[이차곡선] 2007학년도 9월 수능모의평가 수리 가형 9번, 2009학년도 9월 수능모의평가 수리 가형 9번

[이차곡선] 2007학년도 9월 수능모의평가 수리 가형 9번, 2009학년도 9월 수능모의평가 수리 가형 8번

타원의 정의는 두 점으로부터 거리의 합이 일정한 점들의 집합이고, 쌍곡선의 정의는 두 점으로부터 거리의 차가 일정한 점들의 집합이다.  

2007학년도 9월 모의평가 수리 가형 9번

쌍곡선 $\displaystyle\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{3}=1$의 두 초점 $(2\sqrt{3},\,0)$, $(-2\sqrt{3},\,0)$을 각각 $\text{F}$, $\text{F}'$이라 하자. 이 쌍곡선 위를 움직이는 점 $\text{P}(x,\,y)\,(x>0)$에 대하여 선분 $\text{F}'\text{P}$위의 점 $\text{Q}$가 $\overline{\text{FP}}=\overline{\text{PQ}}$를 만족시킬 때, 점 $\text{Q}$가 나타내는 도형 전체의 길이는? [4점]

풀이:

점 $\text{P}(x,\,y)$는 $y$축 오른쪽에 있으므로 $\overline{\text{PF}'}-\overline{\text{PF}}=6$이고, $\overline{\text{PF}}=\overline{\text{PQ}}$이므로 쌍곡선의 정의에 의해 $$6=\overline{\text{PF}'}-\overline{\text{PF}}=\overline{\text{PF}'}-\overline{\text{PQ}}=\overline{\text{F}'\text{Q}}$$ 이다. 쌍곡선의 점근선의 방정식이 $\displaystyle y=\pm\frac{\sqrt{3}}{3}x$이고 $\displaystyle\tan\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}$이므로 쌍곡선의 한 점근선이 $x$축과 이루는 예각은 $\displaystyle\frac{\pi}{6}$이다. 

점 $P(x,\,y)$에 대해 직선 $\text{F}'\text{Q}$의 기울기와 $\text{F}'\text{P}$의 기울기는 같고, 그 기울기는 $\displaystyle\frac{y}{x+2\sqrt{3}}$이며 $x\,\rightarrow\,\infty$일 때 $y>0$이면, $\displaystyle\frac{y}{x+2\sqrt{3}}\,\rightarrow\,\frac{\sqrt{3}}{3}$, $y<0$이면 $\displaystyle\frac{y}{x+2\sqrt{3}}\,\rightarrow\,-\frac{\sqrt{3}}{3}$이므로 점 $Q$는 반지름이 6이고, 중심각이 $\displaystyle2\cdot\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{3}$인 호 위의 점이고 따라서 $Q$가 나타내는 도형 전체의 길이는 $\displaystyle6\cdot\frac{\pi}{3}=2\pi$이다. 

2009학년도 9월 수능모의평가 수리 가형 8번(변형)

좌표평면에서 원 $x^{2}+y^{2}=36$ 위를 움직이는 점 $\text{P}(a,\,b)$와 점 $\text{A}(4,\,0)$에 대하여 다음 조건을 만족시키는 점 $\text{Q}$ 전체의 집합을 $X$라 하자. (단, $b\neq0$)

(가) 점 $\text{Q}$는 선분 $\text{OP}$ 위에 있다. (나) 점 $\text{Q}$를 지나고 직선 $\text{AP}$에 평행한 직선이 $\angle\text{OQA}$를 이등분한다.

$X$를 집합으로 나타내시오. 

풀이: $\angle\text{OQA}=2\alpha$라 하자. 그러면 $\angle\text{OQA}$의 이등분선이 직선 $\text{AP}$와 평행하므로 $\angle\text{QAP}=\alpha$(엇각), $\angle\text{OPA}=\alpha$(동위각)이다. 그러면 $\angle\text{QAP}=\angle\text{QPA}$이므로 삼각형 $\text{QAP}$는 $\overline{\text{QA}}=\overline{\text{QP}}$인 이등변삼각형이다. 그러면 $$6=\overline{\text{OP}}=\overline{\text{OQ}}+\overline{\text{QP}}=\overline{\text{OQ}}+\overline{\text{QA}}$$ 이고 원점과 점 $\text{A}$는 고정되어 있으므로 점 $\text{Q}$의 집합은 원점과 점 $\text{A}$를 초점으로 갖는 타원의 일부분($\because\,b\neq0$)이다. $$\overline{\text{OQ}}=\sqrt{a^{2}+b^{2}},\,\overline{\text{QA}}=\sqrt{(4-a)^{2}+b^{2}}$$ 이고 $\overline{\text{OQ}}+\overline{\text{QA}}=6$이므로 $$\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{(4-a)^{2}+b^{2}}=6$$ 이고 $$\sqrt{(4-a)^{2}+b^{2}}=6-\sqrt{a^{2}+b^{2}}$$ 이며 위 식의 양변을 제곱하면 $$(a^{2}-8a+16)+b^{2}=36+(a^{2}+b^{2})-12\sqrt{a^{2}+b^{2}}$$ 이므로 $$-8a-20=-12\sqrt{a^{2}+b^{2}}$$ 이고 $$2a+5=3\sqrt{a^{2}+b^{2}}$$ 이다. 위 식의 양변을 제곱하면 $$4a^{2}+10a+25=9a^{2}+9b^{2}$$ 이고 $$5a^{2}-20a+9b^{2}=25$$ 이며 $$5(a-2)^{2}+9b^{2}=45$$ 이므로 따라서 $$X=\left\{(x,\,y)\,|\,\frac{(x-2)^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{5}=1,\,y\neq0\right\}$$ 이다.