[미적분] 2022학년도 수학 예시문항 미적분 30번, 2022학년도 수능 수학 공통 18번

[미적분] 2022학년도 수학 예시문항 미적분 30번, 2022학년도 수능 수학 공통 18번 

 

 

여기서 다룰 문제는 문제의 조건으로부터 함수의 형태를 추론하는 문제이다. 

 

2022학년도 수학 예시문항 미적분 30번

 

두 양수 $a,\,b(b<1)$에 대하여 함수 $f(x)$를

$$f(x)=\begin{cases}-x^{2}+ax\,&(x\leq0)\\ \displaystyle\frac{\ln(x+b)}{x}\,&(x>0)\end{cases}$$

이라 하자. 양수 $m$에 대하여 직선 $y=mx$와 함수 $y=f(x)$의 그래프가 만나는 서로 다른 점의 개수를 $g(m)$이라 할 때, 함수 $g(m)$은 다음 조건을 만족시킨다.  

$\displaystyle\lim_{m\,\rightarrow\,\alpha-}{g(m)}-\lim_{m\,\rightarrow\,\alpha+}{g(m)}=1$을 만족시키는 양수 $\alpha$가 오직 하나 존재하고, 이 $\alpha$에 대하여 점 $(b,\,f(b))$는 직선 $y=\alpha x$와 곡선 $y=f(x)$의 교점이다.

$\displaystyle ab^{2}=\frac{q}{p}$일 때, $p+q$의 값을 구하시오.

(단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이고, $\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,\infty}{f(x)}=0$이다.) [4점]

 

풀이: $m$이 원점에서 $y=ax-x^{2}$의 접선, 즉 $m=a$이면, $x<0$에서 직선 $y=mx$는 $y=f(x)$의 그래프와 한 점에서 만난다.

$m<a$이면, $x<0$에서 $y=mx$는 $y=f(x)$의 그래프와 만나지 않고, $m>a$이면, $x<0$에서 $y=mx$는 $y=f(x)$의 그래프와 두 점에서 만난다. 

$m$이 원점을 지나는 $\displaystyle y=\frac{\ln(x+b)}{x}$의 접선이면, $x>0$에서 직선 $y=mx$는 $y=f(x)$의 그래프와 한 점에서 만난다.

$m$이 접선의 기울기보다 작으면, $x>0$에서 $y=mx$는 $y=f(x)$의 그래프와 두 점에서 만나고, $m$이 접선의 기울기보다 크면, $x>0$에서 직선 $y=mx$는 $y=f(x)$의 그래프와 만나지 않는다. 

 

문제의 조건에서 $\displaystyle\lim_{m\,\rightarrow\,\alpha-}{g(m)}-\lim_{m\,\rightarrow\,\alpha+}{g(m)}=1$을 만족시키는 양수 $\alpha$가 오직 하나 존재한다고 했고, 그러기 위해서는 $\alpha$가 $y=ax-x^{2}$의 원점에서의 접선의 기울기이며, 또 원점을 지나는 $\displaystyle y=\frac{\ln(x+b)}{x}$의 접선이어야 한다.(아래그림 참고)

 *$x>0$에서 $\displaystyle f(x)=\frac{\ln(x+b)}{x}$이고 $$f'(x)=\frac{\displaystyle\frac{x}{x+b}-\ln(x+b)}{x^{2}}$$ 인데 방정식 $\displaystyle\frac{x}{x+b}=\ln(x+b)$는 하나의 실근을 가지므로 이 방정식의 실근이 $f(x)$의 극대점의 $x$좌표이다.

