[수열의극한] 2010학년도 수능 공통 15번, 2011학년도 6월 수능모의평가 공통 10번

[수열의극한] 2010학년도 수능 공통 15번, 2011학년도 6월 수능모의평가 공통 10번

도형과 관련된 무한등비급수 문제는 첫째 항을 구한 다음 닮음비를 이용해 공비를 구하고, 그 공비를 이용해 무한등비급수의 합 공식을 이용해 답을 구한다. 

등비수열 \(a_{n}=ar^{n-1}\,(|r|<1)\)에 대해$$S_{n}=\sum_{k=1}^{n}{a_{n}}=\frac{a(1-r^{n})}{1-r}$$이므로$$\sum_{n=1}^{\infty}{a_{n}}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{S_{n}}=\frac{a}{1-r}$$이다. 

2010학년도 수능 가, 나형 공통 15번 

그림과 같이 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 3인 원 \(\text{O}_{1}\)을 그리고, 원 \(\text{O}_{1}\)이 좌표축과 만나는 네 점을 각각 \(\text{A}_{1}(0,\,3)\), \(\text{B}(-3,\,0)\), \(\text{C}_{1}(0,\,-3)\), \(\text{D}_{1}(3,\,0)\)이라 하자. 두 점 \(\text{B}_{1}\), \(\text{D}_{1}\)을 모두 지나고 두 점 \(\text{A}_{1}\), \(\text{C}_{1}\)을 각각 중심으로 하는 두 원이 원 \(\text{O}_{1}\)의 내부에서 \(y\)축과 만나는 점을 각각 \(\text{C}_{2}\), \(\text{A}_{2}\)라 하자. 

호 \(\text{B}_{1}\text{A}_{1}\text{D}_{1}\)과 호 \(\text{B}_{1}\text{A}_{2}\text{D}_{1}\)로 둘러싸인 도형의 넓이를 \(S_{1}\), 호 \(\text{B}_{1}\text{C}_{1}\text{D}_{1}\)과 호 \(\text{B}_{1}\text{C}_{2}\text{D}_{1}\)로 둘러싸인 도형의 넓이를 \(T_{1}\)이라 하자. 

선분 \(\text{A}_{2}\text{C}_{2}\)를 지름으로 하는 원 \(\text{O}_{2}\)를 그리고, 원 \(\text{O}_{2}\)가 \(x\)축과 만나는 두 점을 각각 \(\text{B}_{2}\), \(\text{D}_{2}\)라 하자. 두 점 \(\text{B}_{2}\), \(\text{D}_{2}\)를 모두 지나고 두 점 \(\text{A}_{2}\), \(\text{C}_{2}\)를 각각 중심으로 하는 두 원이 원 \(\text{O}_{2}\)의 내부에서 \(y\)축과 만나는 점을 각각 \(\text{C}_{3}\), \(\text{A}_{3}\)이라 하자.    

호 \(\text{B}_{2}\text{A}_{2}\text{D}_{2}\)와 호 \(\text{B}_{2}\text{A}_{3}\text{D}_{2}\)로 둘러싸인 도형의 넓이를 \(S_{2}\), 호 \(\text{B}_{2}\text{C}_{2}\text{D}_{2}\)와 호 \(\text{B}_{2}\text{C}_{3}\text{D}_{2}\)로 둘러싸인 도형의 넓이를 \(T_{2}\)라 하자. 

이와 같은 과정을 계속하여 \(n\)번째 얻은 호 \(\text{B}_{n}\text{A}_{n}\text{D}_{n}\)과 호 \(\text{B}_{n}\text{A}_{n+1}\text{D}_{n}\)으로 둘러싸인 도형의 넓이를 \(S_{n}\), 호 \(\text{B}_{n}\text{C}_{n}\text{D}_{n}\)과 호 \(\text{B}_{n}\text{C}_{n+1}\text{D}_{n}\)으로 둘러싸인 도형의 넓이를 \(T_{n}\)이라 할 때, \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{(S_{n}+T_{n})}\)의 값은? [4점]

