[미적분] 2020학년도 6월 모의평가 수학 가형 20번, 2022학년도 9월 모의평가 공통 11번

[미적분] 2020학년도 6월 모의평가 수학 가형 20번, 2022학년도 9월 모의평가 공통 11번

 

 

이 문제들은 식의 변형을 통해서 답을 얻어야 하는 문제들이다. 

 

2020학년도 6월 모의평가 수학 가형 20번

 

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $f(x)>0$ (나) $\displaystyle \ln f(x)+2\int_{0}^{x}{(x-t)f(t)dt}=0$

<보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]

보 기 ㄱ. $x>0$에서 함수 $f(x)$는 감소한다. ㄴ. 함수 $f(x)$의 최댓값은 $1$이다. ㄷ. 함수 $F(x)$를 $\displaystyle F(x)=\int_{0}^{x}{f(t)dt}$라 할 때, $f(1)+\{F(1)\}^{2}=1$이다.

풀이.

조건 (나)에 의해 $$\ln f(x)=-2x\int_{0}^{x}{f(t)dt}+2\int_{0}^{x}{tf(t)dt}$$ 이므로 위 식의 양변을 미분하면 $$\frac{f'(x)}{f(x)}=-2\int_{0}^{x}{f(t)dt}-2xf(x)+2xf(x)=-2\int_{0}^{x}{f(t)dt}$$ 이다. 

조건 (가)에 의해 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x)>0$이므로 $x>0$일 때, $\displaystyle\int_{0}^{x}{f(t)dt}>0$, $x<0$일 때, $\displaystyle\int_{0}^{x}{f(t)dt}<0$이다. 

$\ln f(0)=0$이므로 $f(0)=1$이고, $f'(0)=0$이므로 따라서 $x>0$에서 함수 $f(x)$는 감소하고, 최댓값은 $1$이다. 

이렇게 해서 ㄱ, ㄴ은 옳음을 확인했다. 

$\displaystyle F(x)=\int_{0}^{x}{f(t)dt}$라 하면 $f'(x)=-2F(x)f(x)$이고, $F(0)=0$, $f(x)=F'(x)$이므로

$$f(1)-1=f(1)-f(0)=\int_{0}^{1}{f'(x)dx}=-2\int_{0}^{1}{F(x)f'(x)dx}=-2\left[\frac{1}{2}\{F(x)\}^{2}\right]_{0}^{1}=-\{F(1)\}^{2}$$ 이다. 그러므로 $f(1)+\{F(1)\}^{2}=1$이다. 

이렇게 해서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다.

ㄷ에서 $f'(x)=F(x)F'(x)$를 바로 알아채기가 어려워서 이 부분이 어려웠던 것이다. 

 

2022학년도 9월 모의평가 공통 11번

 

다항함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $$xf(x)=2x^{3}+ax^{2}+3a+\int_{1}^{x}{f(t)dt}$$ 를 만족시킨다. $\displaystyle f(1)=\int_{0}^{1}{f(t)dt}$일 때, $a+f(3)$의 값은? (단, $a$는 상수이다.) [4점]

 

풀이: 

문제에서 주어진 조건 $$xf(x)=2x^{3}+ax^{2}+3a+\int_{1}^{x}{f(t)dt}$$ 에 $x=0$을 대입해서 $\displaystyle \int_{0}^{1}{f(t)dt}=3a$, $x=1$을 대입해서 $f(1)=4a+2$를 얻는다. 문제에 의해$\displaystyle f(1)=\int_{0}^{1}{f(t)dt}$이므로 $3a=4a+2$이고 따라서 $a=-2$이다. $f(3)$의 값을 구하려면 함수 $f(x)$를 구해야 한다. 

(i) $f(x)$를 이차함수로 보고 풀기

$f(x)$를 이차함수라고 할 수 있는 근거는 $xf(x)$가 삼차함수이고, $\displaystyle\int_{1}^{x}{f(t)dt}$도 삼차함수라는 것이다.

$f(x)=px^{2}+qx+r$이라 하면 다음의 식 $$xf(x)=2x^{3}-2x^{2}-6+\int_{1}^{x}{f(t)dt}$$ 에서 최고차항인 3차항의 계수들을 비교하면 $\displaystyle px^{3}=2x^{3}+\frac{p}{3}x^{3}$이고 $p=3$이다. 그러면 $$\begin{align*}xf(x)&=3x^{3}+qx^{2}+rx\\ \int_{1}^{x}{f(t)dt}&=x^{3}+\frac{q}{2}x^{2}+rx\end{align*}$$ 이므로 $$3x^{3}+qx^{2}+rx=3x^{3}+\left(-2+\frac{q}{2}\right)x^{2}+rx-6-\left(3+\frac{q}{2}+r\right)$$ 이고 여기서 $\displaystyle q=-2+\frac{q}{2}$이므로 $q=-4$이다.

또한 $\displaystyle-6-\left(3+\frac{q}{2}+r\right)=-5-r=0$이므로 $r=-5$이다.

그러면 $f(x)=3x^{2}-4x-5$이고 $f(3)=27-12-5=10$이므로 따라서 $a+f(3)=8$이다.

 

(ii) 미분을 이용한 다음 미분을 이용하여 풀기

문제의 식 $$xf(x)=2x^{3}-2x^{2}-6+\int_{1}^{x}{f(t)dt}$$ 을 $x$에 대해 미분하면 다음의 식을 얻는다. $$xf'(x)+f(x)=6x^{2}-4x+f(x)$$ 그러면 $xf'(x)=6x^{2}-4x$이고 $f'(x)=6x-4$를 얻으며, $f(1)=-6$이므로 따라서 $f(x)=3x^{2}-4x-5$이고 $f(3)=10$이므로 따라서 $a+f(3)=8$이다.