[미적분] 2012학년도 6월 수능모의평가 수리 가형 19번, 2017학년도 9월 수능모의평가 수학 가형 21번

[미적분] 2012학년도 6월 수능모의평가 수리 가형 19번, 2017학년도 9월 수능모의평가 수학 가형 21번

도함수가 연속인 두 함수 $f(x),\,g(x)$에 대하여 $$\int_{a}^{b}{f(x)g'(x)dx}=\left[f(x)g(x)\right]_{a}^{b}-\int_{a}^{b}{f'(x)g(x)dx}$$ 이다. 위의 공식을 부분적분법이라고 한다. 

2012학년도 6월 모의평가 수리 가형 19번 

정의역이 $\{x\,|\,x>-1\}$인 함수 $f(x)$에 대하여 $\displaystyle f'(x)=\frac{1}{(1+x^{3})^{2}}$이고, 함수 $g(x)=x^{2}$일 때, $$\int_{0}^{1}{f(x)g'(x)dx}=\frac{1}{6}$$ 이다. $f(1)$의 값은? [4점]

풀이: $$\begin{align*}\frac{1}{6}&=\int_{0}^{1}{f(x)g'(x)dx}=\left[f(x)g(x)\right]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}{f'(x)g(x)dx}\\&=f(1)-\int_{0}^{1}{\frac{x^{2}}{(1+x^{3})^{2}}dx}\end{align*}$$ 이고 $t=1+x^{3}$라 하면 $\displaystyle\frac{dt}{dx}=3x^{2}$이므로 $$\int_{0}^{1}{\frac{x^{2}}{(1+x^{3})^{2}}dx}=\int_{1}^{2}{\frac{1}{3t^{2}}dt}=\frac{1}{3}\left[-\frac{1}{t}\right]_{1}^{2}=\frac{1}{3}\left(1-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{6}$$ 이고 따라서 $\displaystyle f(1)=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{1}{3}$이다.          

2017학년도 9월 모의평가 수학 가형 21번 

양의 실수 전체의 집합에서 미분가능한 두 함수 $f(x)$와 $g(x)$가 모든 양의 실수 $x$에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.  

(가) $\displaystyle\left(\frac{f(x)}{x}\right)'=x^{2}e^{-x^{2}}$ (나) $\displaystyle g(x)=\frac{4}{e^{4}}\int_{1}^{x}{e^{t^{2}}f(t)dt}$

$\displaystyle f(1)=\frac{1}{e}$일 때, $f(2)-g(2)$의 값은? [4점]

풀이: $\displaystyle f(1)=\frac{1}{e}$이므로 조건 (가)에 의해 $$\frac{f(x)}{x}-\frac{f(1)}{1}=\int_{1}^{x}{\left(\frac{f(t)}{t}\right)'dt}=\int_{1}^{x}{t^{2}e^{-t^{2}}dt}$$ 이고 $$f(x)=x\left\{\int_{1}^{x}{t^{2}e^{-t^{2}}dt}+\frac{1}{e}\right\}$$ 이다. $\displaystyle h(x)=\int_{1}^{x}{t^{2}e^{-t^{2}}dt}$라 하면 $$\begin{align*}g(x)&=\frac{2}{e^{4}}\int_{1}^{x}{2te^{t^{2}}\left\{h(t)+\frac{1}{e}\right\}dt}\\&=\frac{2}{e^{4}}\int_{1}^{x}{(e^{t^{2}})'\left\{h(t)+\frac{1}{e}\right\}dt}\\&=\frac{2}{e^{4}}\left[e^{t^{2}}\left\{h(x)+\frac{1}{e}\right\}\right]_{1}^{x}-\frac{2}{e^{4}}\int_{0}^{1}{e^{t^{2}}(t^{2}e^{-t^{2}})dt}\\&=2e^{x^{2}-4}\int_{1}^{x}{t^{2}e^{-t^{2}}dt}+2e^{x^{2}-5}-\frac{2}{e^{4}}-\frac{2}{e^{4}}\int_{1}^{x}{t^{2}dt}\\&=2e^{x^{2}-4}\int_{1}^{x}{t^{2}e^{-t^{2}}dt}+2e^{x^{2}-5}-\frac{2}{e^{4}}\left(\frac{1}{3}x^{3}-\frac{1}{3}\right)-\frac{2}{e^{4}}\\&=2e^{x^{2}-4}\int_{1}^{x}{t^{2}e^{-t^{2}}dt}+2e^{x^{2}-5}-\frac{2}{3e^{4}}x^{3}-\frac{4}{3e^{4}}\end{align*}$$ 이다. 위 식에 $x=2$를 대입하면 $$f(2)=2\int_{1}^{2}{t^{2}e^{-t^{2}}dt}+\frac{2}{e}$$ 이므로 $$g(2)=f(2)-\frac{16}{3e^{4}}-\frac{4}{3e^{4}}=f(2)-\frac{20}{3e^{4}}$$ 이고 따라서 $\displaystyle f(2)-g(2)=\frac{20}{3e^{4}}$이다.