[미적분] 2005학년도 수능 수리 가형 10번, 2009학년도 수리 가형 미분과적분 27번

[미적분] 2005학년도 수능 수리 가형 10번, 2009학년도 수리 가형 미분과적분 27번

구간 $[a,\,b]$에서 연속인 함수 $y=f(x)$의 정적분은 다음과 같이 무한급수로 나타낼 수 있고, $$\int_{a}^{b}{f(x)dx}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{f(x_{k})\Delta x}\,\left(x_{k}=a+\frac{b-a}{n}k,\,\Delta x=\frac{b-a}{n}\right)$$ 역함수의 적분을 묻는 문제는 함수의 그래프와 역함수가 원래 함수와 직선 $y=x$와 대칭이라는 점을 이용해 구한다.

2005학년도 수능 수리 가형 10번 

다음은 연속함수 $y=f(x)$의 그래프이다.

구간 $[0,\,1]$에서 함수 $f(x)$의 역함수 $g(x)$가 존재하고 연속일 때, 극한값 $$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{k=1}^{n}{\left\{g\left(\frac{k}{n}\right)-g\left(\frac{k-1}{n}\right)\right\}\frac{k}{n}}}$$ 와 같은 값을 갖는 것은? [4점]

풀이: $\displaystyle x_{k}=g\left(\frac{k}{n}\right)$라 하자. 그러면 $$\begin{align*}&g\left(\frac{k}{n}\right)-g\left(\frac{k-1}{n}\right)=x_{k}-x_{k-1}\\&\frac{k}{n}=(f\circ g)\left(\frac{k}{n}\right)=f\left(g\left(\frac{k}{n}\right)\right)=f(x_{k})\end{align*}$$ 이므로 따라서 $$\begin{align*}\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{k=1}^{n}{\left\{g\left(\frac{k}{n}\right)-g\left(\frac{k-1}{n}\right)\right\}\frac{k}{n}}}&=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{k=1}^{n}{(x_{k}-x_{k-1})f(x_{k})}}\\&=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{k=1}^{n}{f(x_{k})\Delta x}}\\&=\int_{0}^{1}{f(x)dx}\end{align*}$$ 이다.

2009학년도 수능 수리 가형 미분과적분 27번

닫힌구간 $[0,\,1]$에서 정의된 연속함수 $f(x)$가 $f(0)=0$, $f(1)=1$이며, 열린구간 $(0,\,1)$에서 이계도함수를 갖고 $f'(x)>0$, $f''(x)>0$일 때, $\displaystyle\int_{0}^{1}{\{f^{-1}(x)-f(x)\}dx}$의 값과 같은 것은? 

풀이: $f(0)=0,\,f(1)=0$, $[0,\,1]$에서 $f'(x)>0,\,f''(x)>0$이므로 $f(x)$는 $[0,\,1]$에서 증가하고 아래로 볼록이다. $f(x)$는 증가함수이므로 역함수 $f^{-1}(x)$를 갖고, 그래프는 다음과 같다.

$f(x)$와 $f^{-1}(x)$는 직선 $y=x$에 대해 대칭이므로 $$\int_{0}^{1}{\{f^{-1}(x)-f(x)\}dx}=2\int_{0}^{1}{\{x-f(x)\}dx}$$ 이고 이 적분을 무한급수로 나타내면 다음과 같다. $$2\int_{0}^{1}{\{x-f(x)\}dx}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{k=1}^{n}{\left\{\frac{k}{n}-f\left(\frac{k}{n}\right)\right\}\frac{2}{n}}}$$