[미적분] 2012학년도 6월 수능모의평가 수리 가형 21번, 9월 수능모의평가 수리 가형 21번

[미적분] 2012학년도 6월 수능모의평가 수리 가형 21번, 9월 수능모의평가 수리 가형 21번

여기서 다룰 문제는 다항함수에 관한 문제이다. 

2012학년도 6월 모의평가 수리 가형 21번

양의 실수 전체의 집합을 정의역으로 하는 함수$$f(x)=\frac{1}{27}(x^{4}-6x^{3}+12x^{2}+19x)$$에 대하여 \(f(x)\)의 역함수를 \(g(x)\)라 하자. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]

<보 기> ㄱ. 점 \((2,\,2)\)는 곡선 \(y=f(x)\)의 변곡점이다.   ㄴ. 방정식 \(f(x)=x\)의 실근 중 양수인 것은 \(x=2\) 하나뿐이다.  ㄷ. 함수 \(|f(x)-g(x)|\)는 \(x=2\)에서 미분가능하다.

   

풀이: 

ㄱ:$$\begin{align*}f'(x)&=\frac{1}{27}(4x^{3}-18x^{2}+24x+19)\\f''(x)&=\frac{1}{27}(12x^{2}-36x+24)=\frac{4}{9}(x-1)(x-2)\end{align*}$$이므로 \(x=2\)의 좌우에서 \(f''(x)\)의 부호변화가 있고, 따라서 점 \((2,\,2)\)는 \(y=f(x)\)의 변곡점이다.  

ㄴ:$$\begin{align*}f(x)-x&=\frac{1}{27}(x^{4}-6x^{3}+12x^{2}+19x-27x)\\&=\frac{1}{27}(x^{4}-6x^{3}+12x^{2}-8x)\\&=\frac{1}{27}x(x-2)^{3}\end{align*}$$이므로 방정식 \(f(x)=x\)의 실근 중 양수인 근은 \(x=2\)뿐이다. 

ㄷ: 열린구간 \((1,\,3)\)에서 \(f(x)\geq x\)이고, ㄴ에 의해 \(f(2)=2\),$$f(x)-x=\frac{1}{27}x(x-2)^{3}$$이므로 \(y=f(x)\)는 \(x=2\)에서 직선 \(y=x\)에 접한다. 그러면 역함수 \(y=g(x)\)도 \(x=2\)에서 직선 \(y=x\)에 접하고 \((1,\,3)\)에서 \(g(x)\leq x\)이므로 \(g(x)\leq x\leq f(x)\)이고$$|f(x)-g(x)|=f(x)-g(x)$$이며 따라서 \(|f(x)-g(x)|\)는 \(x=2\)에서 미분가능하다. 

ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다. 

2012학년도 9월 모의평가 수리 가형 21번

삼차함수 \(y=f(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다. 

(가) 방정식 \(f(x)-x=0\)이 서로 다른 세 실근 \(\alpha,\,\beta,\,\gamma\)를 갖는다.  (나) \(x=3\)일 때 극값 \(7\)을 갖는다.  (다) \(f(f(3))=5\)

  

\(f(f(x))\)를 \(f(x)-x\)로 나눈 몫을 \(g(x)\), 나머지를 \(h(x)\)라 할 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [4점]

<보 기> ㄱ. \(\alpha,\,\beta,\,\gamma\)는 방정식 \(f(f(x))-x=0\)의 근이다.   ㄴ. \(h(x)=x\) ㄷ. \(g'(3)=1\)

  

풀이: 

ㄱ: 조건 (가)에 의해 \(f(\alpha)=\alpha\), \(f(\beta)=\beta\), \(f(\gamma)=\gamma\)이므로$$\begin{align*}f(f(\alpha))-\alpha&=f(\alpha)-\alpha=0\\f(f(\beta))-\beta&=f(\beta)-\beta=0\\f(f(\gamma))-\gamma&=f(\gamma)-\gamma=0\end{align*}$$이므로 \(\alpha,\,\beta,\,\gamma\)는 방정식 \(f(f(x))-x=0\)의 근이다.  

ㄴ:$$f(f(x))=\{f(x)-x\}g(x)+h(x)$$이고 \(f(f(x))\)는 6차함수, \(f(x)-x\)는 3차함수이므로 \(g(x)\)는 3차함수이고, \(h(x)\)는 2차 이하의 다항함수이다.

ㄱ에 의해 \(f(f(\alpha))=\alpha\), \(f(f(\beta))=\beta\), \(f(f(\gamma))=\gamma\)이므로$$h(\alpha)=\alpha,\,h(\beta)=\beta,\,h(\gamma)=\gamma$$이고 \(h(x)=ax^{2}+bx+c\)라고 하면$$\begin{align*}h(\alpha)&=a\alpha^{2}+b\alpha+c=\alpha\\h(\beta)&=a\beta^{2}+b\beta+c=\beta\\h(\gamma)&=a\gamma^{2}+b\gamma+c=\gamma\end{align*}$$이므로 \(a=0\), \(b=1\), \(c=1\)이고 따라서 \(h(x)=x\)이다.   

ㄷ: 다항함수 \(f(f(x))\)를 \(x\)에 대해 미분하면$$f'(x)f'(f(x))=\{f'(x)-1\}g(x)+\{f(x)-x\}g'(x)+1$$이고 조건 (나)에 의해 \(f(f(3))=5\), 조건 (다)에 의해 \(f(3)=7\)이므로$$\begin{align*}5&=f(f(3))=f(7)\\&=\{f(3)-3\}g(3)+h(3)\\&=4g(3)+3\end{align*}$$이고 \(\displaystyle g(3)=-\frac{1}{2}\)이다. 

조건 (나)에 의해 \(f'(3)=0\)이므로 \(f(f(x))\)를 미분한 식에 \(x=3\)을 대입하면$$\begin{align*}0&=f'(3)f'(f(3))\\&=\{f'(3)-1\}g(3)+\{f(3)-3\}g'(x)+1\\&=\frac{1}{2}+4g'(3)\end{align*}$$이므로 따라서 \(\displaystyle g'(3)=-\frac{1}{8}\)이다. 

옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.