[미적분] 2020학년도 9월 수능모의평가 수학 가형 30번, 2020학년도 수능 수학 가형 30번

[미적분] 2020학년도 9월 수능모의평가 수학 가형 30번, 2020학년도 수능 수학 가형 30번

여기서 다루는 문제는 문장의 길이가 짧아서 간단해(?)보일 거 같으나 막상 풀다보면 복잡함(?)을 느낄 수 있는 문제이다.

2020학년도 9월 모의평가 수학 가형 30번

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $$f'(x^{2}+x+1)=\pi f(1)\sin\pi x+f(3)x+5x^{2}$$ 을 만족시킬 때, $f(7)$의 값을 구하시오. [4점]

풀이: $f'(x^{2}+x+1)$식에서 $x^{2}+x=0$이려면 $x=0$ 또는 $x=-1$이어야 한다. $x=0$이면 $f'(1)=0$을 얻고, $x=-1$이면 $$0=f'(1)=\pi f(1)\sin\pi-f(3)+5$$ 이고 $f(3)=5$이다. 그러면 $$f'(x^{2}+x+1)=\pi f(1)\sin\pi x+5x+5x^{2}$$ 이고 이 식의 양변에 $(2x+1)$을 곱하면 $$5(x^{2}+x)(2x+1)=10x^{3}+15x^{2}+5x$$ 이므로 $$(2x+1)f'(x^{2}+x+1)=\pi f(1)(2x+1)\sin\pi x+10x^{3}+15x^{2}+5x$$ 이고 $$f(x^{2}+x+1)=\pi f(1)\int{(2x+1)\sin\pi xdx}+\frac{5}{2}x^{4}+5x^{3}+\frac{5}{2}x^{2}+C$$ 이고 $$\begin{align*}\int{(2x+1)\sin\pi x}&=-\frac{(2x+1)\cos\pi x}{\pi}+\frac{2}{\pi}\int{\cos\pi x}\\&=-\frac{(2x+1)\cos\pi x}{\pi}+\frac{2}{\pi^{2}}\sin\pi x\end{align*}$$ 이므로 $$f(x^{2}+x+1)=\pi f(1)\left\{-\frac{(2x+1)\cos\pi x}{\pi}+\frac{2}{\pi^{2}}\sin\pi x\right\}+\frac{5}{2}x^{4}+5x^{3}+\frac{5}{2}x^{2}+C$$ 이다. 위 식에서 $x=0$을 대입하면 $f(1)=-f(1)+C$이고, $x=1$을 대입하면 $f(3)=5$이므로 $5=f(3)=3f(1)+10+C$이고 이 두 식들을 연립하면 $C=2f(1)$, $f(1)=-1$이므로 $C=-2$이고 $f(x^{2}+x+1)$은 다음과 같다. $$f(x^{2}+x+1)=-\left\{-\frac{(2x+1)\cos\pi x}{\pi}+\frac{2}{\pi^{2}}\sin\pi x\right\}+\frac{5}{2}x^{4}+5x^{3}+\frac{5}{2}x^{2}-2$$ 위 식에 $x=2$를 대입하면 $$f(7)=5+5\cdot8+5\cdot8+5\cdot2-2=93$$ 이다.    

2020 수능 수학 가형 30번

양의 실수 $t$에 대하여 곡선 $y=t^{3}\ln(x-t)$가 곡선 $y=2e^{x-a}$과 오직 한 점에서 만나도록 하는 실수 $a$의 값을 $f(t)$라 하자. $\displaystyle\left\{f\left(\frac{1}{3}\right)\right\}^{2}$의 값을 구하시오. [4점]    

풀이: 두 곡선 $y=t^{3}\ln(x-t)$와 $y=2e^{x-a}$는 한 점에서 만나고, 이 점에서 서로 접한다. 교점을 $(p,\,q)$라고 하면 $$t^{3}\ln(p-t)=2e^{p-a}$$ 이고 $$y'=\frac{t^{3}}{x-a},\,y'=2e^{x-a}$$ 이므로 $$\frac{t^{3}}{p-t}=2e^{p-a}$$ 이다. $$t^{3}\ln(p-t)=2e^{p-a}=\frac{t^{3}}{p-t}$$ 이므로 $(p-t)\ln(p-t)=1$, $t^{3}=2e^{p-a}(p-t)$이고 $a=f(t)$이므로 등식 $$t^{3}\ln(p-t)=2e^{p-f(t)}$$ 의 양변을 $t$에 대해 미분하면 $$3t^{2}\ln(p-t)+\frac{t^{3}}{p-t}=-2f'(t)e^{p-f(t)}$$ 이고 위 식의 양변에 $(p-t)$를 곱하면 $(p-t)\ln(p-t)=1$, $t^{3}=2e^{p-f(t)}(p-t)$이므로 $$3t^{2}-t^{3}=-f'(t)2e^{p-f(t)}(x-t)=-t^{3}f'(t)$$ 이고 $$f'(t)=1-\frac{3}{t}$$ 이므로 $$f'\left(\frac{1}{3}\right)=1-3\cdot3=-8$$ 이고 따라서 $\displaystyle\left\{f'\left(\frac{1}{3}\right)\right\}^{2}=(-8)^{2}=64$이다.