[벡터] 2006학년도 수능 수리 가형 24번, 2009학년도 수능 수리 가형 25번

[벡터] 2006학년도 수능 수리 가형 24번, 2009학년도 수능 수리 가형 25번

이 문제는 평면의 법선벡터 또는 평면의 방정식을 이용해 해결하는 문제이다.

2006학년도 수능 수리 가형 24번

구 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=4$와 평면 $z=-1$이 만나서 생기는 원을 $C$라 하자. $x$축을 포함하는 평면 $\alpha$와 구 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=4$가 만나서 생기는 원이 $C$와 오직 한 점에서 만날 때, 평면 $\alpha$의 한 법선벡터를 $\vec{n}=(a,\,3,\,b)$라 하자. $a^{2}+b^{2}$의 값을 구하시오. [4점]

풀이: 구 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=4$와 평면 $\alpha$, $z=-1$의 위치는 다음과 같다.

평면 $\alpha$와 $z=-1$이 이루는 예각은 $\displaystyle\frac{\pi}{6}$이고, $\alpha$와 $xz$평면($y=0$)이 이루는 예각은 $\displaystyle\frac{\pi}{3}$이다. 

평면 $\alpha$의 법선벡터가 $\vec{n}=(a,\,3,\,b)$이고, 평면 $y=0$의 법선벡터는 $\vec{n}_{xz}=(0,\,1,\,0)$이므로 $$\frac{1}{2}=\cos\frac{\pi}{3}=\frac{\vec{n}\cdot\vec{n}_{xz}}{|\vec{n}||\vec{n}_{xz}|}=\frac{3}{\sqrt{a^{2}+9+b^{2}}}$$ 이고 $$a^{2}+b^{2}+9=(3\cdot2)^{2}=36$$ 이므로 따라서 $a^{2}+b^{2}=27$이다. 

2009학년도 수능 수리 가형 25번   

좌표공간에서 구 $S:\,x^{2}+y^{2}+z^{2}=4$와 평면 $\alpha:\,y-\sqrt{3}z=2$가 만나서 생기는 원을 $C$라 하자. 원 $C$위의 점 $A(0,\,2,\,0)$에 대하여 원 $C$의 지름의 양 끝점 $\text{P}$, $\text{Q}$를 $\overline{\text{AP}}=\overline{\text{AQ}}$가 되도록 잡고, 점 $\text{P}$를 지나고 평면 $\alpha$에 수직인 직선이 구 $S$와 만나는 또 다른 점을 $\text{R}$라 하자. 삼각형 $\text{ARQ}$의 넓이를 $s$라 할 때, $s^{2}$의 값을 구하시오. [4점]

풀이: 구 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=4$의 중심은 원점이고, 원점에서 평면 $\alpha$까지의 거리는 $$\frac{|-2|}{\sqrt{1^{2}+(-\sqrt{3})^{2}}}=1$$ 이고, 구의 반지름이 $2$이므로 원 $C$의 반지름은 $\sqrt{2^{2}-1^{2}}=\sqrt{3}$이다. 점 $\text{P}$, $\text{Q}$는 지름의 양 끝점이고, $\overline{\text{AP}}=\overline{\text{AQ}}$이므로 $$\overline{\text{AP}}=\overline{\text{AQ}}=\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+(\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{6}$$ 이다.

그러면 $\overline{\text{QR}}=4$,$\overline{AQ}=\sqrt{6}$이고 $\overline{\text{PR}}=2$이므로 $$\overline{\text{AR}}=\sqrt{\overline{\text{PR}}^{2}+\overline{\text{PA}}^{2}}=\sqrt{2^{2}+(\sqrt{6})^{2}}=\sqrt{10}$$ 이고 이때 $$\overline{\text{QR}}^{2}=16=6+10=\overline{\text{AQ}}^{2}+\overline{\text{AR}}^{2}$$ 이므로 삼각형 $\text{ARQ}$는 $\displaystyle\angle\text{RAQ}=\frac{\pi}{2}$인 직각삼각형이다. 그러면 $\displaystyle s=\frac{1}{2}\cdot\sqrt{6}\cdot\sqrt{10}=\sqrt{15}$이고 따라서 $s^{2}=15$이다.