2011학년도 수능(11월) 수리 가형 22번, 2016학년도 수능(11월) 수학 B형 29번
사잇각이 \(\theta\)인 두 벡터 \(\overrightarrow{\mathrm{OA}},\,\overrightarrow{\mathrm{OB}}\)에 대하여 벡터 \(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\)와 \(\overrightarrow{\mathrm{OB}}\)의 내적 \(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OB}}\)는 다음과 같이 정의된다.
$$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|\cos\theta\,(0\leq\theta\leq\pi)$$
크기가 일정한 두 벡터의 내적이 최대가 되려면 이 두 벡터의 방향이 같아야 하고, 최소가 되려면 이 두 벡터의 방향이 서로 반대여야 한다.
다음은 2011학년도 수능 수리 가형 22번 문제이다.
그림과 같이 평면 위에 정삼각형 \(\mathrm{ABC}\)와 선분 \(\mathrm{AC}\)를 지름으로 하는 원 \(\mathrm{O}\)가 있다. 선분 \(\mathrm{BC}\)위의 점 \(\mathrm{D}\)를 \(\displaystyle\angle\mathrm{DAB}=\frac{\pi}{15}\)가 되도록 정한다. 점 \(\mathrm{X}\)가 원 \(\mathrm{O}\)위를 움직일 때, 두 벡터 \(\overrightarrow{\mathrm{AD}}\), \(\overrightarrow{\mathrm{CX}}\)의 내적 \(\overrightarrow{\mathrm{AD}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{CX}}\)의 값이 최소가 되도록 하는 점 \(X\)를 점 \(\mathrm{P}\)라 하자. \(\displaystyle\angle\mathrm{ACP}=\frac{q}{p}\)일 때, \(p+q\)의 값을 구하시오. (단, \(p\)와 \(q\)는 서로소인 자연수이다.) [4점] 풀이: 점 \(\mathrm{X}\)는 원 위를 움직이는 점이므로 벡터 \(\overrightarrow{\mathrm{CX}}\)를 다음과 같이 분해한다. $$\overrightarrow{\mathrm{CX}}=\overrightarrow{\mathrm{OX}}-\overrightarrow{\mathrm{OC}}$$ 그러면 두 벡터 \(\overrightarrow{\mathrm{OX}}\)와 \(\overrightarrow{\mathrm{OC}}\)는 크기가 일정한 벡터이다. 그러면 $$\overrightarrow{\mathrm{AD}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{CX}}=\overrightarrow{\mathrm{AD}}\cdot(\overrightarrow{\mathrm{OX}}-\overrightarrow{\mathrm{OC}})=\overrightarrow{\mathrm{AD}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OX}}-\overrightarrow{\mathrm{AD}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OC}}$$이고 \(\overrightarrow{\mathrm{AD}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OC}}\)는 상수이므로 \(\overrightarrow{\mathrm{AD}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OX}}\)의 값이 최소이면 된다. \(\mathrm{X}\)는 원 위를 움직이는 점이므로 벡터 \(\overrightarrow{\mathrm{OX}}\)가 벡터 \(\overrightarrow{\mathrm{AD}}\)와 평행하고 방향이 다르면 \(\overrightarrow{\mathrm{AD}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OX}}\)의 값이 최소이다. 그러면 \(\displaystyle\angle\mathrm{CAD}=\angle\mathrm{AOP}=\frac{4}{15}\pi\)이고 \(\displaystyle\angle\mathrm{ACP}=\frac{1}{2}\angle\mathrm{AOP}=\frac{2}{15}\pi\)이므로 따라서 \(p+q=15+2=17\)이다. |
다음은 2016학년도 수능 수학 B형 29번 문제이다.
좌표공간의 두 점 \(\mathrm{A}(2,\,\sqrt{2},\,\sqrt{3}),\,\mathrm{B}(1,\,-\sqrt{2},\,2\sqrt{3})\)에 대하여 점 \(\mathrm{P}\)는 다음 조건을 만족시킨다.
중심이 원점이고 반지름의 길이가 \(1\)인 구 위의 점 \(\mathrm{Q}\)에 대하여 \(\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AQ}}\)의 최댓값이 \(a+b\sqrt{33}\)이다. \(16(a^{2}+b^{2})\)의 값을 구하시오. (단, \(a,\,b\)는 유리수이다.) [4점] 풀이: \(|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|\)의 값이 일정하고 점 \(\mathrm{Q}\)는 구 위의 점이므로 벡터 \(\overrightarrow{\mathrm{AQ}}\)를 \(\overrightarrow{\mathrm{AQ}}=\overrightarrow{\mathrm{OQ}}-\overrightarrow{\mathrm{OA}}\)로 분해한다. 그러면$$\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AQ}}=\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OQ}}-\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OQ}}+\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AO}}$$이다. 점 \(\mathrm{P}\)와 점 \(\mathrm{Q}\)는 서로 독립적으로 움직이므로 우선 \(\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AO}}\)의 최댓값을 구하자. 이 값이 최대가 되려면 원점 \(\mathrm{O}\)와 점 \(\mathrm{A},\,\mathrm{P}\)가 같은 평면 위에 있어야 한다. 왼쪽 그림은 원점 \(\mathrm{O}\)와 점 \(\mathrm{A},\,\mathrm{P}\)가 같은 평면 위에 있는 것을 나타낸 것이다. 점 \(\mathrm{A}\)의 직선 \(\mathrm{OP}\)의 연장선에 내린 수선의 발을 \(\mathrm{H}\), \(\angle\mathrm{OAH}=\alpha\)라 하자. \(\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AO}}\)의 값이 최대가 되려면 \(\displaystyle\angle\mathrm{OAP}=\alpha-\frac{\pi}{6}\)이어야 한다. 이때 \(\displaystyle\overline{\mathrm{AH}}=1\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2},\,\overline{\mathrm{OA}}=3\)이므로 \(\displaystyle\cos\alpha=\frac{\sqrt{3}}{6},\,\sin\alpha=\frac{\sqrt{33}}{6}\)이고$$\cos\left(\alpha-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{6}\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{33}}{6}\frac{1}{2}=\frac{3+\sqrt{33}}{12}$$이므로 따라서 \(\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AO}}\)의 최댓값은 \(\displaystyle3\cdot1\cdot\frac{3+\sqrt{33}}{12}=\frac{3+\sqrt{33}}{4}\)이다. 이제 \(\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\)의 최댓값을 구하면 되는데 이 값이 최대이려면 \(\overrightarrow{\mathrm{AP}}\)와 \(\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\)의 방향이 일치하면 되고 따라서 \(\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\)의 최댓값은 \(1\)이다. 그러면 \(\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AQ}}\)의 최댓값은 \(\displaystyle1+\frac{3+\sqrt{33}}{4}=\frac{7}{4}+\frac{1}{4}\sqrt{33}\)이고 \(\displaystyle a=\frac{7}{4},\,b=\frac{1}{4}\)이므로 따라서 \(16(a^{2}+b^{2})=7^{2}+1^{2}=49+1=50\)이다. |
이 두 문제의 공통점은 움직이는 점이 있고 문제를 풀 때 움직이는 점을 포함하는 벡터로 분해한다는 점이다.
