[미적분] 2010학년도 9월 수능모의평가 수리 가형 미분과적분 28번, 2022학년도 예시문항 미적분 29번

[미적분] 2010학년도 9월 수능모의평가 수리 가형 미분과적분 28번, 2022학년도 수학 예시문항 미적분 29번 

미분가능한 함수 \(g(t)\)의 도함수 \(g'(t)\)가 닫힌구간 \([\alpha,\,\beta]\)를 포함하는 열린구간에서 연속이고 \(g(\alpha)=a\), \(g(\beta)=b\), 함수 \(f(x)\)가 구간 \([a,\,b]\)에서 연속이면$$\int_{\alpha}^{\beta}{f(g(t))g'(t)dt}=\int_{a}^{b}{f(x)dx}$$이다.

2010학년도 9월 모의평가 수리 가형 미분과적분 28번

함수 \(\displaystyle f(x)=\int_{0}^{x}{\frac{1}{1+t^{6}}dt}\)에 대하여 상수 \(a\)가 \(\displaystyle f(a)=\frac{1}{2}\)을 만족시킬 때,$$\int_{0}^{a}{\frac{e^{f(x)}}{1+x^{6}}dx}$$의 값은? [3점]

풀이: \(\displaystyle y=f(x)\)라 하면$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{1+x^{6}}\,f(0)=0,\,f(a)=\frac{1}{2}$$이므로 치환적분법에 의해$$\begin{align*}\int_{0}^{a}{\frac{e^{f(x)}}{1+x^{6}}dx}&=\int_{0}^{\frac{1}{2}}{e^{y}dy}\\&=[e^{y}]_{0}^{\frac{1}{2}}\\&=\sqrt{e}-1\end{align*}$$이다. 

2022학년도 예시문항 미적분 29번 

함수 \(f(x)=e^{x}+x-1\)과 양수 \(t\)에 대하여 함수$$F(x)=\int_{0}^{x}{\{t-f(s)\}ds}$$가 \(x=\alpha\)에서 최댓값을 가질 때, 실수 \(\alpha\)의 값을 \(g(t)\)라 하자. 

미분가능한 함수 \(g(t)\)에 대하여 \(\displaystyle\int_{f(1)}^{f(5)}{\frac{g(t)}{1+e^{g(t)}}dt}\)의 값을 구하시오. [4점]

풀이:$$F(x)=\int_{0}^{x}{tds}-\int_{0}^{x}{f(s)ds}=xt-\int_{0}^{x}{f(s)ds}$$이고 \(x=\alpha\)에서 최댓값을 가지므로 \(F'(\alpha)=0\)이다.$$F'(x)=t-f(x),\,F'(\alpha)=t-f(\alpha)=0$$이고 이때 \(\alpha=g(t)\)이므로 \(f(g(t))=t\), 즉 \(f(t)\)는 \(g(t)\)의 역함수이다. 

\(y=g(t)\)라 하면$$\frac{dy}{dt}=g'(t),\,g(f(1))=1,\,g(f(5))=5$$이므로$$\int_{f(1)}^{f(t)}{\frac{g(t)}{1+e^{g(t)}}dt}=\int_{1}^{5}{\frac{y}{1+e^{y}}\cdot\frac{1}{g'(t)}dy}$$이고 \(g(f(t))=t\)이므로$$f'(t)g'(f(t))=1$$이고$$\begin{align*}\frac{1}{g'(t)}&=\frac{1}{g'(f(y))}=f'(y)\\&=e^{y}+1\end{align*}$$이므로$$\begin{align*}\int_{1}^{5}{\frac{y}{1+e^{y}}\cdot\frac{1}{g'(t)}dy}&=\int_{1}^{5}{\frac{y}{1+e^{y}}(1+e^{y})dy}\\&=\int_{1}^{5}{ydy}=\left[\frac{1}{2}y^{2}\right]_{1}^{5}\\&=12\end{align*}$$이고 따라서 \(\displaystyle\int_{f(1)}^{f(5)}{\frac{g(t)}{1+e^{g(t)}}dt}=12\)이다.