 전체의 집합을 \(X\)라 하자. (단, \(b\neq0\))

(가) 점 \(\text{Q}\)는 선분 \(\text{OP}\) 위에 있다. (나) 점 \(\text{Q}\)를 지나고 직선 \(\text{AP}\)에 평행한 직선이 \(\angle\text{OQA}\)를 이등분한다.

\(X\)를 집합으로 나타내시오. 

풀이: \(\angle\text{OQA}=2\alpha\)라 하자. 그러면 \(\angle\text{OQA}\)의 이등분선이 직선 \(\text{AP}\)와 평행하므로 \(\angle\text{QAP}=\alpha\)(엇각), \(\angle\text{OPA}=\alpha\)(동위각)이다. 그러면 \(\angle\text{QAP}=\angle\text{QPA}\)이므로 삼각형 \(\text{QAP}\)는 \(\overline{\text{QA}}=\overline{\text{QP}}\)인 이등변삼각형이다. 그러면$$6=\overline{\text{OP}}=\overline{\text{OQ}}+\overline{\text{QP}}=\overline{\text{OQ}}+\overline{\text{QA}}$$이고 원점과 점 \(\text{A}\)는 고정되어 있으므로 점 \(\text{Q}\)의 집합은 원점과 점 \(\text{A}\)를 초점으로 갖는 타원의 일부분(\(\because\,b\neq0\))이다.$$\overline{\text{OQ}}=\sqrt{a^{2}+b^{2}},\,\overline{\text{QA}}=\sqrt{(4-a)^{2}+b^{2}}$$이고 \(\overline{\text{OQ}}+\overline{\text{QA}}=6\)이므로$$\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{(4-a)^{2}+b^{2}}=6$$이고$$\sqrt{(4-a)^{2}+b^{2}}=6-\sqrt{a^{2}+b^{2}}$$이며 위 식의 양변을 제곱하면$$(a^{2}-8a+16)+b^{2}=36+(a^{2}+b^{2})-12\sqrt{a^{2}+b^{2}}$$이므로$$-8a-20=-12\sqrt{a^{2}+b^{2}}$$이고$$2a+5=3\sqrt{a^{2}+b^{2}}$$이다. 위 식의 양변을 제곱하면$$4a^{2}+10a+25=9a^{2}+9b^{2}$$이고$$5a^{2}-20a+9b^{2}=25$$이며$$5(a-2)^{2}+9b^{2}=45$$이므로 따라서$$X=\left\{(x,\,y)\,|\,\frac{(x-2)^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{5}=1,\,y\neq0\right\}$$이다.