[미적분] 2020학년도 6월 모의평가 수학 가형 20번, 2022학년도 9월 모의평가 공통 11번

[미적분] 2020학년도 6월 모의평가 수학 가형 20번, 2022학년도 9월 모의평가 공통 11번

 

 

이 문제들은 식의 변형을 통해서 답을 얻어야 하는 문제들이다. 

 

2020학년도 6월 모의평가 수학 가형 20번

 

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.

(가) \(f(x)>0\) (나) \(\displaystyle \ln f(x)+2\int_{0}^{x}{(x-t)f(t)dt}=0\)

<보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]

보 기 ㄱ. \(x>0\)에서 함수 \(f(x)\)는 감소한다. ㄴ. 함수 \(f(x)\)의 최댓값은 \(1\)이다. ㄷ. 함수 \(F(x)\)를 \(\displaystyle F(x)=\int_{0}^{x}{f(t)dt}\)라 할 때, \(f(1)+\{F(1)\}^{2}=1\)이다.

풀이.

조건 (나)에 의해$$\ln f(x)=-2x\int_{0}^{x}{f(t)dt}+2\int_{0}^{x}{tf(t)dt}$$이므로 위 식의 양변을 미분하면$$\frac{f'(x)}{f(x)}=-2\int_{0}^{x}{f(t)dt}-2xf(x)+2xf(x)=-2\int_{0}^{x}{f(t)dt}$$이다. 

조건 (가)에 의해 모든 실수 \(x\)에 대하여 \(f(x)>0\)이므로 \(x>0\)일 때, \(\displaystyle\int_{0}^{x}{f(t)dt}>0\), \(x<0\)일 때, \(\displaystyle\int_{0}^{x}{f(t)dt}<0\)이다. 

\(\ln f(0)=0\)이므로 \(f(0)=1\)이고, \(f'(0)=0\)이므로 따라서 \(x>0\)에서 함수 \(f(x)\)는 감소하고, 최댓값은 \(1\)이다. 

이렇게 해서 ㄱ, ㄴ은 옳음을 확인했다. 

\(\displaystyle F(x)=\int_{0}^{x}{f(t)dt}\)라 하면 \(f'(x)=-2F(x)f(x)\)이고, \(F(0)=0\), \(f(x)=F'(x)\)이므로

$$f(1)-1=f(1)-f(0)=\int_{0}^{1}{f'(x)dx}=-2\int_{0}^{1}{F(x)f'(x)dx}=-2\left[\frac{1}{2}\{F(x)\}^{2}\right]_{0}^{1}=-\{F(1)\}^{2}$$이다. 그러므로 \(f(1)+\{F(1)\}^{2}=1\)이다. 

이렇게 해서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다.

ㄷ에서 \(f'(x)=F(x)F'(x)\)를 바로 알아채기가 어려워서 이 부분이 어려웠던 것이다. 

 

2022학년도 9월 모의평가 공통 11번

 

다항함수 \(f(x)\)가 모든 실수 \(x\)에 대하여$$xf(x)=2x^{3}+ax^{2}+3a+\int_{1}^{x}{f(t)dt}$$를 만족시킨다. \(\displaystyle f(1)=\int_{0}^{1}{f(t)dt}\)일 때, \(a+f(3)\)의 값은? (단, \(a\)는 상수이다.) [4점]

 

풀이: 

문제에서 주어진 조건$$xf(x)=2x^{3}+ax^{2}+3a+\int_{1}^{x}{f(t)dt}$$에 \(x=0\)을 대입해서 \(\displaystyle \int_{0}^{1}{f(t)dt}=3a\), \(x=1\)을 대입해서 \(f(1)=4a+2\)를 얻는다. 문제에 의해\(\displaystyle f(1)=\int_{0}^{1}{f(t)dt}\)이므로 \(3a=4a+2\)이고 따라서 \(a=-2\)이다. \(f(3)\)의 값을 구하려면 함수 \(f(x)\)를 구해야 한다. 

(i) \(f(x)\)를 이차함수로 보고 풀기

\(f(x)\)를 이차함수라고 할 수 있는 근거는 \(xf(x)\)가 삼차함수이고, \(\displaystyle\int_{1}^{x}{f(t)dt}\)도 삼차함수라는 것이다.

\(f(x)=px^{2}+qx+r\)이라 하면 다음의 식$$xf(x)=2x^{3}-2x^{2}-6+\int_{1}^{x}{f(t)dt}$$에서 최고차항인 3차항의 계수들을 비교하면 \(\displaystyle px^{3}=2x^{3}+\frac{p}{3}x^{3}\)이고 \(p=3\)이다. 그러면$$\begin{align*}xf(x)&=3x^{3}+qx^{2}+rx\\ \int_{1}^{x}{f(t)dt}&=x^{3}+\frac{q}{2}x^{2}+rx\end{align*}$$이므로$$3x^{3}+qx^{2}+rx=3x^{3}+\left(-2+\frac{q}{2}\right)x^{2}+rx-6-\left(3+\frac{q}{2}+r\right)$$이고 여기서 \(\displaystyle q=-2+\frac{q}{2}\)이므로 \(q=-4\)이다.

또한 \(\displaystyle-6-\left(3+\frac{q}{2}+r\right)=-5-r=0\)이므로 \(r=-5\)이다.

그러면 \(f(x)=3x^{2}-4x-5\)이고 \(f(3)=27-12-5=10\)이므로 따라서 \(a+f(3)=8\)이다.

 

(ii) 미분을 이용한 다음 미분을 이용하여 풀기

문제의 식$$xf(x)=2x^{3}-2x^{2}-6+\int_{1}^{x}{f(t)dt}$$을 \(x\)에 대해 미분하면 다음의 식을 얻는다.$$xf'(x)+f(x)=6x^{2}-4x+f(x)$$그러면 \(xf'(x)=6x^{2}-4x\)이고 \(f'(x)=6x-4\)를 얻으며, \(f(1)=-6\)이므로 따라서 \(f(x)=3x^{2}-4x-5\)이고 \(f(3)=10\)이므로 따라서 \(a+f(3)=8\)이다.