[순열과 조합] 2011학년도 9월 수능모의평가 공통 7번, 2012학년도 6월 수능모의평가 공통 15번

[순열과 조합] 2011학년도 9월 수능모의평가 공통 7번, 2012학년도 6월 수능모의평가 공통 15번

여기서 다루는 문제는 간단하고도 복잡한 순열 및 조합문제이다.

2011학년도 9월 모의평가 공통 7번

그림과 같이 경계가 구분된 6개 지역의 인구조사를 조사원 5명이 담당하려고 한다. 5명 중에서 1명은 서로 이웃한 2개 지역을, 나머지 4명은 남은 4개 지역을 각각 1개씩 담당한다. 이 조사원 5명의 담당 지역을 정하는 경우의 수는? (단, 경계가 일부라도 닿은 두 지역은 서로 이웃한 지역으로 본다.) [3점]

풀이: 다음과 같이 지역에 번호를 정하자.

이웃한 두 지역은 다음과 같이 10개이고$$\begin{align*}(1,\,2),\,(1,\,3),\,(2,\,3),\,(2,\,4),\,(3,\,4)\\(4,\,6),\,(5,\,1),\,(5,\,3),\,(6,\,3),\,(6,\,5)\end{align*}$$서로 이웃한 2개 지역을 조사하는 사람을 결정하는 경우의 수는 \(_{5}C_{1}=5\), 나머지 4명이 4개 지역을 담당하는 경우의 수는 \(4!=24\)이므로 따라서 조사원 5명이 담당 지역을 정하는 경우의 수는 \(10\times5\times24=1200\)이다. 

2012학년도 6월 모의평가 공통 15번  

그림과 같이 서로 접하고 크기가 같은 원 3개와 이 세 원의 중심을 꼭짓점으로 하는 정삼각형이 있다. 원의 내부 또는 정삼각형의 내부에 만들어지는 7개의 영역에 서로 다른 7가지 색을 모두 사용하여 칠하려고 한다. 한 영역에 한 가지 색만을 칠할 때, 색칠한 결과로 나올 수 있는 경우의 수는?

(단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.) [4점]

풀이: 7개 영역에 서로 다른 7가지 색을 칠하는 경우의 수는 \(7!\)이고 회전시켜서 3가지의 같은 경우가 발생하므로 따라서 색칠한 결과로 나올 수 있는 경우의 수는$$\frac{7!}{3}=7\times6\times5\times4\times2\times1=42\times40=1680$$이다.