[미적분] 2012학년도 수능 수리 가형 18번, 2019학년도 9월 수능모의평가 수학 가형 20번

[미적분] 2012학년도 수능 수리 가형 18번, 2019학년도 9월 수능모의평가 수학 가형 20번

미분가능한 함수 \(f(x)\)가 \(x=a\)에서 극값을 가지면 \(f'(a)=0\)이고, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.  

여기서 다룰 문제는 구체적이지 않은 극값을 갖는 함수에 대한 문제이다.  

2012학년도 수능 수리 가형 18번 

정의역이 \(\{x\,|\,0\leq x\leq\pi\}\)인 함수 \(f(x)=2x\cos x\)에 대하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [4점]

<보 기> ㄱ. \(f'(a)=0\)이면 \(\displaystyle\tan a=\frac{1}{a}\)이다.   ㄴ. 함수 \(f(x)\)가 \(x=a\)에서 극댓값을 가지는 \(a\)가 구간 \(\displaystyle\left(\frac{\pi}{4},\,\frac{\pi}{3}\right)\)에 있다. ㄷ. 구간 \(\displaystyle\left[0,\,\frac{\pi}{2}\right]\)에서 방정식 \(f(x)=1\)의 서로 다른 실근의 개수는 \(2\)이다.

 

풀이:  

ㄱ: \(f'(x)=2\cos x-2x\sin x\)이고 \(f'(0)=2\neq0\)이므로 \(a\neq0\)이다.$$f'(a)=2\cos a-2a\sin a=0$$이고 \(a\neq0\)이므로 따라서 \(\displaystyle\tan a=\frac{1}{a}\)이다.   

ㄴ: \(f'(x)\)는 연속함수이고$$\begin{align*}f'\left(\frac{\pi}{4}\right)&=\sqrt{2}-\sqrt{2}\cdot\frac{\pi}{4}=\sqrt{2}\left(1-\frac{\pi}{4}\right)>0\\f'\left(\frac{\pi}{3}\right)&=1-2\cdot\frac{\pi}{3}\cdot\frac{\pi}{3}=1-\frac{\pi\sqrt{3}}{3}<0\end{align*}$$이므로 사잇값 정리(중간값 정리)에 의해 \(f'(a)=0\)인 \(a\)가 열린구간 \(\displaystyle\left(\frac{\pi}{4},\,\frac{\pi}{3}\right)\)에 존재하고 \(\displaystyle\left(\frac{\pi}{4},\,a\right)\)에서 \(f'(x)>0\), \(\displaystyle\left(a,\,\frac{\pi}{3}\right)\)에서 \(f'(x)<0\)이므로 함수 \(f(x)\)는 \(x=a\)에서 극댓값을 갖는다. 

ㄷ: \(\displaystyle f(0)=f\left(\frac{\pi}{2}\right)=0\)이고, ㄴ에 의해 \(\displaystyle f(a)>f\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\pi}{3}>1\)이므로 따라서 닫힌구간 \(\displaystyle\left[0,\,\frac{\pi}{2}\right]\)에서 방정식 \(f(x)=1\)은 서로 다른 2개의 근을 갖는다. 

ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다. 

2019학년도 9월 모의평가 수학 가형 20번  

열린 구간 \((0,\,2\pi)\)에서 정의된 함수 \(f(x)=\cos x+2x\sin x\)가 \(x=\alpha\)와 \(x=\beta\)에서 극값을 가진다. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, \(\alpha<\beta\)) [4점]

<보 기> ㄱ. \(\tan(\alpha+\pi)=-2\alpha\) ㄴ. \(g(x)=\tan x\)라 할 때, \(g'(\alpha+\pi)<g'(\beta)\)이다.   ㄷ. \(\displaystyle\frac{2(\beta-\alpha)}{\alpha+\pi-\beta}<\sec^{2}\alpha\)

 

풀이: \(f'(x)=-\sin x+2\sin x+2x\cos x=\sin x+2x\cos x\)이고 \(x=\alpha\)와 \(x=\beta\)에서 극값을 가지므로$$\begin{align*}f'(\alpha)&=\sin\alpha+2\alpha\cos\alpha=0\\f'(\beta)&=\sin\beta+2\beta\cos\beta=0\end{align*}$$이다. 

ㄱ: \(\sin\alpha+2\alpha\cos\alpha=0\)이므로 \(\tan\alpha=-2\alpha\)이고 따라서 \(\tan(\alpha+\pi)=\tan\alpha=-2\alpha\)이다.  

ㄴ: \(g(x)=\tan x\)를 미분하면 \(g'(x)=\sec^{2}x\)이고 \(g'(\alpha+\pi)=\sec^{2}(\alpha+\pi)=\sec^{2}\alpha\), \(g'(\beta)=\sec^{2}\beta\)이고 \(\sec^{2}x\)는 증가함수, \(\alpha<\beta\)이므로 \(\sec^{2}\alpha<\sec^{2}\beta\)이고 따라서 \(g'(\alpha+\pi)<g'(\beta)\)이다.  

ㄷ: \(\tan\alpha=-2\alpha\), \(\tan\beta=-2\beta\)이므로$$2(\beta-\alpha)=\tan\alpha-\tan\beta=\tan(\alpha+\pi)-\tan\beta$$이고 평균값 정리에 의해 \(t\)가 \(\alpha+\pi\)와 \(\beta\)사이에 존재해서$$\frac{\tan(\alpha+\pi)-\tan\beta}{\alpha+\pi-\beta}=\sec^{2}t$$이다. \(\sec^{2}x\)는 증가함수이고 \(\alpha<\alpha+\pi\), \(\alpha<\beta\)이므로$$\sec^{2}\alpha<\sec^{2}t=\frac{\tan(\alpha+\pi)-\tan\beta}{\alpha+\pi-\beta}=\frac{2(\beta-\alpha)}{\alpha+\pi-\beta}$$이다. 

옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.