[확률] 2010학년도 9월 수능모의평가 공통 16번, 2011학년도 9월 수능모의평가 공통 24번

[확률] 2010학년도 9월 수능모의평가 공통 16번, 2011학년도 9월 수능모의평가 공통 24번

여기서 다루는 문제는 가장 어려웠던(?) 확률 문제이다.

2010학년도 9월 모의평가 공통 16번 

한 개의 동전을 한 번 던지는 시행을 5번 반복한다. 각 시행에서 나온 결과에 대하여 다음 규칙에 따라 표를 작성한다.

 

(가) 첫 번째 시행에서 앞면이 나오면 △, 뒷면이 나오면 ○를 표시한다. (나) 두 번째 시행부터 (1) 뒷면이 나오면 ○를 표시하고, (2) 앞면이 나왔을 때, 바로 이전 시행의 결과가 앞면이면 ○, 뒷면이면 △를 표시한다.

   

예를 들어 동전을 5번 던져 '앞면, 뒷면, 앞면, 앞면, 뒷면'이 나오면 다음과 같은 표가 작성된다.

시행	1	2	3	4	5
표시	△	○	△	○	○

  

한 개의 동전을 5번 던질 때 작성되는 표에 표시된 △의 개수를 확률변수 \(X\)라 하자. \(P(X=2)\)의 값은? [4점]

풀이: 문제의 규칙을 따라 동전을 5번 던졌을 때 결과를 다음과 같이 나타낼 수 있다.

1회	2회	3회	4회	5회	\(X=2\) 여부
H(△)	H(○)	H(○)	H(○)	H(○)
				T(○)
			T(○)	H(△)	V
				T(○)
		T(○)	H(△)	H(○)	V
				T(○)	V
			T(○)	H(△)
				T(○)	V
	T(○)	H(△)	H(○)	H(○)	V
				T(○)	V
			T(○)	H(△)
				T(○)	V
		T(○)	H(△)	H(○)	V
				T(○)	V
			T(○)	H(△)	V
				T(○)

T(○)	H(△)	H(○)	H(○)	H(○)
				T(○)
			T(○)	H(△)	V
				T(○)
		T(○)	H(△)	H(○)	V
				T(○)	V
			T(○)	H(△)	V
				T(○)
	T(○)	H(△)	H(○)	H(○)
				T(○)
			T(○)	H(△)	V
				T(○)
		T(○)	H(△)	H(○)
				T(○)
			T(○)	H(△)
				T(○)

위의 표로부터 \(X=2\)인 경우는 15가지이고 전체 경우의 수가 \(2^{5}=32\)이므로 따라서 \(\displaystyle\text{P}(X=2)=\frac{15}{32}\)이다. 

2011학년도 9월 모의평가 공통 24번 

주며니 안에 스티커가 1개, 2개, 3개 붙어 있는 카드가 각각 1장씩 들어 있다. 주머니에서 임의로 카드 1장을 꺼내어 스티커 1개를 더 붙인 후 다시 주머니에 넣는 시행을 반복한다. 주머니 안의 각 카드에 붙어 있는 스티커의 개수를 3으로 나눈 나머지가 모두 같아지는 사건을 \(A\)라 하자. 시행을 6번 하였을 때, 1회부터 5회까지는 사건 \(A\)가 일어나지 않고, 6회에서 사건 \(A\)가 일어날 확률을 \(\displaystyle\frac{q}{p}\)라 하자. \(p+q\)의 값을 구하시오. (단, \(p\)와 \(q\)는 서로소인 자연수이다.) [4점]

풀이: 처음 주머니 안에 스티커가 1개, 2개, 3개 있으므로 사건 \(A\)는 1회, 2회 실행에서 일어나지 않고, 3회 실행에서 일어난다.

시행 전	1회	2회	3회	사건 \(A\)의 발생여부
(1, 2, 3)	(2, 2, 3)	(3, 2, 3)	(4, 2, 3)
			(3, 3, 3)	V
			(3, 2, 4)
		(2, 3, 3)	(3, 3, 3)	V
			(2, 4, 3)
			(2, 3, 4)
		(2, 2, 4)	(3, 2, 4)
			(2, 3, 4)
			(2, 2, 5)	V
	(1, 3, 3)	(2, 3, 3)	(3, 3, 3)	V
			(2, 4, 3)
			(2, 3, 4)
		(1, 4, 3)	(2, 4, 3)
			(1, 5, 3)
			(1, 4, 4)	V
		(1, 3, 4)	(2, 3, 4)
			(1, 4, 4)	V
			(1, 3, 5)
	(1, 2, 4)	(2, 2, 4)	(3, 2, 4)
			(2, 3, 4)
			(2, 2, 5)	V
		(1, 3, 4)	(2, 3, 4)
			(1, 4, 4)	V
			(1, 3, 5)
		(1, 2, 5)	(2, 2, 5)	V
			(1, 3, 5)
			(1, 2, 6)

   

3회까지 실행을 마친 후에 사건 \(A\) 일어나는 경우의 수는 \(9\)이고, 전체 경우의 수는 \(3^{3}=27\)이므로 \(\displaystyle\text{P}(A)=\frac{9}{27}=\frac{1}{3}\)이다. 

이 시행은 독립시행이고, 1, 2회 시행과 3, 4회 시행에서 사건 \(A\)는 절대로 일어나지 않는다. 그러므로 1회부터 5회까지 사건 \(A\)가 일어나지 않고 6회에 사건 \(A\)가 일어날 확률은$$P(A^{c})P(A)=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{3}=\frac{2}{9}$$이고 따라서 \(p+q=11\)이다.