[미적분] 2014학년도 수능 수학 B형 21번, 2016학년도 수능 수학 B형 29번

[미적분] 2014학년도 수능 수학 B형 21번, 2016학년도 수능 수학 B형 29번

여기서 다루는 문제는 적분으로 표현되는 함수에 대한 적분문제이다. 

2014학년도 수능 수학 B형 21번 

연속함수 \(y=f(x)\)의 그래프가 원점에 대하여 대칭이고 모든 실수 \(x\)에 대하여$$f(x)=\frac{\pi}{2}\int_{1}^{x+1}{f(t)dt}$$이다. \(f(1)=1\)일 때,$$\pi^{2}\int_{0}^{1}{xf(x+1)dx}$$의 값은? [4점]

풀이: \(\displaystyle f'(x)=\frac{\pi}{2}f(x+1)\)이므로 \(\displaystyle f(x+1)=\frac{2}{\pi}f'(x)\)이고 부분적분법으로부터$$\begin{align*}\pi^{2}\int_{0}^{1}{xf(x+1)dx}&=2\pi\int_{0}^{1}{xf'(x)dx}\\&=2\pi[xf(x)]_{0}^{1}-2\pi\int_{0}^{1}{f(x)dx}\\&=2\pi-2\pi\int_{0}^{1}{f(x)dx}\end{align*}$$이고 \(f(x)\)는 원점에 대해 대칭이므로$$1=f(1)=-f(-1)=-\frac{\pi}{2}\int_{1}^{0}{f(x)dx}=\frac{\pi}{2}\int_{0}^{1}{f(x)dx}$$이고$$\int_{0}^{1}{f(x)dx}=\frac{2}{\pi}$$이다. 따라서$$\pi^{2}\int_{0}^{1}{xf(x+1)dx}=2\pi-2\pi\cdot\frac{2}{\pi}=2\pi-4$$이다. 

2016학년도 수능 수학 B형 29번 

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 \(f(x)\)가 다음 조건을 만족시킨다. 

(가) \(x\leq b\)일 때, \(f(x)=a(x-b)^{2}+c\)이다. (단, \(a,\,b,\,c\)는 상수이다.) (나) 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(\displaystyle f(x)=\int_{0}^{x}{\sqrt{4-2f(t)}dt}\)이다.

    

\(\displaystyle\int_{0}^{6}{f(x)dx}=\frac{q}{p}\)일 때, \(p+q\)의 값을 구하시오. 

(단, \(p\)와 \(q\)는 서로소인 자연수이다.) [4점] 

풀이: 조건 (가)에 의해 \(x\leq b\)일 때 \(f'(x)=2a(x-b)\)이고$$2a(x-b)=\sqrt{4-2a(x-b)^{2}-2c}$$이므로 \(c=2\)이고 조건 (나)에 의해 \(f(0)=0\)이므로 \(a<0,\,b>0\)이어야 한다. 그러면 \(x\leq b\)일 때 \(|x-b|=-(x-b)\)이므로$$2a(x-b)=-\sqrt{-2a}(x-b)$$이고 \(2a=-\sqrt{-2a}\)이며 \(a<0\)이므로 \(\displaystyle a=-\frac{1}{2}\)이다.  

그러면 \(x\leq b\)일 때 \(\displaystyle f(x)=-\frac{1}{2}(x-b)^{2}+2\)이고 \(b>0\)이므로$$f(0)=-\frac{1}{2}b^{2}+2=0$$이고 \(b=2\)이다. 

조건 (나)에서 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(\displaystyle f(x)=\int_{0}^{x}{\sqrt{4-2f(t)}dt}\)이므로 \(f'(x)=\sqrt{4-2f(x)}\geq0\)이고, \(f(2)=2\), \(f(x)\)는 연속함수이므로 \(x>2\)에서는 \(f(x)=2\)여야 한다. 그러면$$f(x)=\begin{cases}\displaystyle-\frac{1}{2}x^{2}+2x&\,(x\leq2)\\2&\,(x>2)\end{cases}$$이고$$\begin{align*}\int_{0}^{6}{f(x)dx}&=\int_{0}^{2}{\left(-\frac{1}{2}x^{2}+2x\right)dx}+\int_{2}^{6}{2dx}\\&=\left[-\frac{1}{6}x^{3}+2x\right]_{0}^{2}+2\cdot(6-2)\\&=\left(-\frac{4}{3}+4\right)+2\cdot4\\&=\frac{32}{3}\end{align*}$$이므로 따라서 \(\displaystyle\int_{0}^{6}{f(x)dx}=\frac{32}{3}\)이고 \(p+q=35\)이다.