[공간도형] 2009학년도 수능 수리 가형 24번, 2012학년도 수능 수리 가형 29번

[공간도형] 2009학년도 수능 수리 가형 24번, 2012학년도 수능 수리 가형 29번

넓이가 \(S\)인 도형이 한 평면과 이루는 각이 \(\theta\)일 때 그 도형의 이 평면으로의 정사영의 넓이는 \(S'=S\cos\theta\)이다.

2009학년도 수능 수리 가형 24번

그림과 같이 반지름의 길이가 모두 \(\sqrt{3}\)이고 높이가 서로 다른 세 원기둥이 서로 외접하며 한 평면 \(\alpha\) 위에 놓여 있다. 평면 \(\alpha\)와 만나지 않는 세 원기둥의 밑면의 중심을 각각 \(\text{P},\,\text{Q},\,\text{R}\)라 할 때, 삼각형 \(\text{QPR}\)은 이등변삼각형이고, 평면 \(\text{QPR}\)와 평면 \(\alpha\)가 이루는 각의 크기는 \(60^{\circ}\)이다. 세 원기둥의 높이를 각각 \(8,\,a,\,b\)라 할 때, \(a+b\)의 값을 구하시오. (단, \(8<a<b\)) [4점]

풀이: 세 원기둥의 높이가 순서대로 \(8,\,a,\,b\)이고 원기둥 밑면의 반지름이 \(\sqrt{3}\)이므로$$\begin{align*}\overline{\text{PQ}}&=\sqrt{(2\sqrt{3})^{2}+(a-8)^{2}}=\sqrt{12+(a-8)^{2}}\\ \overline{\text{QR}}&=\sqrt{(2\sqrt{3})^{2}+(b-a)^{2}}=\sqrt{12+(b-a)^{2}}\\ \overline{\text{PR}}&=\sqrt{(2\sqrt{2})^{2}+(b-8)^{2}}=\sqrt{12+(b-8)^{2}}\end{align*}$$이고 원기둥 높이의 간격이$$b-8>a-8,\,b-8>b-a$$이며 삼각형 \(\text{QPR}\)은 이등변삼각형이므로 \(\overline{\text{QP}}=\overline{\text{QR}}\)이어야 한다. 그러면$$\sqrt{12+(a-8)^{2}}=\sqrt{12+(b-a)^{2}}$$이고 \(8<a<b\)이므로 \(b=2a-8\)이고 \(\overline{\text{PR}}=2\sqrt{3+(a-8)^{2}}\)이다.

점 \(\text{P},\,\text{Q},\,\text{R}\)의 평면 \(\alpha\)위로의 정사영을 각각 \(\text{P}',\,\text{Q}',\,\text{R}'\)이라 하자. 그러면 삼각형 \(\text{P}'\text{Q}'\text{R}'\)은 한 변의 길이가 \(2\sqrt{3}\)인 정삼각형이고 그 넓이는 \(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4}(2\sqrt{3})^{2}=3\sqrt{3}\)이며, 평면 \(\text{QPR}\)과 평면 \(\alpha\)가 이루는 각이 \(60^{\circ}\)이므로 삼각형 \(\text{QPR}\)의 넓이는 \(\displaystyle\frac{3\sqrt{3}}{\cos60^{\circ}}=6\sqrt{3}\)이다.

삼각형 \(\text{QPR}\)의 넓이는$$\begin{align*}\frac{1}{2}\cdot(2\sqrt{3+(a-8)^{2}})\cdot3&=3\sqrt{3+(a-8)^{2}}\\&=6\sqrt{3}\end{align*}$$이므로$$\sqrt{3+(a-8)^{2}}=2\sqrt{3}$$이고 \((a-8)^{2}=9\)인데 \(a>8\)이므로 \(a=11\)이다. 그러면 \(b=2a-8=22-8=14\)이고 따라서 \(a+b=11+14=25\)이다.   

2012학년도 수능 수리 가형 29번

그림과 같이 밑면의 반지름의 길이가 7인 원기둥의 밑면의 반지름의 길이가 5이고 높이가 12인 원뿔이 평면 \(\alpha\) 위에 놓여 있고, 원뿔의 밑면의 둘레가 원기둥의 밑면의 둘레에 내접한다. 평면 \(\alpha\)와 만나는 원기둥의 밑면의 중심을 \(\text{O}\), 원뿔의 꼭짓점을 \(\text{A}\)라 하자. 중심이 \(\text{B}\)이고 반지름의 길이가 4인 구 \(S\)가 다음 조건을 만족시킨다. 

(가) 구 \(S\)는 원기둥과 원뿔에 모두 접한다. (나) 두 점 \(\text{A},\,\text{B}\)의 평면 \(\alpha\) 위로의 정사영이 각각 \(\text{A}',\,\text{B}'\)일 때, \(\angle\text{A}'\text{O}\text{B}'=180^{\circ}\)이다.

        

직선 \(\text{AB}\)와 평면 \(\alpha\)가 이루는 예각의 크기를 \(\theta\)라 할 때, \(\tan\theta=p\)이다. \(100p\)의 값을 구하시오. (단, 원뿔의 밑면의 중심과 점 \(\text{A}'\)은 일치한다.) [4점]

풀이: 점 \(\text{B}\)의 평면 \(\alpha\)위로의 정사영은 원뿔의 밑면에 있고, \(\angle\text{A}'\text{O}\text{B}'=180^{\circ}\)이다. 그러면 점 \(\text{B}'\)와 \(\text{O}\), \(\text{A}'\)는 한 직선 위에 있다.

위 그림에서 \(\overline{\text{A}'\text{B}'}=5\), \(\overline{\text{AB}'}=\sqrt{5^{2}+12^{2}}=13\)이므로 \(\text{BB}'=h\)라고 하면$$\cos\beta=\frac{5}{13}=\frac{4}{h}$$이므로 \(\displaystyle h=\frac{52}{5}\)이고$$\overline{\text{AA}'}-\overline{\text{BB}'}=12-\frac{52}{5}=\frac{8}{5}$$이므로$$p=\tan\theta=\frac{\overline{\text{AA}'}-\overline{\text{BB}'}}{\overline{\text{A}'\text{B}'}}=\frac{8}{25}$$이고 따라서 \(\displaystyle100p=100\cdot\frac{8}{25}=32\)이다.