[수열의극한] 2010학년도 수능 공통 15번, 2011학년도 6월 수능모의평가 공통 10번

[수열의극한] 2010학년도 수능 공통 15번, 2011학년도 6월 수능모의평가 공통 10번

도형과 관련된 무한등비급수 문제는 첫째 항을 구한 다음 닮음비를 이용해 공비를 구하고, 그 공비를 이용해 무한등비급수의 합 공식을 이용해 답을 구한다. 

등비수열 $a_{n}=ar^{n-1}\,(|r|<1)$에 대해 $$S_{n}=\sum_{k=1}^{n}{a_{n}}=\frac{a(1-r^{n})}{1-r}$$ 이므로 $$\sum_{n=1}^{\infty}{a_{n}}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{S_{n}}=\frac{a}{1-r}$$ 이다. 

2010학년도 수능 가, 나형 공통 15번 

그림과 같이 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 3인 원 $\text{O}_{1}$을 그리고, 원 $\text{O}_{1}$이 좌표축과 만나는 네 점을 각각 $\text{A}_{1}(0,\,3)$, $\text{B}(-3,\,0)$, $\text{C}_{1}(0,\,-3)$, $\text{D}_{1}(3,\,0)$이라 하자. 두 점 $\text{B}_{1}$, $\text{D}_{1}$을 모두 지나고 두 점 $\text{A}_{1}$, $\text{C}_{1}$을 각각 중심으로 하는 두 원이 원 $\text{O}_{1}$의 내부에서 $y$축과 만나는 점을 각각 $\text{C}_{2}$, $\text{A}_{2}$라 하자. 

호 $\text{B}_{1}\text{A}_{1}\text{D}_{1}$과 호 $\text{B}_{1}\text{A}_{2}\text{D}_{1}$로 둘러싸인 도형의 넓이를 $S_{1}$, 호 $\text{B}_{1}\text{C}_{1}\text{D}_{1}$과 호 $\text{B}_{1}\text{C}_{2}\text{D}_{1}$로 둘러싸인 도형의 넓이를 $T_{1}$이라 하자. 

선분 $\text{A}_{2}\text{C}_{2}$를 지름으로 하는 원 $\text{O}_{2}$를 그리고, 원 $\text{O}_{2}$가 $x$축과 만나는 두 점을 각각 $\text{B}_{2}$, $\text{D}_{2}$라 하자. 두 점 $\text{B}_{2}$, $\text{D}_{2}$를 모두 지나고 두 점 $\text{A}_{2}$, $\text{C}_{2}$를 각각 중심으로 하는 두 원이 원 $\text{O}_{2}$의 내부에서 $y$축과 만나는 점을 각각 $\text{C}_{3}$, $\text{A}_{3}$이라 하자.    

호 $\text{B}_{2}\text{A}_{2}\text{D}_{2}$와 호 $\text{B}_{2}\text{A}_{3}\text{D}_{2}$로 둘러싸인 도형의 넓이를 $S_{2}$, 호 $\text{B}_{2}\text{C}_{2}\text{D}_{2}$와 호 $\text{B}_{2}\text{C}_{3}\text{D}_{2}$로 둘러싸인 도형의 넓이를 $T_{2}$라 하자. 

이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 호 $\text{B}_{n}\text{A}_{n}\text{D}_{n}$과 호 $\text{B}_{n}\text{A}_{n+1}\text{D}_{n}$으로 둘러싸인 도형의 넓이를 $S_{n}$, 호 $\text{B}_{n}\text{C}_{n}\text{D}_{n}$과 호 $\text{B}_{n}\text{C}_{n+1}\text{D}_{n}$으로 둘러싸인 도형의 넓이를 $T_{n}$이라 할 때, $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{(S_{n}+T_{n})}$의 값은? [4점]

