[미적분] 2020학년도 9월 수능모의평가 수학 가형 30번, 2020학년도 수능 수학 가형 30번

[미적분] 2020학년도 9월 수능모의평가 수학 가형 30번, 2020학년도 수능 수학 가형 30번

여기서 다루는 문제는 문장의 길이가 짧아서 간단해(?)보일 거 같으나 막상 풀다보면 복잡함(?)을 느낄 수 있는 문제이다.

2020학년도 9월 모의평가 수학 가형 30번

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여$$f'(x^{2}+x+1)=\pi f(1)\sin\pi x+f(3)x+5x^{2}$$을 만족시킬 때, \(f(7)\)의 값을 구하시오. [4점]

풀이: \(f'(x^{2}+x+1)\)식에서 \(x^{2}+x=0\)이려면 \(x=0\) 또는 \(x=-1\)이어야 한다. \(x=0\)이면 \(f'(1)=0\)을 얻고, \(x=-1\)이면$$0=f'(1)=\pi f(1)\sin\pi-f(3)+5$$이고 \(f(3)=5\)이다. 그러면$$f'(x^{2}+x+1)=\pi f(1)\sin\pi x+5x+5x^{2}$$이고 이 식의 양변에 \((2x+1)\)을 곱하면$$5(x^{2}+x)(2x+1)=10x^{3}+15x^{2}+5x$$이므로$$(2x+1)f'(x^{2}+x+1)=\pi f(1)(2x+1)\sin\pi x+10x^{3}+15x^{2}+5x$$이고$$f(x^{2}+x+1)=\pi f(1)\int{(2x+1)\sin\pi xdx}+\frac{5}{2}x^{4}+5x^{3}+\frac{5}{2}x^{2}+C$$이고$$\begin{align*}\int{(2x+1)\sin\pi x}&=-\frac{(2x+1)\cos\pi x}{\pi}+\frac{2}{\pi}\int{\cos\pi x}\\&=-\frac{(2x+1)\cos\pi x}{\pi}+\frac{2}{\pi^{2}}\sin\pi x\end{align*}$$이므로$$f(x^{2}+x+1)=\pi f(1)\left\{-\frac{(2x+1)\cos\pi x}{\pi}+\frac{2}{\pi^{2}}\sin\pi x\right\}+\frac{5}{2}x^{4}+5x^{3}+\frac{5}{2}x^{2}+C$$이다. 위 식에서 \(x=0\)을 대입하면 \(f(1)=-f(1)+C\)이고, \(x=1\)을 대입하면 \(f(3)=5\)이므로 \(5=f(3)=3f(1)+10+C\)이고 이 두 식들을 연립하면 \(C=2f(1)\), \(f(1)=-1\)이므로 \(C=-2\)이고 \(f(x^{2}+x+1)\)은 다음과 같다.$$f(x^{2}+x+1)=-\left\{-\frac{(2x+1)\cos\pi x}{\pi}+\frac{2}{\pi^{2}}\sin\pi x\right\}+\frac{5}{2}x^{4}+5x^{3}+\frac{5}{2}x^{2}-2$$위 식에 \(x=2\)를 대입하면$$f(7)=5+5\cdot8+5\cdot8+5\cdot2-2=93$$이다.    

2020 수능 수학 가형 30번

양의 실수 \(t\)에 대하여 곡선 \(y=t^{3}\ln(x-t)\)가 곡선 \(y=2e^{x-a}\)과 오직 한 점에서 만나도록 하는 실수 \(a\)의 값을 \(f(t)\)라 하자. \(\displaystyle\left\{f\left(\frac{1}{3}\right)\right\}^{2}\)의 값을 구하시오. [4점]    

풀이: 두 곡선 \(y=t^{3}\ln(x-t)\)와 \(y=2e^{x-a}\)는 한 점에서 만나고, 이 점에서 서로 접한다. 교점을 \((p,\,q)\)라고 하면$$t^{3}\ln(p-t)=2e^{p-a}$$이고$$y'=\frac{t^{3}}{x-a},\,y'=2e^{x-a}$$이므로$$\frac{t^{3}}{p-t}=2e^{p-a}$$이다.$$t^{3}\ln(p-t)=2e^{p-a}=\frac{t^{3}}{p-t}$$이므로 \((p-t)\ln(p-t)=1\), \(t^{3}=2e^{p-a}(p-t)\)이고 \(a=f(t)\)이므로 등식$$t^{3}\ln(p-t)=2e^{p-f(t)}$$의 양변을 \(t\)에 대해 미분하면$$3t^{2}\ln(p-t)+\frac{t^{3}}{p-t}=-2f'(t)e^{p-f(t)}$$이고 위 식의 양변에 \((p-t)\)를 곱하면 \((p-t)\ln(p-t)=1\), \(t^{3}=2e^{p-f(t)}(p-t)\)이므로$$3t^{2}-t^{3}=-f'(t)2e^{p-f(t)}(x-t)=-t^{3}f'(t)$$이고$$f'(t)=1-\frac{3}{t}$$이므로$$f'\left(\frac{1}{3}\right)=1-3\cdot3=-8$$이고 따라서 \(\displaystyle\left\{f'\left(\frac{1}{3}\right)\right\}^{2}=(-8)^{2}=64\)이다.