[미적분] 2009학년도 수능(11월) 수리 가형 미분과적분 29번, 2014학년도 9월 수능 모의평가 수학 B형 27번

[미적분] 2009학년도 수능(11월) 수리 가형 미분과적분 29번, 2014학년도 9월 수능 모의평가 수학 B형 27번

미분가능한 함수 \(y=f(x)\)가 역함수를 가지며 그 역함수가 미분가능할 때, 역함수 \(y=f^{-1}(x)\)의 도함수는 다음과 같이 구한다.

\(x=f(y)\)이므로 \(\displaystyle\frac{d}{dx}x=\frac{d}{dx}f(y)\)이고 합성함수의 미분법으로부터 \(\displaystyle1=\frac{d}{dy}f(y)\frac{dy}{dx}\)이므로 따라서 \(\displaystyle\frac{dy}{dx}=\frac{1}{f'(y)}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}\)이다.

앞에서 언급한 함수 \(y=f(x)\)가 점 \((a,\,b)\)를 지나면 \(b=f(a)\)이고 \(a=f^{-1}(b)\)이다. \(f'(a)\neq0\)이라 하자. \(f(f^{-1}(x))=f^{-1}(f(x))=x\)가 성립하므로 식 \(f^{-1}(f(x))=x\)의 양변을 \(x\)에 대해 미분하면 \(f'(x)(f^{-1})'(f(x))=1\)이고 이 식에 \(x=a\)를 대입하면 \(f'(a)(f^{-1})(f(a))=f'(a)(f^{-1}(b))=1\)이므로 \(\displaystyle(f^{-1})'(b)=\frac{1}{f'(a)}\)가 성립한다.

다음은 2009학년도 수능 수리 가형 미분과적분 29번 문제이다.

함수 \(f(x)\)를$$f(x)=\int_{a}^{x}{\{2+\sin(t^{2})\}dt}$$라 하자. \(f''(a)=\sqrt{3}a\)일 때, \((f^{-1})'(0)\)의 값은? (단, \(a\)는 \(\displaystyle0<a<\sqrt{\frac{\pi}{2}}\)인 상수이다.) [4점] 풀이: \(f(a)=0\)이므로 \(f^{-1}(0)=a\)이다. \(f'(x)=2+\sin(x^{2})\), \(f''(x)=2x\cos(x^{2})\)이고 \(f''(a)=2a\cos(a^{2})=\sqrt{3}a\), \(a>0\)이므로 \(\displaystyle\cos(a^{2})=\frac{\sqrt{3}}{2}\)이며 \(\displaystyle0<a^{2}<\frac{\pi}{2}\)이므로 \(\displaystyle a^{2}=\frac{\pi}{6}\)이고 \(\displaystyle a=\sqrt{\frac{\pi}{6}}\)이다. \(\displaystyle f'(a)=f'\left(\sqrt{\frac{\pi}{6}}\right)=2+\sin\frac{\pi}{6}=2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}\)이므로 따라서 \(\displaystyle(f^{-1})'(0)=\frac{1}{f'(a)}=\frac{2}{5}\)이다.

다음은 2014학년도 9월 모의평가 수학 B형 27번 문제이다. 앞의 문제와 같은 역함수의 미분법 문제이다.

함수 \(\displaystyle f(x)=\ln(\tan x)\,\left(0<x<\frac{\pi}{2}\right)\)의 역함수 \(g(x)\)에 대하여 \(\displaystyle\lim_{h\,\rightarrow\,0}{\frac{4g(8h)-\pi}{h}}\)의 값을 구하시오. [4점] 풀이: \(4g(0)-\pi=0\)이므로 \(g(0)=\frac{\pi}{4}\)이고 \(\displaystyle f\left(\frac{\pi}{4}\right)=\ln\left(\tan\frac{\pi}{4}\right)=\ln1=0\)이다. 이때 \(\displaystyle\lim_{h\,\rightarrow\,0}{\frac{4g(8h)-\pi}{h}}=32\lim_{h\,\rightarrow\,0}{\frac{g(8h)-\frac{\pi}{4}}{8h}}=32g'\left(\frac{\pi}{4}\right)\), \(\displaystyle f'(x)=\frac{\sec^{2}x}{\tan x}\), \(\displaystyle f'\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{(\sqrt{2})^{2}}{1}=2\)이고 따라서 \(\displaystyle\lim_{h\,\rightarrow\,0}{\frac{4g(8h)-\pi}{h}}=32g'\left(\frac{\pi}{4}\right)=32\times\frac{1}{f'\left(\frac{\pi}{4}\right)}=32\times\frac{1}{2}=16\)이다.