[미적분] 2010학년도 수능 수리 가형 21번, 2014학년도 6월 수능모의평가 수학 B형 18번
함수 f(x)가 닫힌구간 [a,b]을 포함하는 열린구간에서 연속이라고 하자. 함수 f(x)의 구간 [a,b]에서의 정적분은 다음과 같이 무한급수로 나타낼 수 있다.∫baf(x)dx=limn→∞n∑k=1f(xk)Δx(Δx=b−an,xk=a+b−ank)2010학년도 수능 수리 가형 21번
함수 f(x)=x2+ax+b(a≥0,b>0)가 있다. 그림과 같이 2 이상인 자연수 n에 대하여 닫힌구간 [0,1]을 n등분한 각 분점(양 끝점도 포함)을 차례로0=x0,x1,x2,...,xn−1,xn=1이라 하자. 닫힌구간 [xk−1,xk]를 밑변으로 하고 높이가 f(xk)인 직사각형의 넓이를 Ak라 하자. (k=1,2,...,n)
양 끝에 있는 두 직사각형의 넓이의 합이A1+An=7n2+1n3일 때, limn→∞n∑k=18knAk의 값을 구하시오. [4점]
풀이: 닫힌구간 [0,1]의 k번째 분점은 xk=kn이고A1=(x1−x0)f(x1)=1n(1n2+an+b)=bn2+an+1n3An=(xn−xn−1)f(xn)=1+a+bn=(1+a+b)n2n3이다. A1+An=7n2+1n3이므로7n2+1n3=A1+An=(1+a+2b)n2+an+1n3이고 위 식으로부터 a=0, b=3이므로 f(x)=x2+3이다.Ak=(xk−xk−1)f(xk)=1nf(kn)이므로limn→∞n∑k=18knAk=8limn→∞n∑k=1knf(kn)1n=8∫10xf(x)dx=8∫10(x3+3x)dx=8[14x4+32x2]10=8(14+32)=14이다.
2014학년도 6월 모의평가 수학 B형 18번
함수 f(x)=ex이 있다. 2 이상인 자연수 n에 대하여 닫힌 구간 [1,2]를 n등분한 각 분점(양 끝점도 포함)을 차례로1=x0,x1,x2,...,xn−1,xn=2라 하자. 세 점 (0,0), (xk,0), (xk,f(xk))를 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이를 Ak(k=1,2,...,n)이라 할 때, limn→∞1nn∑k=1Ak의 값은? [4점]
풀이: 닫힌구간 [1,2]의 k번째 분할점은 xk=kn+1이므로Ak=12xkf(xk)=12(kn+1)ekn+1이고limn→∞1nn∑k=1Ak=12limn→∞n∑k=1(kn+1)ekn+11n=12∫21xexdx=12[xex]21−12∫21exdx=12(2e2−e)−12(e2−e)=12e2이다.
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