[미적분] 2013학년도 6월 수능모의평가 수리 가형 16번, 2017학년도 6월 수능모의평가 수학 가형 15번

[미적분] 2013학년도 6월 수능모의평가 수리 가형 16번, 2017학년도 6월 수능모의평가 수학 가형 15번

미분가능한 함수 $f(x)$에 대하여 $x=a$에서의 미분계수는 다음과 같다. $$f'(a)=\lim_{x\,\rightarrow\,a}{\frac{f(x)-f(a)}{x-a}}\left(=\lim_{\Delta x\,\rightarrow\,0}{\frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}}\right)$$ 2013학년도 6월 모의평가 수리 가형 16번

양의 실수 전체의 집합에서 증가하는 함수 $f(x)$가 $x=1$에서 미분가능하다. $1$보다 큰 모든 실수 $a$에 대하여 점 $(1,\,f(1))$과 점 $(a,\,f(a))$사이의 거리가 $a^{2}-1$일 때, $f'(1)$의 값은? [4점]

풀이: 점 $(1,\,f(1))$에서 점 $(a,\,f(a))$사이의 거리가 $a^{2}-1$이므로 $$\sqrt{(a-1)^{2}+\{f(x)-f(a)\}^{2}}=a^{2}-1$$ 이고 $$(a-1)^{2}+\{f(a)-f(1)\}^{2}=(a^{2}-1)^{2}=(a-1)^{2}(a+1)^{2}$$ 이므로 $$\{f(a)-f(1)\}^{2}=(a-1)^{2}(a^{2}+2a)$$ 이고 $f(x)$는 증가함수이고 $a>1$이므로 $$f(a)-f(1)=(a-1)\sqrt{a^{2}+2a}$$ 이다. 그러면 $$\frac{f(a)-f(1)}{a-1}=\sqrt{a^{2}+2a}$$ 이고 따라서 $$f'(1)=\lim_{a\,\rightarrow\,1}{\frac{f(a)-f(1)}{a-1}}=\lim_{a\,\rightarrow\,1}{\sqrt{a^{2}+2a}}=\sqrt{3}$$ 이다. 

2017학년도 6월 모의평가 수학 가형 15번    

두 함수 $f(x)=\sin^{2}x$, $g(x)=e^{x}$에 대하여 $\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,\frac{\pi}{4}}{\frac{g(f(x))-\sqrt{e}}{\displaystyle x-\frac{\pi}{4}}}$의 값은? [4점]

풀이: $\displaystyle f\left(\frac{\pi}{4}\right)=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}$이고 $\displaystyle g\left(f\left(\frac{\pi}{4}\right)\right)=g\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{e}$이므로 $$\lim_{x\,\rightarrow\,\frac{\pi}{4}}{\frac{g(f(x))-\sqrt{e}}{\displaystyle x-\frac{\pi}{4}}}=\{g(f(x))\}'_{x=\frac{\pi}{4}}$$ 이고 $$\frac{d}{dx}\{g(f(x))\}=f'(x)g'(f(x))=2\sin x\cos xe^{\sin^{2}x}=\sin2x e^{\sin^{2}x}$$ 이므로 따라서 $$\lim_{x\,\rightarrow\,\frac{\pi}{4}}{\frac{g(f(x))-\sqrt{e}}{\displaystyle x-\frac{\pi}{4}}}=1\cdot e^{\frac{1}{2}}=\sqrt{e}$$ 이다.