[미적분] 2005학년도 수능 수리 가형 10번, 2009학년도 수리 가형 미분과적분 27번

[미적분] 2005학년도 수능 수리 가형 10번, 2009학년도 수리 가형 미분과적분 27번

구간 \([a,\,b]\)에서 연속인 함수 \(y=f(x)\)의 정적분은 다음과 같이 무한급수로 나타낼 수 있고,$$\int_{a}^{b}{f(x)dx}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{f(x_{k})\Delta x}\,\left(x_{k}=a+\frac{b-a}{n}k,\,\Delta x=\frac{b-a}{n}\right)$$역함수의 적분을 묻는 문제는 함수의 그래프와 역함수가 원래 함수와 직선 \(y=x\)와 대칭이라는 점을 이용해 구한다.

2005학년도 수능 수리 가형 10번 

다음은 연속함수 \(y=f(x)\)의 그래프이다.

구간 \([0,\,1]\)에서 함수 \(f(x)\)의 역함수 \(g(x)\)가 존재하고 연속일 때, 극한값$$\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{k=1}^{n}{\left\{g\left(\frac{k}{n}\right)-g\left(\frac{k-1}{n}\right)\right\}\frac{k}{n}}}$$와 같은 값을 갖는 것은? [4점]

풀이: \(\displaystyle x_{k}=g\left(\frac{k}{n}\right)\)라 하자. 그러면$$\begin{align*}&g\left(\frac{k}{n}\right)-g\left(\frac{k-1}{n}\right)=x_{k}-x_{k-1}\\&\frac{k}{n}=(f\circ g)\left(\frac{k}{n}\right)=f\left(g\left(\frac{k}{n}\right)\right)=f(x_{k})\end{align*}$$이므로 따라서$$\begin{align*}\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{k=1}^{n}{\left\{g\left(\frac{k}{n}\right)-g\left(\frac{k-1}{n}\right)\right\}\frac{k}{n}}}&=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{k=1}^{n}{(x_{k}-x_{k-1})f(x_{k})}}\\&=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{k=1}^{n}{f(x_{k})\Delta x}}\\&=\int_{0}^{1}{f(x)dx}\end{align*}$$이다.

2009학년도 수능 수리 가형 미분과적분 27번

닫힌구간 \([0,\,1]\)에서 정의된 연속함수 \(f(x)\)가 \(f(0)=0\), \(f(1)=1\)이며, 열린구간 \((0,\,1)\)에서 이계도함수를 갖고 \(f'(x)>0\), \(f''(x)>0\)일 때, \(\displaystyle\int_{0}^{1}{\{f^{-1}(x)-f(x)\}dx}\)의 값과 같은 것은? 

풀이: \(f(0)=0,\,f(1)=0\), \([0,\,1]\)에서 \(f'(x)>0,\,f''(x)>0\)이므로 \(f(x)\)는 \([0,\,1]\)에서 증가하고 아래로 볼록이다. \(f(x)\)는 증가함수이므로 역함수 \(f^{-1}(x)\)를 갖고, 그래프는 다음과 같다.

\(f(x)\)와 \(f^{-1}(x)\)는 직선 \(y=x\)에 대해 대칭이므로$$\int_{0}^{1}{\{f^{-1}(x)-f(x)\}dx}=2\int_{0}^{1}{\{x-f(x)\}dx}$$이고 이 적분을 무한급수로 나타내면 다음과 같다.$$2\int_{0}^{1}{\{x-f(x)\}dx}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{k=1}^{n}{\left\{\frac{k}{n}-f\left(\frac{k}{n}\right)\right\}\frac{2}{n}}}$$