[공간좌표] 2005학년도 9월 수능모의평가 수리 가형 23번, 2010학년도 수능 수리 가형 25번

[공간좌표] 2005학년도 9월 수능모의평가 수리 가형 23번, 2010학년도 수능 수리 가형 25번

여기서 다루는 문제는 공간좌표에서 구와 관련된 문제이다.

2005학년도 9월 수능모의평가 수리 가형 23번

좌표공간에 반구 $(x-5)^{2}+(y-4)^{2}+z^{2}=9,\,z\geq0$가 있다. $y$축을 포함하는 평면 $\alpha$가 반구와 접할 때, $\alpha$와 $xy$평면이 이루는 각을 $\theta$라 하자. 이때, $30\cos\theta$의 값을 구하시오. (단, $\displaystyle0<\theta<\frac{\pi}{2}$) [4점]

풀이: 평면 $\alpha$는 $y$축을 포함하므로 반구 $(x-5)^{2}+(y-4)^{2}+z^{2}=9,\,z\geq0$를 $xz$평면에서 보면 다음과 같다.

$\displaystyle0<\theta<\frac{\pi}{2}$이므로 $\displaystyle\cos\theta=\frac{4}{5}$이고 따라서 $30\cos\theta=24$이다.

2010학년도 수능 수리 가형 25번

좌표공간에서 $x$축을 포함하고 $xy$평면과 이루는 각의 크기가 $\displaystyle\theta\,\left(0<\theta<\frac{\pi}{2}\right)$인 평면을 $\alpha$라 하자. 

평면 $\alpha$가 구 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$과 만나서 생기는 도형의 $xy$평면 위로의 정사영이 영역 $\{(x,\,y,\,0)\,|\,x+3y-2\leq0\}$에 포함되도록 하는 $\theta$에 대하여 $\cos\theta$의 최댓값을 $M$이라 하자. $60M^{2}$의 값을 구하시오. [4점]

풀이: $\alpha$와 구 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$과 만나서 생기는 도형의 $xy$평면 위로의 정사영은 $\alpha$가 $x$축을 포함하므로 장축이 1이고, 단축이 $\cos\theta$인 타원, 즉 $\displaystyle x^{2}+\frac{y^{2}}{\cos^{2}\theta}=1$이다.

기울기가 $\displaystyle-\frac{1}{3}$인 타원 $\displaystyle x^{2}+\frac{y^{2}}{\cos^{2}\theta}=1$의 방정식은 $\displaystyle y=-\frac{1}{3}x\pm\sqrt{\frac{1}{9}+\cos^{2}\theta}$이고, $y$절편이 양수인 접선의 방정식은 $\displaystyle y=-\frac{1}{3}x+\sqrt{\frac{1}{9}+\cos^{2}\theta}$이므로 타원이 영역 $\{(x,\,y,\,0)\,|\,x+3y-2\leq0\}$에 포함되려면 직선 $\displaystyle y=-\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}$아래에 있어야 하고, $\cos\theta$가 최대일 때 $\displaystyle\sqrt{\frac{1}{9}+\cos^{2}\theta}=\frac{2}{3}$이다. 그러면 $\displaystyle M^{2}=\frac{1}{3}$이고 따라서 $60M^{2}=20$이다.