[벡터] 2006학년도 수능 수리 가형 24번, 2009학년도 수능 수리 가형 25번

[벡터] 2006학년도 수능 수리 가형 24번, 2009학년도 수능 수리 가형 25번

이 문제는 평면의 법선벡터 또는 평면의 방정식을 이용해 해결하는 문제이다.

2006학년도 수능 수리 가형 24번

구 \(x^{2}+y^{2}+z^{2}=4\)와 평면 \(z=-1\)이 만나서 생기는 원을 \(C\)라 하자. \(x\)축을 포함하는 평면 \(\alpha\)와 구 \(x^{2}+y^{2}+z^{2}=4\)가 만나서 생기는 원이 \(C\)와 오직 한 점에서 만날 때, 평면 \(\alpha\)의 한 법선벡터를 \(\vec{n}=(a,\,3,\,b)\)라 하자. \(a^{2}+b^{2}\)의 값을 구하시오. [4점]

풀이: 구 \(x^{2}+y^{2}+z^{2}=4\)와 평면 \(\alpha\), \(z=-1\)의 위치는 다음과 같다.

평면 \(\alpha\)와 \(z=-1\)이 이루는 예각은 \(\displaystyle\frac{\pi}{6}\)이고, \(\alpha\)와 \(xz\)평면(\(y=0\))이 이루는 예각은 \(\displaystyle\frac{\pi}{3}\)이다. 

평면 \(\alpha\)의 법선벡터가 \(\vec{n}=(a,\,3,\,b)\)이고, 평면 \(y=0\)의 법선벡터는 \(\vec{n}_{xz}=(0,\,1,\,0)\)이므로$$\frac{1}{2}=\cos\frac{\pi}{3}=\frac{\vec{n}\cdot\vec{n}_{xz}}{|\vec{n}||\vec{n}_{xz}|}=\frac{3}{\sqrt{a^{2}+9+b^{2}}}$$이고$$a^{2}+b^{2}+9=(3\cdot2)^{2}=36$$이므로 따라서 \(a^{2}+b^{2}=27\)이다. 

2009학년도 수능 수리 가형 25번   

좌표공간에서 구 \(S:\,x^{2}+y^{2}+z^{2}=4\)와 평면 \(\alpha:\,y-\sqrt{3}z=2\)가 만나서 생기는 원을 \(C\)라 하자. 원 \(C\)위의 점 \(A(0,\,2,\,0)\)에 대하여 원 \(C\)의 지름의 양 끝점 \(\text{P}\), \(\text{Q}\)를 \(\overline{\text{AP}}=\overline{\text{AQ}}\)가 되도록 잡고, 점 \(\text{P}\)를 지나고 평면 \(\alpha\)에 수직인 직선이 구 \(S\)와 만나는 또 다른 점을 \(\text{R}\)라 하자. 삼각형 \(\text{ARQ}\)의 넓이를 \(s\)라 할 때, \(s^{2}\)의 값을 구하시오. [4점]

풀이: 구 \(x^{2}+y^{2}+z^{2}=4\)의 중심은 원점이고, 원점에서 평면 \(\alpha\)까지의 거리는$$\frac{|-2|}{\sqrt{1^{2}+(-\sqrt{3})^{2}}}=1$$이고, 구의 반지름이 \(2\)이므로 원 \(C\)의 반지름은 \(\sqrt{2^{2}-1^{2}}=\sqrt{3}\)이다. 점 \(\text{P}\), \(\text{Q}\)는 지름의 양 끝점이고, \(\overline{\text{AP}}=\overline{\text{AQ}}\)이므로$$\overline{\text{AP}}=\overline{\text{AQ}}=\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+(\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{6}$$이다.

그러면 \(\overline{\text{QR}}=4\),\(\overline{AQ}=\sqrt{6}\)이고 \(\overline{\text{PR}}=2\)이므로$$\overline{\text{AR}}=\sqrt{\overline{\text{PR}}^{2}+\overline{\text{PA}}^{2}}=\sqrt{2^{2}+(\sqrt{6})^{2}}=\sqrt{10}$$이고 이때$$\overline{\text{QR}}^{2}=16=6+10=\overline{\text{AQ}}^{2}+\overline{\text{AR}}^{2}$$이므로 삼각형 \(\text{ARQ}\)는 \(\displaystyle\angle\text{RAQ}=\frac{\pi}{2}\)인 직각삼각형이다. 그러면 \(\displaystyle s=\frac{1}{2}\cdot\sqrt{6}\cdot\sqrt{10}=\sqrt{15}\)이고 따라서 \(s^{2}=15\)이다.