[함수의극한] 2009학년도 수능 수리 가형 미분과적분 30번, 2013학년도 수능 수리 가형 29번

[함수의극한] 2009학년도 수능 수리 가형 미분과적분 30번, 2013학년도 수능 수리 가형 29번

여기서 다룰 문제들은 삼각함수의 극한 문제로 극한식 $\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,0}{\frac{\sin x}{x}}=1$을 이용하여 구하는 문제지만 사인법칙을 알아야 풀 수 있는 문제이다. 

사인법칙은 반지름이 $R$인 원에 내접하는 삼각형 $\text{ABC}$에 대해 각 $\angle\text{A},\,\angle\text{B},\,\angle\text{C}$의 대변을 각각 $a,\,b,\,c$라 하면 다음이 성립한다. $$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$$ 2009학년도 수능 수리 가형 미분과적분 30번

반지름의 길이가 1인 원 $\text{O}$ 위에 점 $\text{A}$가 있다. 그림과 같이 양수 $\theta$에 대하여 원 $\text{O}$ 위의 두 점 $\text{B}$, $\text{C}$를 $\angle\text{BAC}=\theta$이고 $\overline{\text{AB}}=\overline{\text{AC}}$가 되도록 잡는다. 삼각형 $\text{ABC}$의 내접원의 반지름의 길이를 $r(\theta)$라 할 때, $\displaystyle\lim_{\theta\,\rightarrow\,\pi-}{\frac{r(\theta)}{(\pi-\theta)^{2}}}=\frac{q}{p}$이다. $p^{2}+q^{2}$의 값을 구하시오. (단, $p,\,q$는 서로소인 자연수이다.) [4점]

풀이: 삼각형 $\text{ABC}$의 외접원의 반지름이 1이므로 사인법칙에 의해 $\displaystyle\frac{\overline{\text{BC}}}{\sin\theta}=2$이고 $\overline{\text{BC}}=2\sin\theta$이다. 또한 $\overline{\text{AB}}=\overline{\text{AC}}$이므로 $\displaystyle\angle\text{ABC}=\frac{\pi}{2}-\frac{\theta}{2}=\angle\text{ACB}$이고, $\displaystyle\frac{1}{2}\overline{\text{BC}}=\sin\theta$이므로 $$\frac{r(\theta)}{\sin\theta}=\tan\frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\theta}{2}\right)$$ 이고 $\displaystyle r(\theta)=\sin\theta\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\theta}{4}\right)$이다. 

$t=\pi-\theta$라 하면 $$\begin{align*}r(\theta)&=\sin\theta\tan\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\theta}{4}\right)\\&=\sin(\pi-t)\tan\frac{t}{4}\\&=\sin t\tan\frac{t}{4}\end{align*}$$ 이고 $\theta\,\rightarrow\,\pi-$일 때 $t\,\rightarrow\,0+$이므로 $$\lim_{\theta\,\rightarrow\,\pi-}{\frac{r(\theta)}{(\pi-\theta)^{2}}}=\lim_{t\,\rightarrow\,0+}{\frac{\sin t}{t}\frac{\displaystyle\tan\frac{t}{4}}{t}}=\frac{1}{4}$$ 이므로 따라서 $p^{2}+q^{2}=1+16=17$이다. 

2013학년도 수능 수리 가형 29번  

삼각형 $\text{ABC}$에서 $\overline{\text{AB}}=1$이고 $\angle\text{A}=\theta$, $\angle\text{B}=2\theta$이다. 변 $\text{AB}$위의 점 $\text{D}$를 $\angle\text{ACD}=2\angle\text{BCD}$가 되도록 잡는다. 

$\displaystyle\lim_{\theta\,\rightarrow\,0+}{\frac{\overline{\text{CD}}}{\theta}}=a$일 때, $27a^{2}$의 값을 구하시오. (단, $\displaystyle0<\theta<\frac{\pi}{4}$이다.) [4점]

풀이: $\angle\text{C}=\pi-3\theta$, $\overline{\text{AB}}=1$이므로 사인법칙에 의해 $\displaystyle\frac{1}{\sin(\pi-3\theta)}=\frac{\overline{\text{AC}}}{\sin2\theta}$이고 $\displaystyle\overline{\text{AC}}=\frac{\sin2\theta}{\sin3\theta}$이다. 

$\angle\text{ACD}=2\angle\text{BCD}$이므로 $\displaystyle\angle\text{ACD}=\frac{2}{3}\pi-2\theta$이고 $\displaystyle\angle\text{ADC}=\theta+\frac{\pi}{3}$이다. 사인법칙에 의해 $\displaystyle\frac{\overline{\text{AC}}}{\displaystyle\sin\left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)}=\frac{\overline{\text{CD}}}{\sin\theta}$이므로 $$\overline{\text{CD}}=\frac{\sin\theta}{\displaystyle\sin\left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)}\frac{\sin2\theta}{\sin3\theta}$$ 이고 $$\lim_{\theta\,\rightarrow\,0+}{\frac{\overline{\text{CD}}}{\theta}}=\frac{2}{\sqrt{3}}\cdot\frac{2}{3}=\frac{4}{3\sqrt{3}}=a$$ 이므로 따라서 $27a^{2}=16$이다.