[미적분] 2013학년도 6월 수능모의평가 수리 가형 16번, 2017학년도 6월 수능모의평가 수학 가형 15번

[미적분] 2013학년도 6월 수능모의평가 수리 가형 16번, 2017학년도 6월 수능모의평가 수학 가형 15번

미분가능한 함수 \(f(x)\)에 대하여 \(x=a\)에서의 미분계수는 다음과 같다.$$f'(a)=\lim_{x\,\rightarrow\,a}{\frac{f(x)-f(a)}{x-a}}\left(=\lim_{\Delta x\,\rightarrow\,0}{\frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}}\right)$$2013학년도 6월 모의평가 수리 가형 16번

양의 실수 전체의 집합에서 증가하는 함수 \(f(x)\)가 \(x=1\)에서 미분가능하다. \(1\)보다 큰 모든 실수 \(a\)에 대하여 점 \((1,\,f(1))\)과 점 \((a,\,f(a))\)사이의 거리가 \(a^{2}-1\)일 때, \(f'(1)\)의 값은? [4점]

풀이: 점 \((1,\,f(1))\)에서 점 \((a,\,f(a))\)사이의 거리가 \(a^{2}-1\)이므로$$\sqrt{(a-1)^{2}+\{f(x)-f(a)\}^{2}}=a^{2}-1$$이고$$(a-1)^{2}+\{f(a)-f(1)\}^{2}=(a^{2}-1)^{2}=(a-1)^{2}(a+1)^{2}$$이므로$$\{f(a)-f(1)\}^{2}=(a-1)^{2}(a^{2}+2a)$$이고 \(f(x)\)는 증가함수이고 \(a>1\)이므로$$f(a)-f(1)=(a-1)\sqrt{a^{2}+2a}$$이다. 그러면$$\frac{f(a)-f(1)}{a-1}=\sqrt{a^{2}+2a}$$이고 따라서$$f'(1)=\lim_{a\,\rightarrow\,1}{\frac{f(a)-f(1)}{a-1}}=\lim_{a\,\rightarrow\,1}{\sqrt{a^{2}+2a}}=\sqrt{3}$$이다. 

2017학년도 6월 모의평가 수학 가형 15번    

두 함수 \(f(x)=\sin^{2}x\), \(g(x)=e^{x}\)에 대하여 \(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,\frac{\pi}{4}}{\frac{g(f(x))-\sqrt{e}}{\displaystyle x-\frac{\pi}{4}}}\)의 값은? [4점]

풀이: \(\displaystyle f\left(\frac{\pi}{4}\right)=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}\)이고 \(\displaystyle g\left(f\left(\frac{\pi}{4}\right)\right)=g\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{e}\)이므로$$\lim_{x\,\rightarrow\,\frac{\pi}{4}}{\frac{g(f(x))-\sqrt{e}}{\displaystyle x-\frac{\pi}{4}}}=\{g(f(x))\}'_{x=\frac{\pi}{4}}$$이고$$\frac{d}{dx}\{g(f(x))\}=f'(x)g'(f(x))=2\sin x\cos xe^{\sin^{2}x}=\sin2x e^{\sin^{2}x}$$이므로 따라서$$\lim_{x\,\rightarrow\,\frac{\pi}{4}}{\frac{g(f(x))-\sqrt{e}}{\displaystyle x-\frac{\pi}{4}}}=1\cdot e^{\frac{1}{2}}=\sqrt{e}$$이다.