[미적분] 2012학년도 수능 수리 가형 18번, 2019학년도 9월 수능모의평가 수학 가형 20번

[미적분] 2012학년도 수능 수리 가형 18번, 2019학년도 9월 수능모의평가 수학 가형 20번

미분가능한 함수 $f(x)$가 $x=a$에서 극값을 가지면 $f'(a)=0$이고, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.  

여기서 다룰 문제는 구체적이지 않은 극값을 갖는 함수에 대한 문제이다.  

2012학년도 수능 수리 가형 18번 

정의역이 $\{x\,|\,0\leq x\leq\pi\}$인 함수 $f(x)=2x\cos x$에 대하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [4점]

<보 기> ㄱ. $f'(a)=0$이면 $\displaystyle\tan a=\frac{1}{a}$이다.   ㄴ. 함수 $f(x)$가 $x=a$에서 극댓값을 가지는 $a$가 구간 $\displaystyle\left(\frac{\pi}{4},\,\frac{\pi}{3}\right)$에 있다. ㄷ. 구간 $\displaystyle\left[0,\,\frac{\pi}{2}\right]$에서 방정식 $f(x)=1$의 서로 다른 실근의 개수는 $2$이다.

 

풀이:  

ㄱ: $f'(x)=2\cos x-2x\sin x$이고 $f'(0)=2\neq0$이므로 $a\neq0$이다.

$$f'(a)=2\cos a-2a\sin a=0$$ 이고 $a\neq0$이므로 따라서 $\displaystyle\tan a=\frac{1}{a}$이다.   

ㄴ: $f'(x)$는 연속함수이고

$$\begin{align*}f'\left(\frac{\pi}{4}\right)&=\sqrt{2}-\sqrt{2}\cdot\frac{\pi}{4}=\sqrt{2}\left(1-\frac{\pi}{4}\right)>0\\f'\left(\frac{\pi}{3}\right)&=1-2\cdot\frac{\pi}{3}\cdot\frac{\pi}{3}=1-\frac{\pi\sqrt{3}}{3}<0\end{align*}$$ 이므로 사잇값 정리(중간값 정리)에 의해 $f'(a)=0$인 $a$가 열린구간 $\displaystyle\left(\frac{\pi}{4},\,\frac{\pi}{3}\right)$에 존재하고 $\displaystyle\left(\frac{\pi}{4},\,a\right)$에서 $f'(x)>0$, $\displaystyle\left(a,\,\frac{\pi}{3}\right)$에서 $f'(x)<0$이므로 함수 $f(x)$는 $x=a$에서 극댓값을 갖는다. 

ㄷ: $\displaystyle f(0)=f\left(\frac{\pi}{2}\right)=0$이고, ㄴ에 의해 $\displaystyle f(a)>f\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\pi}{3}>1$이므로 따라서 닫힌구간 $\displaystyle\left[0,\,\frac{\pi}{2}\right]$에서 방정식 $f(x)=1$은 서로 다른 2개의 근을 갖는다. 

ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다. 

2019학년도 9월 모의평가 수학 가형 20번  

열린 구간 $(0,\,2\pi)$에서 정의된 함수 $f(x)=\cos x+2x\sin x$가 $x=\alpha$와 $x=\beta$에서 극값을 가진다. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, $\alpha<\beta$) [4점]

<보 기> ㄱ. $\tan(\alpha+\pi)=-2\alpha$ ㄴ. $g(x)=\tan x$라 할 때, $g'(\alpha+\pi)<g'(\beta)$이다.   ㄷ. $\displaystyle\frac{2(\beta-\alpha)}{\alpha+\pi-\beta}<\sec^{2}\alpha$

 

풀이: $f'(x)=-\sin x+2\sin x+2x\cos x=\sin x+2x\cos x$이고 $x=\alpha$와 $x=\beta$에서 극값을 가지므로

$$\begin{align*}f'(\alpha)&=\sin\alpha+2\alpha\cos\alpha=0\\f'(\beta)&=\sin\beta+2\beta\cos\beta=0\end{align*}$$ 이다. 

ㄱ: $\sin\alpha+2\alpha\cos\alpha=0$이므로 $\tan\alpha=-2\alpha$이고 따라서 $\tan(\alpha+\pi)=\tan\alpha=-2\alpha$이다.  

ㄴ: $g(x)=\tan x$를 미분하면 $g'(x)=\sec^{2}x$이고 $g'(\alpha+\pi)=\sec^{2}(\alpha+\pi)=\sec^{2}\alpha$, $g'(\beta)=\sec^{2}\beta$이고 $\sec^{2}x$는 증가함수, $\alpha<\beta$이므로 $\sec^{2}\alpha<\sec^{2}\beta$이고 따라서 $g'(\alpha+\pi)<g'(\beta)$이다.  

ㄷ: $\tan\alpha=-2\alpha$, $\tan\beta=-2\beta$이므로

$$2(\beta-\alpha)=\tan\alpha-\tan\beta=\tan(\alpha+\pi)-\tan\beta$$ 이고 평균값 정리에 의해 $t$가 $\alpha+\pi$와 $\beta$사이에 존재해서 $$\frac{\tan(\alpha+\pi)-\tan\beta}{\alpha+\pi-\beta}=\sec^{2}t$$ 이다. $\sec^{2}x$는 증가함수이고 $\alpha<\alpha+\pi$, $\alpha<\beta$이므로 $$\sec^{2}\alpha<\sec^{2}t=\frac{\tan(\alpha+\pi)-\tan\beta}{\alpha+\pi-\beta}=\frac{2(\beta-\alpha)}{\alpha+\pi-\beta}$$ 이다. 

옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.