[미적분] 2009학년도 수능(11월) 수리 가형 미분과적분 29번, 2014학년도 9월 수능 모의평가 수학 B형 27번

[미적분] 2009학년도 수능(11월) 수리 가형 미분과적분 29번, 2014학년도 9월 수능 모의평가 수학 B형 27번

미분가능한 함수 $y=f(x)$가 역함수를 가지며 그 역함수가 미분가능할 때, 역함수 $y=f^{-1}(x)$의 도함수는 다음과 같이 구한다.

$x=f(y)$이므로 $\displaystyle\frac{d}{dx}x=\frac{d}{dx}f(y)$이고 합성함수의 미분법으로부터 $\displaystyle1=\frac{d}{dy}f(y)\frac{dy}{dx}$이므로 따라서 $\displaystyle\frac{dy}{dx}=\frac{1}{f'(y)}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}$이다.

앞에서 언급한 함수 $y=f(x)$가 점 $(a,\,b)$를 지나면 $b=f(a)$이고 $a=f^{-1}(b)$이다. $f'(a)\neq0$이라 하자. $f(f^{-1}(x))=f^{-1}(f(x))=x$가 성립하므로 식 $f^{-1}(f(x))=x$의 양변을 $x$에 대해 미분하면 $f'(x)(f^{-1})'(f(x))=1$이고 이 식에 $x=a$를 대입하면 $f'(a)(f^{-1})(f(a))=f'(a)(f^{-1}(b))=1$이므로 $\displaystyle(f^{-1})'(b)=\frac{1}{f'(a)}$가 성립한다.

다음은 2009학년도 수능 수리 가형 미분과적분 29번 문제이다.

함수 $f(x)$를 $$f(x)=\int_{a}^{x}{\{2+\sin(t^{2})\}dt}$$ 라 하자. $f''(a)=\sqrt{3}a$일 때, $(f^{-1})'(0)$의 값은? (단, $a$는 $\displaystyle0<a<\sqrt{\frac{\pi}{2}}$인 상수이다.) [4점] 풀이: $f(a)=0$이므로 $f^{-1}(0)=a$이다. $f'(x)=2+\sin(x^{2})$, $f''(x)=2x\cos(x^{2})$이고 $f''(a)=2a\cos(a^{2})=\sqrt{3}a$, $a>0$이므로 $\displaystyle\cos(a^{2})=\frac{\sqrt{3}}{2}$이며 $\displaystyle0<a^{2}<\frac{\pi}{2}$이므로 $\displaystyle a^{2}=\frac{\pi}{6}$이고 $\displaystyle a=\sqrt{\frac{\pi}{6}}$이다. $\displaystyle f'(a)=f'\left(\sqrt{\frac{\pi}{6}}\right)=2+\sin\frac{\pi}{6}=2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$이므로 따라서 $\displaystyle(f^{-1})'(0)=\frac{1}{f'(a)}=\frac{2}{5}$이다.

다음은 2014학년도 9월 모의평가 수학 B형 27번 문제이다. 앞의 문제와 같은 역함수의 미분법 문제이다.

함수 $\displaystyle f(x)=\ln(\tan x)\,\left(0<x<\frac{\pi}{2}\right)$의 역함수 $g(x)$에 대하여 $\displaystyle\lim_{h\,\rightarrow\,0}{\frac{4g(8h)-\pi}{h}}$의 값을 구하시오. [4점] 풀이: $4g(0)-\pi=0$이므로 $g(0)=\frac{\pi}{4}$이고 $\displaystyle f\left(\frac{\pi}{4}\right)=\ln\left(\tan\frac{\pi}{4}\right)=\ln1=0$이다. 이때 $\displaystyle\lim_{h\,\rightarrow\,0}{\frac{4g(8h)-\pi}{h}}=32\lim_{h\,\rightarrow\,0}{\frac{g(8h)-\frac{\pi}{4}}{8h}}=32g'\left(\frac{\pi}{4}\right)$, $\displaystyle f'(x)=\frac{\sec^{2}x}{\tan x}$, $\displaystyle f'\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{(\sqrt{2})^{2}}{1}=2$이고 따라서 $\displaystyle\lim_{h\,\rightarrow\,0}{\frac{4g(8h)-\pi}{h}}=32g'\left(\frac{\pi}{4}\right)=32\times\frac{1}{f'\left(\frac{\pi}{4}\right)}=32\times\frac{1}{2}=16$이다.