[미적분] 2010학년도 수능 수리 가형 21번, 2014학년도 6월 수능모의평가 수학 B형 18번

[미적분] 2010학년도 수능 수리 가형 21번, 2014학년도 6월 수능모의평가 수학 B형 18번

함수 \(f(x)\)가 닫힌구간 \([a,\,b]\)을 포함하는 열린구간에서 연속이라고 하자. 함수 \(f(x)\)의 구간 \([a,\,b]\)에서의 정적분은 다음과 같이 무한급수로 나타낼 수 있다.$$\int_{a}^{b}{f(x)dx}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{k=1}^{n}{f(x_{k})\Delta x}}\,\left(\Delta x=\frac{b-a}{n},\,x_{k}=a+\frac{b-a}{n}k\right)$$2010학년도 수능 수리 가형 21번

함수 \(f(x)=x^{2}+ax+b\,(a\geq0,\,b>0)\)가 있다. 그림과 같이 \(2\) 이상인 자연수 \(n\)에 대하여 닫힌구간 \([0,\,1]\)을 \(n\)등분한 각 분점(양 끝점도 포함)을 차례로$$0=x_{0},\,x_{1},\,x_{2},\,...,\,x_{n-1},\,x_{n}=1$$이라 하자. 닫힌구간 \([x_{k-1},\,x_{k}]\)를 밑변으로 하고 높이가 \(f(x_{k})\)인 직사각형의 넓이를 \(A_{k}\)라 하자. (\(k=1,\,2,\,...,\,n\))

양 끝에 있는 두 직사각형의 넓이의 합이$$A_{1}+A_{n}=\frac{7n^{2}+1}{n^{3}}$$일 때, \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{k=1}^{n}{\frac{8k}{n}A_{k}}}\)의 값을 구하시오. [4점]

풀이: 닫힌구간 \([0,\,1]\)의 \(k\)번째 분점은 \(\displaystyle x_{k}=\frac{k}{n}\)이고$$\begin{align*}A_{1}&=(x_{1}-x_{0})f(x_{1})=\frac{1}{n}\left(\frac{1}{n^{2}}+\frac{a}{n}+b\right)=\frac{bn^{2}+an+1}{n^{3}}\\A_{n}&=(x_{n}-x_{n-1})f(x_{n})=\frac{1+a+b}{n}=\frac{(1+a+b)n^{2}}{n^{3}}\end{align*}$$이다. \(\displaystyle A_{1}+A_{n}=\frac{7n^{2}+1}{n^{3}}\)이므로$$\frac{7n^{2}+1}{n^{3}}=A_{1}+A_{n}=\frac{(1+a+2b)n^{2}+an+1}{n^{3}}$$이고 위 식으로부터 \(a=0\), \(b=3\)이므로 \(f(x)=x^{2}+3\)이다.$$A_{k}=(x_{k}-x_{k-1})f(x_{k})=\frac{1}{n}f\left(\frac{k}{n}\right)$$이므로$$\begin{align*}\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{k=1}^{n}{\frac{8k}{n}A_{k}}}&=8\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{k=1}^{n}{\frac{k}{n}f\left(\frac{k}{n}\right)\frac{1}{n}}}\\&=8\int_{0}^{1}{xf(x)dx}=8\int_{0}^{1}{(x^{3}+3x)dx}\\&=8\left[\frac{1}{4}x^{4}+\frac{3}{2}x^{2}\right]_{0}^{1}=8\left(\frac{1}{4}+\frac{3}{2}\right)\\&=14\end{align*}$$이다. 

2014학년도 6월 모의평가 수학 B형 18번         

함수 \(f(x)=e^{x}\)이 있다. \(2\) 이상인 자연수 \(n\)에 대하여 닫힌 구간 \([1,\,2]\)를 \(n\)등분한 각 분점(양 끝점도 포함)을 차례로$$1=x_{0},\,x_{1},\,x_{2},\,...,\,x_{n-1},\,x_{n}=2$$라 하자. 세 점 \((0,\,0)\), \((x_{k},\,0)\), \((x_{k},\,f(x_{k}))\)를 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이를 \(A_{k}\,(k=1,\,2,\,...,\,n)\)이라 할 때, \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}{A_{k}}}\)의 값은? [4점]

풀이: 닫힌구간 \([1,\,2]\)의 \(k\)번째 분할점은 \(\displaystyle x_{k}=\frac{k}{n}+1\)이므로$$A_{k}=\frac{1}{2}x_{k}f(x_{k})=\frac{1}{2}\left(\frac{k}{n}+1\right)e^{\frac{k}{n}+1}$$이고$$\begin{align*}\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}{A_{k}}}&=\frac{1}{2}\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{\sum_{k=1}^{n}{\left(\frac{k}{n}+1\right)e^{\frac{k}{n}+1}\frac{1}{n}}}\\&=\frac{1}{2}\int_{1}^{2}{xe^{x}dx}=\frac{1}{2}[xe^{x}]_{1}^{2}-\frac{1}{2}\int_{1}^{2}{e^{x}dx}\\&=\frac{1}{2}(2e^{2}-e)-\frac{1}{2}(e^{2}-e)\\&=\frac{1}{2}e^{2}\end{align*}$$이다.