[공간좌표] 2005학년도 9월 수능모의평가 수리 가형 23번, 2010학년도 수능 수리 가형 25번

[공간좌표] 2005학년도 9월 수능모의평가 수리 가형 23번, 2010학년도 수능 수리 가형 25번

여기서 다루는 문제는 공간좌표에서 구와 관련된 문제이다.

2005학년도 9월 수능모의평가 수리 가형 23번

좌표공간에 반구 \((x-5)^{2}+(y-4)^{2}+z^{2}=9,\,z\geq0\)가 있다. \(y\)축을 포함하는 평면 \(\alpha\)가 반구와 접할 때, \(\alpha\)와 \(xy\)평면이 이루는 각을 \(\theta\)라 하자. 이때, \(30\cos\theta\)의 값을 구하시오. (단, \(\displaystyle0<\theta<\frac{\pi}{2}\)) [4점]

풀이: 평면 \(\alpha\)는 \(y\)축을 포함하므로 반구 \((x-5)^{2}+(y-4)^{2}+z^{2}=9,\,z\geq0\)를 \(xz\)평면에서 보면 다음과 같다.

\(\displaystyle0<\theta<\frac{\pi}{2}\)이므로 \(\displaystyle\cos\theta=\frac{4}{5}\)이고 따라서 \(30\cos\theta=24\)이다.

2010학년도 수능 수리 가형 25번

좌표공간에서 \(x\)축을 포함하고 \(xy\)평면과 이루는 각의 크기가 \(\displaystyle\theta\,\left(0<\theta<\frac{\pi}{2}\right)\)인 평면을 \(\alpha\)라 하자. 

평면 \(\alpha\)가 구 \(x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\)과 만나서 생기는 도형의 \(xy\)평면 위로의 정사영이 영역 \(\{(x,\,y,\,0)\,|\,x+3y-2\leq0\}\)에 포함되도록 하는 \(\theta\)에 대하여 \(\cos\theta\)의 최댓값을 \(M\)이라 하자. \(60M^{2}\)의 값을 구하시오. [4점]

풀이: \(\alpha\)와 구 \(x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\)과 만나서 생기는 도형의 \(xy\)평면 위로의 정사영은 \(\alpha\)가 \(x\)축을 포함하므로 장축이 1이고, 단축이 \(\cos\theta\)인 타원, 즉 \(\displaystyle x^{2}+\frac{y^{2}}{\cos^{2}\theta}=1\)이다.

기울기가 \(\displaystyle-\frac{1}{3}\)인 타원 \(\displaystyle x^{2}+\frac{y^{2}}{\cos^{2}\theta}=1\)의 방정식은 \(\displaystyle y=-\frac{1}{3}x\pm\sqrt{\frac{1}{9}+\cos^{2}\theta}\)이고, \(y\)절편이 양수인 접선의 방정식은 \(\displaystyle y=-\frac{1}{3}x+\sqrt{\frac{1}{9}+\cos^{2}\theta}\)이므로 타원이 영역 \(\{(x,\,y,\,0)\,|\,x+3y-2\leq0\}\)에 포함되려면 직선 \(\displaystyle y=-\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}\)아래에 있어야 하고, \(\cos\theta\)가 최대일 때 \(\displaystyle\sqrt{\frac{1}{9}+\cos^{2}\theta}=\frac{2}{3}\)이다. 그러면 \(\displaystyle M^{2}=\frac{1}{3}\)이고 따라서 \(60M^{2}=20\)이다.