풀이: 원 $\overline{\text{O}_{1}}$의 반지름은 3이고, $\overline{\text{C}_{1}\text{B}_{1}}=\overline{\text{C}_{1}\text{D}_{1}}=3\sqrt{2}$이므로 $$\begin{align*}S_{1}=T_{1}&=\frac{9\pi}{2}-\left(\frac{(3\sqrt{2})^{2}\pi}{4}-\frac{1}{2}(3\sqrt{2})^{2}\right)\\&=\frac{9}{2}\pi-\left(\frac{9}{2}\pi-9\right)\\&=9\end{align*}$$ 이고, $\overline{\text{C}_{1}\text{A}_{2}}=3$, $\overline{\text{C}_{1}\text{D}_{1}}=3\sqrt{2}$이므로 점 $\text{A}_{2}$의 $y$좌표는 $3(\sqrt{2}-1)$이고, 원 $\text{O}_{1}$의 의 반지름이 $3$이므로 넓이는 $9\pi$이고, 원 $\text{O}_{2}$의 반지름이 $3(\sqrt{2}-1)$이므로 넓이는 $9(\sqrt{2}-1)^{2}\pi=9(3-2\sqrt{2})\pi$이다. 그러면 원 $O_{n}$의 닮음비는 $$\frac{S_{2}}{S_{1}}=\frac{T_{2}}{T_{1}}=\frac{9(3-2\sqrt{2})\pi}{9\pi}=3-2\sqrt{2}$$ 이고 $S_{1}+T_{1}=18$이므로 $S_{n}+T_{n}$은 다음과 같다. $$S_{n}+T_{n}=18(3-2\sqrt{2})^{n-1}$$ 따라서 $$\sum_{n=1}^{\infty}{(S_{n}+T_{n})}=\frac{18}{1-(3-2\sqrt{2})}=\frac{9}{\sqrt{2}-1}=9(\sqrt{2}+1)$$ 이다.  

2011학년도 6월 모의평가 가, 나형 공통 10번  

가로의 길이가 5이고 세로의 길이가 4인 직사각형에서 그림과 같이 가로의 폭 $a$가 직사각형의 가로의 길이의 $\displaystyle\frac{1}{4}$, 세로의 폭 $b$가 직사각형의 세로의 길이의 $\displaystyle\frac{1}{5}$인 +모양의 도형을 잘라내어 얻은 4개의 직사각형을 $R_{1}$이라 하고, 그 4개의 직사각형의 넓이의 합을 $S_{1}$이라 하자. 

$R_{1}$의 각 직사각형에서 가로의 폭이 각 직사각형의 가로의 길이의 $\displaystyle\frac{1}{4}$, 세로의 폭이 각 직사각형의 세로의 길이의 $\displaystyle\frac{1}{5}$인 +모양의 도형을 잘라내어 얻은 16개의 직사각형을 $R_{2}$라 하고, 그 16개의 직사각형의 넓이의 합을 $S_{2}$라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 $R_{n}$의 $4^{n}$개의 직사각형의 넓이의 합을 $S_{n}$이라 할 때, $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{S_{n}}$의 값은? [4점]

풀이: $R_{1}$에서 +도형을 잘라내 남은 도형의 합은 $$S_{1}=5\left(1-\frac{1}{4}\right)4\left(1-\frac{1}{5}\right)=(5-1)(4-1)=12$$ 이고, $R_{1}$에서 +도형을 제거하기 전의 넓이는 $4\cdot5=20$, +도형을 제거하고 나서 생긴 4개의 직사각형 중 하나의 넓이는 $\displaystyle\frac{S_{1}}{4}=3$이므로 $R_{n}$의 닮음비는 $\displaystyle\frac{3}{20}$이고, +도형을 제거할때마다 4개의 직사각형이 얻어지므로 $\displaystyle\frac{S_{2}}{S_{1}}=\frac{3}{20}\cdot4=\frac{3}{5}$이다. 따라서 $$\sum_{n=1}^{\infty}{S_{n}}=\frac{12}{1-\frac{3}{5}}=12\cdot\frac{5}{2}=30$$ 이다.