[미적분] 2022학년도 수학 예시문항 미적분 30번, 2022학년도 수능 수학 공통 18번

[미적분] 2022학년도 수학 예시문항 미적분 30번, 2022학년도 수능 수학 공통 18번 

 

 

여기서 다룰 문제는 문제의 조건으로부터 함수의 형태를 추론하는 문제이다. 

 

2022학년도 수학 예시문항 미적분 30번

 

두 양수 \(a,\,b(b<1)\)에 대하여 함수 \(f(x)\)를

$$f(x)=\begin{cases}-x^{2}+ax\,&(x\leq0)\\ \displaystyle\frac{\ln(x+b)}{x}\,&(x>0)\end{cases}$$

이라 하자. 양수 \(m\)에 대하여 직선 \(y=mx\)와 함수 \(y=f(x)\)의 그래프가 만나는 서로 다른 점의 개수를 \(g(m)\)이라 할 때, 함수 \(g(m)\)은 다음 조건을 만족시킨다.  

\(\displaystyle\lim_{m\,\rightarrow\,\alpha-}{g(m)}-\lim_{m\,\rightarrow\,\alpha+}{g(m)}=1\)을 만족시키는 양수 \(\alpha\)가 오직 하나 존재하고, 이 \(\alpha\)에 대하여 점 \((b,\,f(b))\)는 직선 \(y=\alpha x\)와 곡선 \(y=f(x)\)의 교점이다.

\(\displaystyle ab^{2}=\frac{q}{p}\)일 때, \(p+q\)의 값을 구하시오.

(단, \(p\)와 \(q\)는 서로소인 자연수이고, \(\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,\infty}{f(x)}=0\)이다.) [4점]

 

풀이: \(m\)이 원점에서 \(y=ax-x^{2}\)의 접선, 즉 \(m=a\)이면, \(x<0\)에서 직선 \(y=mx\)는 \(y=f(x)\)의 그래프와 한 점에서 만난다.

\(m<a\)이면, \(x<0\)에서 \(y=mx\)는 \(y=f(x)\)의 그래프와 만나지 않고, \(m>a\)이면, \(x<0\)에서 \(y=mx\)는 \(y=f(x)\)의 그래프와 두 점에서 만난다. 

\(m\)이 원점을 지나는 \(\displaystyle y=\frac{\ln(x+b)}{x}\)의 접선이면, \(x>0\)에서 직선 \(y=mx\)는 \(y=f(x)\)의 그래프와 한 점에서 만난다.

\(m\)이 접선의 기울기보다 작으면, \(x>0\)에서 \(y=mx\)는 \(y=f(x)\)의 그래프와 두 점에서 만나고, \(m\)이 접선의 기울기보다 크면, \(x>0\)에서 직선 \(y=mx\)는 \(y=f(x)\)의 그래프와 만나지 않는다. 

 

문제의 조건에서 \(\displaystyle\lim_{m\,\rightarrow\,\alpha-}{g(m)}-\lim_{m\,\rightarrow\,\alpha+}{g(m)}=1\)을 만족시키는 양수 \(\alpha\)가 오직 하나 존재한다고 했고, 그러기 위해서는 \(\alpha\)가 \(y=ax-x^{2}\)의 원점에서의 접선의 기울기이며, 또 원점을 지나는 \(\displaystyle y=\frac{\ln(x+b)}{x}\)의 접선이어야 한다.(아래그림 참고)

 *\(x>0\)에서 \(\displaystyle f(x)=\frac{\ln(x+b)}{x}\)이고$$f'(x)=\frac{\displaystyle\frac{x}{x+b}-\ln(x+b)}{x^{2}}$$인데 방정식 \(\displaystyle\frac{x}{x+b}=\ln(x+b)\)는 하나의 실근을 가지므로 이 방정식의 실근이 \(f(x)\)의 극대점의 \(x\)좌표이다.