 

문제에서 점 $(b,\,f(b))$가 $y=\alpha x$와의 교점이라고 했으므로 $m=a=f'(b)$이어야 한다. 그러면 $$\alpha=a=\frac{\displaystyle\frac{1}{2}-\ln 2b}{b^{2}},\,\alpha b=\frac{\ln2b}{b}$$ 를 얻는다. $$\alpha b=\frac{\displaystyle\frac{1}{2}-\ln 2b}{b}=\frac{\ln 2b}{b},\,0<b<1$$ 이므로 $\displaystyle\frac{1}{2}-\ln2b=\ln2b$이고 $\displaystyle\ln2b=\frac{1}{4}$이므로 $\displaystyle b=\frac{1}{2}e^{\frac{1}{4}}$이다. $$a=\frac{\displaystyle\frac{1}{2}-\frac{1}{4}}{\displaystyle\frac{1}{4}e^{\frac{1}{2}}}=e^{-\frac{1}{2}}$$ 이므로 $\displaystyle ab^{2}=\frac{1}{4}$이고 따라서 $p+q=5$이다.   

 

2022학년도 수능 수학 공통 22번

 

최고차항의 계수가 $\displaystyle\frac{1}{2}$인 삼차함수 $f(x)$와 실수 $t$에 대하여 방정식 $f'(x)=0$이 닫힌구간 $[t,\,t+2]$에서 갖는 실근의 개수를 $g(t)$라 할 때, 함수 $g(t)$는 다음 조건을 만족시킨다.

 

(가) 모든 실수 $a$에 대하여 $\displaystyle\lim_{t\,\rightarrow\,a+}{g(t)}+\lim_{t\,\rightarrow\,a-}{g(t)}\leq2$이다. (나) $g(f(1))=g(f(4))=2,\,g(f(0))=1$

$f(5)$의 값을 구하시오. [4점]

 

풀이: 문제에서 최고차항의 계수가 $\displaystyle\frac{1}{2}$이라고 했으므로 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}x^{3}+ax^{2}+bx+c$로 나타낼 수 있고, 조건 (나)에서 $g(f(1))=g(f(4))=2$이므로 $\displaystyle f'(x)=\frac{3}{2}x^{2}+2ax+b$는 서로 다른 두 개의 실근을 갖는다. 

 

$t$값에 따른 $g(t)$의 값을 조사하자.

$t<\alpha-2$이면 $g(t)=0$,

$\alpha-2\leq t<\beta-2$이면 $g(t)=1$,

$\beta-2\leq t\leq\alpha$이면 $g(t)=2$,

$\alpha<t\leq\beta$이면 $g(t)=1$,

$\beta<t$이면 $g(t)=0$이다.

그런데 조건 (가)에 의해 모든 실수에서 $g(t)$의 좌극한과 우극한의 합이 2보다 작으므로 극한값이 2가 되는 실수가 없어야 한다. 그러기 위해서는 $g(t)=2$인 $\beta-2\leq t\leq\alpha$의 범위가 한 점이어야 하고, 이때 $\beta-2=\alpha$이므로 $\beta=\alpha+2$이다.

 또한 조건 (나)에서 $g(f(1))=g(f(4))=2$이고, $t=\alpha$에서만 $g(t)=2$가 되므로 $\alpha=f(1)=f(4)$여야 한다. 이때 $\alpha$는 $f(x)$의 극대점의 $x$좌표이고, $\beta$는 극소점의 $x$좌표이다. $\alpha=f(1)$으로부터 $\alpha=1$이고, $f(x)$의 그래프는 다음과 같다.

$\alpha=1,\,\beta=3$이고, $\displaystyle f'(x)=\frac{3}{2}x^{2}+2ax+b$이므로 근과 계수의 관계에 의해 $$\alpha+\beta=-\frac{4}{3}a,\,\alpha\beta=\frac{2}{3}b$$ 이고 $a=-3$, $\displaystyle b=\frac{9}{2}$이다. 또한 $$f(1)=\frac{1}{2}-3+\frac{9}{2}+c=c+2=1$$ 이므로 $c=-1$이고, $f(0)=-1$이므로 $g(f(0))=g(-1)=1$이 되어 문제의 조건을 만족한다.

그러면 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}x^{3}-3x^{2}+\frac{9}{2}x-1$이고, 따라서 $$\begin{align*}f(5)&=\frac{125}{2}-75+\frac{45}{2}-1\\&=\frac{170}{2}-76=85-76\\&=9\end{align*}$$ 이다.

이 문제는 $\alpha=1$이 된다는 것을 파악해야 하는데 여기서 가장 어려웠을 것이다.