[벡터] 2011학년도 9월 수능모의평가 수리 가형 14번, 2013학년도 수능 수리 가형 26번

[벡터] 2011학년도 9월 수능모의평가 수리 가형 14번, 2013학년도 수능 수리 가형 26번

여기서 다룰 문제는 벡터를 분해하는 등의 다양한 방법으로 풀어야 하는 문제이다. 

2011학년도 9월 모의평가 수리 가형 14번 

평면에서 그림과 같이 $\overline{\text{AB}}=1$이고 $\overline{\text{BC}}=\sqrt{3}$인 직사각형 $\text{ABCD}$와 정삼각형 $\text{EAD}$가 있다. 점 $\text{P}$가 선분 $\text{AE}$ 위를 움직일 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [4점]

ㄱ. $|\overrightarrow{\text{CB}}-\overrightarrow{\text{CP}}|$의 최솟값은 1이다.  ㄴ. $\overrightarrow{\text{CB}}\cdot\overrightarrow{\text{CP}}$의 값은 일정하다.  ㄷ. $|\overrightarrow{\text{DA}}+\overrightarrow{\text{CP}}|$의 최솟값은 $\displaystyle\frac{7}{2}$이다.

    

풀이: 

ㄱ: $$|\overrightarrow{\text{CB}}-\overrightarrow{\text{CP}}|=|\overrightarrow{\text{PC}}+\overrightarrow{\text{CB}}|=|\overrightarrow{\text{PB}}|=|\overrightarrow{\text{BP}}|$$ 이고 점 $\text{P}$가 $\text{A}$위에 있을 때 최솟값을 갖는다, 이때 $\overline{\text{AB}}=1$이므로 $|\overrightarrow{\text{CB}}-\overrightarrow{\text{CP}}|\geq1$이다. 

ㄴ: $\displaystyle\tan(\angle\text{ACB})=\frac{\overline{\text{AB}}}{\text{BC}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$이므로 $\displaystyle\angle\text{ACB}=\frac{\pi}{6}$이고 $\displaystyle\angle\text{CAD}=\frac{\pi}{6}$이며 $\displaystyle\angle\text{EAD}=\frac{\pi}{3}$이므로 $$\angle\text{EAC}=\angle\text{EAD}+\angle\text{DAC}=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}$$ 이고 따라서 $\overrightarrow{\text{CA}}$와 $\overrightarrow{\text{AE}}$는 수직이다. 그러면 $$\overrightarrow{\text{CB}}\cdot\overrightarrow{\text{CP}}=|\overrightarrow{\text{CA}}|^{2}=4$$ 이고 따라서 $\overrightarrow{\text{CB}}\cdot\overrightarrow{\text{CP}}$의 값은 4로 일정하다.   

ㄷ:

위의 그림은 도형 $\text{ABCDE}$와 같은 도형을 왼쪽에 붙인 것이다. 선분 $\text{A'E'}$의 중점을 $\text{M}$이라 하자. $$\angle\text{A'AM}=\angle\text{BCA}=\frac{\pi}{6}$$ 이므로 점 $\text{M, A, C}$는 한 직선 위에 있다. $\overrightarrow{\text{DA}}=\overrightarrow{\text{CB}}$, $\overrightarrow{\text{CP}}=\overrightarrow{\text{BP'}}$이므로 $$|\overrightarrow{\text{DA}}+\overrightarrow{\text{CP}}|=|\overrightarrow{\text{CB}}+\overrightarrow{\text{BP'}}|=|\overrightarrow{\text{CP'}}|$$ 이고 점 $\text{P}'$이 $\text{M}$위에 있을 때 최솟값을 갖는다. 이때 $\overline{\text{CA}}=2$, $\displaystyle\overline{\text{AM}}=\frac{3}{2}$이므로 $\displaystyle|\overrightarrow{\text{DA}}+\overrightarrow{\text{CP}}|\geq\frac{7}{2}$이다. 

ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다.    

2013학년도 수능 수리 가형 26번 

한 변의 길이가 2인 정삼각형 $\text{ABC}$의 꼭짓점 $\text{A}$에서 변 $\text{BC}$에 내린 수선의 발을 $\text{H}$라 하자. 점 $\text{P}$가 선분 $\text{AH}$위를 움직일 때, $|\overrightarrow{\text{PA}}\cdot\overrightarrow{\text{PB}}|$의 최댓값은 $\displaystyle\frac{q}{p}$이다. 

$p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) [4점]

풀이:

$\overrightarrow{\text{PB}}=\overrightarrow{\text{PH}}+\overrightarrow{\text{HB}}$이고 점 $\text{P}$는 선분 $\text{AH}$위에 있으므로 $\overrightarrow{\text{PA}}$와 $\overrightarrow{\text{HB}}$는 수직, 즉 $\overrightarrow{\text{PA}}\cdot\overrightarrow{\text{HB}}=0$이고 $|\overrightarrow{\text{PA}}|=x$라 하면 $\overline{\text{AH}}=\sqrt{3}$이므로 $|\overrightarrow{\text{PH}}|=\sqrt{3}-x$이다. 그러면 $$\begin{align*}|\overrightarrow{\text{PA}}\cdot\overrightarrow{\text{PB}}|&=|\overrightarrow{\text{PA}}\cdot\overrightarrow{\text{PH}}|\\&=|x(\sqrt{3}-x)|\\&=\left|\left(x-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}-\frac{3}{4}\right|\,(0<x<\sqrt{3})\end{align*}$$ 이므로 $|\overrightarrow{\text{PA}}\cdot\overrightarrow{\text{PB}}|$의 최댓값은 $\displaystyle\frac{3}{4}$이고 따라서 $p+q=7$이다.