 

문제에서 점 \((b,\,f(b))\)가 \(y=\alpha x\)와의 교점이라고 했으므로 \(m=a=f'(b)\)이어야 한다. 그러면$$\alpha=a=\frac{\displaystyle\frac{1}{2}-\ln 2b}{b^{2}},\,\alpha b=\frac{\ln2b}{b}$$를 얻는다.$$\alpha b=\frac{\displaystyle\frac{1}{2}-\ln 2b}{b}=\frac{\ln 2b}{b},\,0<b<1$$이므로 \(\displaystyle\frac{1}{2}-\ln2b=\ln2b\)이고 \(\displaystyle\ln2b=\frac{1}{4}\)이므로 \(\displaystyle b=\frac{1}{2}e^{\frac{1}{4}}\)이다.$$a=\frac{\displaystyle\frac{1}{2}-\frac{1}{4}}{\displaystyle\frac{1}{4}e^{\frac{1}{2}}}=e^{-\frac{1}{2}}$$이므로 \(\displaystyle ab^{2}=\frac{1}{4}\)이고 따라서 \(p+q=5\)이다.   

 

2022학년도 수능 수학 공통 22번

 

최고차항의 계수가 \(\displaystyle\frac{1}{2}\)인 삼차함수 \(f(x)\)와 실수 \(t\)에 대하여 방정식 \(f'(x)=0\)이 닫힌구간 \([t,\,t+2]\)에서 갖는 실근의 개수를 \(g(t)\)라 할 때, 함수 \(g(t)\)는 다음 조건을 만족시킨다.

 

(가) 모든 실수 \(a\)에 대하여 \(\displaystyle\lim_{t\,\rightarrow\,a+}{g(t)}+\lim_{t\,\rightarrow\,a-}{g(t)}\leq2\)이다. (나) \(g(f(1))=g(f(4))=2,\,g(f(0))=1\)

\(f(5)\)의 값을 구하시오. [4점]

 

풀이: 문제에서 최고차항의 계수가 \(\displaystyle\frac{1}{2}\)이라고 했으므로 \(\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}x^{3}+ax^{2}+bx+c\)로 나타낼 수 있고, 조건 (나)에서 \(g(f(1))=g(f(4))=2\)이므로 \(\displaystyle f'(x)=\frac{3}{2}x^{2}+2ax+b\)는 서로 다른 두 개의 실근을 갖는다. 

 

\(t\)값에 따른 \(g(t)\)의 값을 조사하자.

\(t<\alpha-2\)이면 \(g(t)=0\),

\(\alpha-2\leq t<\beta-2\)이면 \(g(t)=1\),

\(\beta-2\leq t\leq\alpha\)이면 \(g(t)=2\),

\(\alpha<t\leq\beta\)이면 \(g(t)=1\),

\(\beta<t\)이면 \(g(t)=0\)이다.

그런데 조건 (가)에 의해 모든 실수에서 \(g(t)\)의 좌극한과 우극한의 합이 2보다 작으므로 극한값이 2가 되는 실수가 없어야 한다. 그러기 위해서는 \(g(t)=2\)인 \(\beta-2\leq t\leq\alpha\)의 범위가 한 점이어야 하고, 이때 \(\beta-2=\alpha\)이므로 \(\beta=\alpha+2\)이다.

 또한 조건 (나)에서 \(g(f(1))=g(f(4))=2\)이고, \(t=\alpha\)에서만 \(g(t)=2\)가 되므로 \(\alpha=f(1)=f(4)\)여야 한다. 이때 \(\alpha\)는 \(f(x)\)의 극대점의 \(x\)좌표이고, \(\beta\)는 극소점의 \(x\)좌표이다. \(\alpha=f(1)\)으로부터 \(\alpha=1\)이고, \(f(x)\)의 그래프는 다음과 같다.

\(\alpha=1,\,\beta=3\)이고, \(\displaystyle f'(x)=\frac{3}{2}x^{2}+2ax+b\)이므로 근과 계수의 관계에 의해$$\alpha+\beta=-\frac{4}{3}a,\,\alpha\beta=\frac{2}{3}b$$이고 \(a=-3\), \(\displaystyle b=\frac{9}{2}\)이다. 또한$$f(1)=\frac{1}{2}-3+\frac{9}{2}+c=c+2=1$$이므로 \(c=-1\)이고, \(f(0)=-1\)이므로 \(g(f(0))=g(-1)=1\)이 되어 문제의 조건을 만족한다.

그러면 \(\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}x^{3}-3x^{2}+\frac{9}{2}x-1\)이고, 따라서$$\begin{align*}f(5)&=\frac{125}{2}-75+\frac{45}{2}-1\\&=\frac{170}{2}-76=85-76\\&=9\end{align*}$$이다.

이 문제는 \(\alpha=1\)이 된다는 것을 파악해야 하는데 여기서 가장 어려웠을 것이다.