[공간도형] 2009학년도 수능 수리 가형 24번, 2012학년도 수능 수리 가형 29번

[공간도형] 2009학년도 수능 수리 가형 24번, 2012학년도 수능 수리 가형 29번

넓이가 $S$인 도형이 한 평면과 이루는 각이 $\theta$일 때 그 도형의 이 평면으로의 정사영의 넓이는 $S'=S\cos\theta$이다.

2009학년도 수능 수리 가형 24번

그림과 같이 반지름의 길이가 모두 $\sqrt{3}$이고 높이가 서로 다른 세 원기둥이 서로 외접하며 한 평면 $\alpha$ 위에 놓여 있다. 평면 $\alpha$와 만나지 않는 세 원기둥의 밑면의 중심을 각각 $\text{P},\,\text{Q},\,\text{R}$라 할 때, 삼각형 $\text{QPR}$은 이등변삼각형이고, 평면 $\text{QPR}$와 평면 $\alpha$가 이루는 각의 크기는 $60^{\circ}$이다. 세 원기둥의 높이를 각각 $8,\,a,\,b$라 할 때, $a+b$의 값을 구하시오. (단, $8<a<b$) [4점]

풀이: 세 원기둥의 높이가 순서대로 $8,\,a,\,b$이고 원기둥 밑면의 반지름이 $\sqrt{3}$이므로 $$\begin{align*}\overline{\text{PQ}}&=\sqrt{(2\sqrt{3})^{2}+(a-8)^{2}}=\sqrt{12+(a-8)^{2}}\\ \overline{\text{QR}}&=\sqrt{(2\sqrt{3})^{2}+(b-a)^{2}}=\sqrt{12+(b-a)^{2}}\\ \overline{\text{PR}}&=\sqrt{(2\sqrt{2})^{2}+(b-8)^{2}}=\sqrt{12+(b-8)^{2}}\end{align*}$$ 이고 원기둥 높이의 간격이 $$b-8>a-8,\,b-8>b-a$$ 이며 삼각형 $\text{QPR}$은 이등변삼각형이므로 $\overline{\text{QP}}=\overline{\text{QR}}$이어야 한다. 그러면 $$\sqrt{12+(a-8)^{2}}=\sqrt{12+(b-a)^{2}}$$ 이고 $8<a<b$이므로 $b=2a-8$이고 $\overline{\text{PR}}=2\sqrt{3+(a-8)^{2}}$이다.

점 $\text{P},\,\text{Q},\,\text{R}$의 평면 $\alpha$위로의 정사영을 각각 $\text{P}',\,\text{Q}',\,\text{R}'$이라 하자. 그러면 삼각형 $\text{P}'\text{Q}'\text{R}'$은 한 변의 길이가 $2\sqrt{3}$인 정삼각형이고 그 넓이는 $\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4}(2\sqrt{3})^{2}=3\sqrt{3}$이며, 평면 $\text{QPR}$과 평면 $\alpha$가 이루는 각이 $60^{\circ}$이므로 삼각형 $\text{QPR}$의 넓이는 $\displaystyle\frac{3\sqrt{3}}{\cos60^{\circ}}=6\sqrt{3}$이다.

삼각형 $\text{QPR}$의 넓이는 $$\begin{align*}\frac{1}{2}\cdot(2\sqrt{3+(a-8)^{2}})\cdot3&=3\sqrt{3+(a-8)^{2}}\\&=6\sqrt{3}\end{align*}$$ 이므로 $$\sqrt{3+(a-8)^{2}}=2\sqrt{3}$$ 이고 $(a-8)^{2}=9$인데 $a>8$이므로 $a=11$이다. 그러면 $b=2a-8=22-8=14$이고 따라서 $a+b=11+14=25$이다.   

2012학년도 수능 수리 가형 29번

그림과 같이 밑면의 반지름의 길이가 7인 원기둥의 밑면의 반지름의 길이가 5이고 높이가 12인 원뿔이 평면 $\alpha$ 위에 놓여 있고, 원뿔의 밑면의 둘레가 원기둥의 밑면의 둘레에 내접한다. 평면 $\alpha$와 만나는 원기둥의 밑면의 중심을 $\text{O}$, 원뿔의 꼭짓점을 $\text{A}$라 하자. 중심이 $\text{B}$이고 반지름의 길이가 4인 구 $S$가 다음 조건을 만족시킨다. 

(가) 구 $S$는 원기둥과 원뿔에 모두 접한다. (나) 두 점 $\text{A},\,\text{B}$의 평면 $\alpha$ 위로의 정사영이 각각 $\text{A}',\,\text{B}'$일 때, $\angle\text{A}'\text{O}\text{B}'=180^{\circ}$이다.

        

직선 $\text{AB}$와 평면 $\alpha$가 이루는 예각의 크기를 $\theta$라 할 때, $\tan\theta=p$이다. $100p$의 값을 구하시오. (단, 원뿔의 밑면의 중심과 점 $\text{A}'$은 일치한다.) [4점]

풀이: 점 $\text{B}$의 평면 $\alpha$위로의 정사영은 원뿔의 밑면에 있고, $\angle\text{A}'\text{O}\text{B}'=180^{\circ}$이다. 그러면 점 $\text{B}'$와 $\text{O}$, $\text{A}'$는 한 직선 위에 있다.

위 그림에서 $\overline{\text{A}'\text{B}'}=5$, $\overline{\text{AB}'}=\sqrt{5^{2}+12^{2}}=13$이므로 $\text{BB}'=h$라고 하면 $$\cos\beta=\frac{5}{13}=\frac{4}{h}$$ 이므로 $\displaystyle h=\frac{52}{5}$이고 $$\overline{\text{AA}'}-\overline{\text{BB}'}=12-\frac{52}{5}=\frac{8}{5}$$ 이므로 $$p=\tan\theta=\frac{\overline{\text{AA}'}-\overline{\text{BB}'}}{\overline{\text{A}'\text{B}'}}=\frac{8}{25}$$ 이고 따라서 $\displaystyle100p=100\cdot\frac{8}{25}=32$이다.