2011학년도 수능(11월) 수리 가형 22번, 2016학년도 수능(11월) 수학 B형 29번
사잇각이 θ인 두 벡터 →OA,→OB에 대하여 벡터 →OA와 →OB의 내적 →OA⋅→OB는 다음과 같이 정의된다.
→OA⋅→OB=|→OA||→OB|cosθ(0≤θ≤π)
크기가 일정한 두 벡터의 내적이 최대가 되려면 이 두 벡터의 방향이 같아야 하고, 최소가 되려면 이 두 벡터의 방향이 서로 반대여야 한다.
다음은 2011학년도 수능 수리 가형 22번 문제이다.
그림과 같이 평면 위에 정삼각형 ABC와 선분 AC를 지름으로 하는 원 O가 있다. 선분 BC위의 점 D를 ∠DAB=π15가 되도록 정한다. 점 X가 원 O위를 움직일 때, 두 벡터 →AD, →CX의 내적 →AD⋅→CX의 값이 최소가 되도록 하는 점 X를 점 P라 하자. ∠ACP=qp일 때, p+q의 값을 구하시오. (단, p와 q는 서로소인 자연수이다.) [4점] 풀이: 점 X는 원 위를 움직이는 점이므로 벡터 →CX를 다음과 같이 분해한다. →CX=→OX−→OC 그러면 두 벡터 →OX와 →OC는 크기가 일정한 벡터이다. 그러면 →AD⋅→CX=→AD⋅(→OX−→OC)=→AD⋅→OX−→AD⋅→OC이고 →AD⋅→OC는 상수이므로 →AD⋅→OX의 값이 최소이면 된다. X는 원 위를 움직이는 점이므로 벡터 →OX가 벡터 →AD와 평행하고 방향이 다르면 →AD⋅→OX의 값이 최소이다. 그러면 ∠CAD=∠AOP=415π이고 ∠ACP=12∠AOP=215π이므로 따라서 p+q=15+2=17이다. |
다음은 2016학년도 수능 수학 B형 29번 문제이다.
좌표공간의 두 점 A(2,√2,√3),B(1,−√2,2√3)에 대하여 점 P는 다음 조건을 만족시킨다.
중심이 원점이고 반지름의 길이가 1인 구 위의 점 Q에 대하여 →AP⋅→AQ의 최댓값이 a+b√33이다. 16(a2+b2)의 값을 구하시오. (단, a,b는 유리수이다.) [4점] 풀이: |→AP|의 값이 일정하고 점 Q는 구 위의 점이므로 벡터 →AQ를 →AQ=→OQ−→OA로 분해한다. 그러면→AP⋅→AQ=→AP⋅→OQ−→AP⋅→OA=→AP⋅→OQ+→AP⋅→AO이다. 점 P와 점 Q는 서로 독립적으로 움직이므로 우선 →AP⋅→AO의 최댓값을 구하자. 이 값이 최대가 되려면 원점 O와 점 A,P가 같은 평면 위에 있어야 한다. 왼쪽 그림은 원점 O와 점 A,P가 같은 평면 위에 있는 것을 나타낸 것이다. 점 A의 직선 OP의 연장선에 내린 수선의 발을 H, ∠OAH=α라 하자. →AP⋅→AO의 값이 최대가 되려면 ∠OAP=α−π6이어야 한다. 이때 ¯AH=1cosπ6=√32,¯OA=3이므로 cosα=√36,sinα=√336이고cos(α−π6)=√36√32+√33612=3+√3312이므로 따라서 →AP⋅→AO의 최댓값은 3⋅1⋅3+√3312=3+√334이다. 이제 →AP⋅→OQ의 최댓값을 구하면 되는데 이 값이 최대이려면 →AP와 →OQ의 방향이 일치하면 되고 따라서 →AP⋅→OQ의 최댓값은 1이다. 그러면 →AP⋅→AQ의 최댓값은 1+3+√334=74+14√33이고 a=74,b=14이므로 따라서 16(a2+b2)=72+12=49+1=50이다. |
이 두 문제의 공통점은 움직이는 점이 있고 문제를 풀 때 움직이는 점을 포함하는 벡터로 분해한다는 점이다.
