[미적분] 2010학년도 9월 수능모의평가 수리 가형 미분과적분 28번, 2022학년도 예시문항 미적분 29번

[미적분] 2010학년도 9월 수능모의평가 수리 가형 미분과적분 28번, 2022학년도 수학 예시문항 미적분 29번 

미분가능한 함수 $g(t)$의 도함수 $g'(t)$가 닫힌구간 $[\alpha,\,\beta]$를 포함하는 열린구간에서 연속이고 $g(\alpha)=a$, $g(\beta)=b$, 함수 $f(x)$가 구간 $[a,\,b]$에서 연속이면 $$\int_{\alpha}^{\beta}{f(g(t))g'(t)dt}=\int_{a}^{b}{f(x)dx}$$ 이다.

2010학년도 9월 모의평가 수리 가형 미분과적분 28번

함수 $\displaystyle f(x)=\int_{0}^{x}{\frac{1}{1+t^{6}}dt}$에 대하여 상수 $a$가 $\displaystyle f(a)=\frac{1}{2}$을 만족시킬 때, $$\int_{0}^{a}{\frac{e^{f(x)}}{1+x^{6}}dx}$$ 의 값은? [3점]

풀이: $\displaystyle y=f(x)$라 하면 $$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{1+x^{6}}\,f(0)=0,\,f(a)=\frac{1}{2}$$ 이므로 치환적분법에 의해 $$\begin{align*}\int_{0}^{a}{\frac{e^{f(x)}}{1+x^{6}}dx}&=\int_{0}^{\frac{1}{2}}{e^{y}dy}\\&=[e^{y}]_{0}^{\frac{1}{2}}\\&=\sqrt{e}-1\end{align*}$$ 이다. 

2022학년도 예시문항 미적분 29번 

함수 $f(x)=e^{x}+x-1$과 양수 $t$에 대하여 함수 $$F(x)=\int_{0}^{x}{\{t-f(s)\}ds}$$ 가 $x=\alpha$에서 최댓값을 가질 때, 실수 $\alpha$의 값을 $g(t)$라 하자. 

미분가능한 함수 $g(t)$에 대하여 $\displaystyle\int_{f(1)}^{f(5)}{\frac{g(t)}{1+e^{g(t)}}dt}$의 값을 구하시오. [4점]

풀이: $$F(x)=\int_{0}^{x}{tds}-\int_{0}^{x}{f(s)ds}=xt-\int_{0}^{x}{f(s)ds}$$ 이고 $x=\alpha$에서 최댓값을 가지므로 $F'(\alpha)=0$이다. $$F'(x)=t-f(x),\,F'(\alpha)=t-f(\alpha)=0$$ 이고 이때 $\alpha=g(t)$이므로 $f(g(t))=t$, 즉 $f(t)$는 $g(t)$의 역함수이다. 

$y=g(t)$라 하면 $$\frac{dy}{dt}=g'(t),\,g(f(1))=1,\,g(f(5))=5$$ 이므로 $$\int_{f(1)}^{f(t)}{\frac{g(t)}{1+e^{g(t)}}dt}=\int_{1}^{5}{\frac{y}{1+e^{y}}\cdot\frac{1}{g'(t)}dy}$$ 이고 $g(f(t))=t$이므로 $$f'(t)g'(f(t))=1$$ 이고 $$\begin{align*}\frac{1}{g'(t)}&=\frac{1}{g'(f(y))}=f'(y)\\&=e^{y}+1\end{align*}$$ 이므로 $$\begin{align*}\int_{1}^{5}{\frac{y}{1+e^{y}}\cdot\frac{1}{g'(t)}dy}&=\int_{1}^{5}{\frac{y}{1+e^{y}}(1+e^{y})dy}\\&=\int_{1}^{5}{ydy}=\left[\frac{1}{2}y^{2}\right]_{1}^{5}\\&=12\end{align*}$$ 이고 따라서 $\displaystyle\int_{f(1)}^{f(5)}{\frac{g(t)}{1+e^{g(t)}}dt}=12$이다.