[함수의극한] 2009학년도 수능 수리 가형 미분과적분 30번, 2013학년도 수능 수리 가형 29번

[함수의극한] 2009학년도 수능 수리 가형 미분과적분 30번, 2013학년도 수능 수리 가형 29번

여기서 다룰 문제들은 삼각함수의 극한 문제로 극한식 \(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,0}{\frac{\sin x}{x}}=1\)을 이용하여 구하는 문제지만 사인법칙을 알아야 풀 수 있는 문제이다. 

사인법칙은 반지름이 \(R\)인 원에 내접하는 삼각형 \(\text{ABC}\)에 대해 각 \(\angle\text{A},\,\angle\text{B},\,\angle\text{C}\)의 대변을 각각 \(a,\,b,\,c\)라 하면 다음이 성립한다.$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$$2009학년도 수능 수리 가형 미분과적분 30번

반지름의 길이가 1인 원 \(\text{O}\) 위에 점 \(\text{A}\)가 있다. 그림과 같이 양수 \(\theta\)에 대하여 원 \(\text{O}\) 위의 두 점 \(\text{B}\), \(\text{C}\)를 \(\angle\text{BAC}=\theta\)이고 \(\overline{\text{AB}}=\overline{\text{AC}}\)가 되도록 잡는다. 삼각형 \(\text{ABC}\)의 내접원의 반지름의 길이를 \(r(\theta)\)라 할 때, \(\displaystyle\lim_{\theta\,\rightarrow\,\pi-}{\frac{r(\theta)}{(\pi-\theta)^{2}}}=\frac{q}{p}\)이다. \(p^{2}+q^{2}\)의 값을 구하시오. (단, \(p,\,q\)는 서로소인 자연수이다.) [4점]

풀이: 삼각형 \(\text{ABC}\)의 외접원의 반지름이 1이므로 사인법칙에 의해 \(\displaystyle\frac{\overline{\text{BC}}}{\sin\theta}=2\)이고 \(\overline{\text{BC}}=2\sin\theta\)이다. 또한 \(\overline{\text{AB}}=\overline{\text{AC}}\)이므로 \(\displaystyle\angle\text{ABC}=\frac{\pi}{2}-\frac{\theta}{2}=\angle\text{ACB}\)이고, \(\displaystyle\frac{1}{2}\overline{\text{BC}}=\sin\theta\)이므로$$\frac{r(\theta)}{\sin\theta}=\tan\frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\theta}{2}\right)$$이고 \(\displaystyle r(\theta)=\sin\theta\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\theta}{4}\right)\)이다. 

\(t=\pi-\theta\)라 하면$$\begin{align*}r(\theta)&=\sin\theta\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\theta}{4}\right)\\&=\sin(\pi-t)\tan\frac{t}{4}\\&=\sin t\tan\frac{t}{4}\end{align*}$$이고 \(\theta\,\rightarrow\,\pi-\)일 때 \(t\,\rightarrow\,0+\)이므로$$\lim_{\theta\,\rightarrow\,\pi-}{\frac{r(\theta)}{(\pi-\theta)^{2}}}=\lim_{t\,\rightarrow\,0+}{\frac{\sin t}{t}\frac{\displaystyle\tan\frac{t}{4}}{t}}=\frac{1}{4}$$이므로 따라서 \(p^{2}+q^{2}=1+16=17\)이다. 

2013학년도 수능 수리 가형 29번  

삼각형 \(\text{ABC}\)에서 \(\overline{\text{AB}}=1\)이고 \(\angle\text{A}=\theta\), \(\angle\text{B}=2\theta\)이다. 변 \(\text{AB}\)위의 점 \(\text{D}\)를 \(\angle\text{ACD}=2\angle\text{BCD}\)가 되도록 잡는다. 

\(\displaystyle\lim_{\theta\,\rightarrow\,0+}{\frac{\overline{\text{CD}}}{\theta}}=a\)일 때, \(27a^{2}\)의 값을 구하시오. (단, \(\displaystyle0<\theta<\frac{\pi}{4}\)이다.) [4점]

풀이: \(\angle\text{C}=\pi-3\theta\), \(\overline{\text{AB}}=1\)이므로 사인법칙에 의해 \(\displaystyle\frac{1}{\sin(\pi-3\theta)}=\frac{\overline{\text{AC}}}{\sin2\theta}\)이고 \(\displaystyle\overline{\text{AC}}=\frac{\sin2\theta}{\sin3\theta}\)이다. 

\(\angle\text{ACD}=2\angle\text{BCD}\)이므로 \(\displaystyle\angle\text{ACD}=\frac{2}{3}\pi-2\theta\)이고 \(\displaystyle\angle\text{ADC}=\theta+\frac{\pi}{3}\)이다. 사인법칙에 의해 \(\displaystyle\frac{\overline{\text{AC}}}{\displaystyle\sin\left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)}=\frac{\overline{\text{CD}}}{\sin\theta}\)이므로$$\overline{\text{CD}}=\frac{\sin\theta}{\displaystyle\sin\left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)}\frac{\sin2\theta}{\sin3\theta}$$이고$$\lim_{\theta\,\rightarrow\,0+}{\frac{\overline{\text{CD}}}{\theta}}=\frac{2}{\sqrt{3}}\cdot\frac{2}{3}=\frac{4}{3\sqrt{3}}=a$$이므로 따라서 \(27a^{2}=16\)이다.