풀이: 원 \(\overline{\text{O}_{1}}\)의 반지름은 3이고, \(\overline{\text{C}_{1}\text{B}_{1}}=\overline{\text{C}_{1}\text{D}_{1}}=3\sqrt{2}\)이므로$$\begin{align*}S_{1}=T_{1}&=\frac{9\pi}{2}-\left(\frac{(3\sqrt{2})^{2}\pi}{4}-\frac{1}{2}(3\sqrt{2})^{2}\right)\\&=\frac{9}{2}\pi-\left(\frac{9}{2}\pi-9\right)\\&=9\end{align*}$$이고, \(\overline{\text{C}_{1}\text{A}_{2}}=3\), \(\overline{\text{C}_{1}\text{D}_{1}}=3\sqrt{2}\)이므로 점 \(\text{A}_{2}\)의 \(y\)좌표는 \(3(\sqrt{2}-1)\)이고, 원 \(\text{O}_{1}\)의 의 반지름이 \(3\)이므로 넓이는 \(9\pi\)이고, 원 \(\text{O}_{2}\)의 반지름이 \(3(\sqrt{2}-1)\)이므로 넓이는 \(9(\sqrt{2}-1)^{2}\pi=9(3-2\sqrt{2})\pi\)이다. 그러면 원 \(O_{n}\)의 닮음비는$$\frac{S_{2}}{S_{1}}=\frac{T_{2}}{T_{1}}=\frac{9(3-2\sqrt{2})\pi}{9\pi}=3-2\sqrt{2}$$이고 \(S_{1}+T_{1}=18\)이므로 \(S_{n}+T_{n}\)은 다음과 같다.$$S_{n}+T_{n}=18(3-2\sqrt{2})^{n-1}$$따라서$$\sum_{n=1}^{\infty}{(S_{n}+T_{n})}=\frac{18}{1-(3-2\sqrt{2})}=\frac{9}{\sqrt{2}-1}=9(\sqrt{2}+1)$$이다.  

2011학년도 6월 모의평가 가, 나형 공통 10번  

가로의 길이가 5이고 세로의 길이가 4인 직사각형에서 그림과 같이 가로의 폭 \(a\)가 직사각형의 가로의 길이의 \(\displaystyle\frac{1}{4}\), 세로의 폭 \(b\)가 직사각형의 세로의 길이의 \(\displaystyle\frac{1}{5}\)인 +모양의 도형을 잘라내어 얻은 4개의 직사각형을 \(R_{1}\)이라 하고, 그 4개의 직사각형의 넓이의 합을 \(S_{1}\)이라 하자. 

\(R_{1}\)의 각 직사각형에서 가로의 폭이 각 직사각형의 가로의 길이의 \(\displaystyle\frac{1}{4}\), 세로의 폭이 각 직사각형의 세로의 길이의 \(\displaystyle\frac{1}{5}\)인 +모양의 도형을 잘라내어 얻은 16개의 직사각형을 \(R_{2}\)라 하고, 그 16개의 직사각형의 넓이의 합을 \(S_{2}\)라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 \(n\)번째 얻은 \(R_{n}\)의 \(4^{n}\)개의 직사각형의 넓이의 합을 \(S_{n}\)이라 할 때, \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}{S_{n}}\)의 값은? [4점]

풀이: \(R_{1}\)에서 +도형을 잘라내 남은 도형의 합은$$S_{1}=5\left(1-\frac{1}{4}\right)4\left(1-\frac{1}{5}\right)=(5-1)(4-1)=12$$이고, \(R_{1}\)에서 +도형을 제거하기 전의 넓이는 \(4\cdot5=20\), +도형을 제거하고 나서 생긴 4개의 직사각형 중 하나의 넓이는 \(\displaystyle\frac{S_{1}}{4}=3\)이므로 \(R_{n}\)의 닮음비는 \(\displaystyle\frac{3}{20}\)이고, +도형을 제거할때마다 4개의 직사각형이 얻어지므로 \(\displaystyle\frac{S_{2}}{S_{1}}=\frac{3}{20}\cdot4=\frac{3}{5}\)이다. 따라서$$\sum_{n=1}^{\infty}{S_{n}}=\frac{12}{1-\frac{3}{5}}=12\cdot\frac{5}{2}=30$$이다.