[미적분] 2012학년도 6월 수능모의평가 수리 가형 21번, 9월 수능모의평가 수리 가형 21번

[미적분] 2012학년도 6월 수능모의평가 수리 가형 21번, 9월 수능모의평가 수리 가형 21번

여기서 다룰 문제는 다항함수에 관한 문제이다. 

2012학년도 6월 모의평가 수리 가형 21번

양의 실수 전체의 집합을 정의역으로 하는 함수 $$f(x)=\frac{1}{27}(x^{4}-6x^{3}+12x^{2}+19x)$$ 에 대하여 $f(x)$의 역함수를 $g(x)$라 하자. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]

<보 기> ㄱ. 점 $(2,\,2)$는 곡선 $y=f(x)$의 변곡점이다.   ㄴ. 방정식 $f(x)=x$의 실근 중 양수인 것은 $x=2$ 하나뿐이다.  ㄷ. 함수 $|f(x)-g(x)|$는 $x=2$에서 미분가능하다.

   

풀이: 

ㄱ: $$\begin{align*}f'(x)&=\frac{1}{27}(4x^{3}-18x^{2}+24x+19)\\f''(x)&=\frac{1}{27}(12x^{2}-36x+24)=\frac{4}{9}(x-1)(x-2)\end{align*}$$ 이므로 $x=2$의 좌우에서 $f''(x)$의 부호변화가 있고, 따라서 점 $(2,\,2)$는 $y=f(x)$의 변곡점이다.  

ㄴ: $$\begin{align*}f(x)-x&=\frac{1}{27}(x^{4}-6x^{3}+12x^{2}+19x-27x)\\&=\frac{1}{27}(x^{4}-6x^{3}+12x^{2}-8x)\\&=\frac{1}{27}x(x-2)^{3}\end{align*}$$ 이므로 방정식 $f(x)=x$의 실근 중 양수인 근은 $x=2$뿐이다. 

ㄷ: 열린구간 $(1,\,3)$에서 $f(x)\geq x$이고, ㄴ에 의해 $f(2)=2$, $$f(x)-x=\frac{1}{27}x(x-2)^{3}$$ 이므로 $y=f(x)$는 $x=2$에서 직선 $y=x$에 접한다. 그러면 역함수 $y=g(x)$도 $x=2$에서 직선 $y=x$에 접하고 $(1,\,3)$에서 $g(x)\leq x$이므로 $g(x)\leq x\leq f(x)$이고 $$|f(x)-g(x)|=f(x)-g(x)$$ 이며 따라서 $|f(x)-g(x)|$는 $x=2$에서 미분가능하다. 

ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다. 

2012학년도 9월 모의평가 수리 가형 21번

삼차함수 $y=f(x)$가 다음 조건을 만족시킨다. 

(가) 방정식 $f(x)-x=0$이 서로 다른 세 실근 $\alpha,\,\beta,\,\gamma$를 갖는다.  (나) $x=3$일 때 극값 $7$을 갖는다.  (다) $f(f(3))=5$

  

$f(f(x))$를 $f(x)-x$로 나눈 몫을 $g(x)$, 나머지를 $h(x)$라 할 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [4점]

<보 기> ㄱ. $\alpha,\,\beta,\,\gamma$는 방정식 $f(f(x))-x=0$의 근이다.   ㄴ. $h(x)=x$ ㄷ. $g'(3)=1$

  

풀이: 

ㄱ: 조건 (가)에 의해 $f(\alpha)=\alpha$, $f(\beta)=\beta$, $f(\gamma)=\gamma$이므로 $$\begin{align*}f(f(\alpha))-\alpha&=f(\alpha)-\alpha=0\\f(f(\beta))-\beta&=f(\beta)-\beta=0\\f(f(\gamma))-\gamma&=f(\gamma)-\gamma=0\end{align*}$$ 이므로 $\alpha,\,\beta,\,\gamma$는 방정식 $f(f(x))-x=0$의 근이다.  

ㄴ: $$f(f(x))=\{f(x)-x\}g(x)+h(x)$$ 이고 $f(f(x))$는 6차함수, $f(x)-x$는 3차함수이므로 $g(x)$는 3차함수이고, $h(x)$는 2차 이하의 다항함수이다.

ㄱ에 의해 $f(f(\alpha))=\alpha$, $f(f(\beta))=\beta$, $f(f(\gamma))=\gamma$이므로 $$h(\alpha)=\alpha,\,h(\beta)=\beta,\,h(\gamma)=\gamma$$ 이고 $h(x)=ax^{2}+bx+c$라고 하면 $$\begin{align*}h(\alpha)&=a\alpha^{2}+b\alpha+c=\alpha\\h(\beta)&=a\beta^{2}+b\beta+c=\beta\\h(\gamma)&=a\gamma^{2}+b\gamma+c=\gamma\end{align*}$$ 이므로 $a=0$, $b=1$, $c=1$이고 따라서 $h(x)=x$이다.   

ㄷ: 다항함수 $f(f(x))$를 $x$에 대해 미분하면 $$f'(x)f'(f(x))=\{f'(x)-1\}g(x)+\{f(x)-x\}g'(x)+1$$ 이고 조건 (나)에 의해 $f(f(3))=5$, 조건 (다)에 의해 $f(3)=7$이므로 $$\begin{align*}5&=f(f(3))=f(7)\\&=\{f(3)-3\}g(3)+h(3)\\&=4g(3)+3\end{align*}$$ 이고 $\displaystyle g(3)=-\frac{1}{2}$이다. 

조건 (나)에 의해 $f'(3)=0$이므로 $f(f(x))$를 미분한 식에 $x=3$을 대입하면 $$\begin{align*}0&=f'(3)f'(f(3))\\&=\{f'(3)-1\}g(3)+\{f(3)-3\}g'(x)+1\\&=\frac{1}{2}+4g'(3)\end{align*}$$ 이므로 따라서 $\displaystyle g'(3)=-\frac{1}{8}$이다. 

옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.