[미적분] 2010학년도 9월 수능모의평가 수리 가형 24번, 2011학년도 6월 수능모의평가 수리 가형 12번

2010학년도 9월 수능모의평가 수리 가형 24번, 2011학년도 6월 수능모의평가 수리 가형 12번

다항함수 $f(x)$가 $f(a)=l$이고 직선 $y=l$에 접하면 $f'(a)=0$이고 $f(x)=(x-a)^{2}g(x)+l$($g(x)$는 $f(x)$보다 두 차수 낮은 다항함수)이다. 특히 $f(x)$가 $x=a$에서 $x$축에 접하면 $f(x)$는 $(x-a)^{2}$를 인수로 갖는다.

다음은 2010학년도 9월 모의평가 수리 가형 24번 문제이다.

다음 조건을 만족시키는 모든 사차함수 $y=f(x)$의 그래프가 항상 지나는 점들의 $y$좌표의 합을 구하시오. [4점] (가) $f(x)$의 최고차항의 계수는 $1$이다. (나) 곡선 $y=f(x)$가 점 $2,\,f(2)$에서 직선 $y=2$에 접합다. (다) $f'(0)=0$ 풀이: 조건 (가)에 의해 사차함수의 최고차항의 계수는 1이고 조건 (나)에 의해 다음이 성립한다. $$f(x)=(x-2)^{2}(x^{2}+ax+b)+2$$ 여기서 $a$와 $b$는 상수이다. $f'(x)=2(x-2)(x^{2}+ax+b)+(x-2)^{2}(2x+a)$이고 조건 (나)에 의해 $f'(0)=0$이므로 $f'(0)=-4b+4a=0$이고 $a=b$이다. 그러면 $$f(x)=(x-2)^{2}(x^{2}+ax+a)+2=(x-2)^{2}(x^{2}+a(x+1))+2$$ 이므로 이 사차함수는 항상 점 $(-1,\,11)$과 $(2,\,2)$를 항상 지난다. 따라서 사차함수 $y=f(x)$의 그래프가 항상 지나는 점들의 $y$좌표의 합은 $2+11=13$이다.

다음은 2011학년도 6월 모의평가 수리 가형 12번 문제이다. 사차방정식의 근과 관련된 문제이다.

서로 다른 두 실수 $\alpha,\,\beta$가 사차방정식 $f(x)=0$의 근일 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [4점] <보기> ㄱ. $f'(\alpha)=0$이면 다항식 $f(x)$는 $(x-\alpha)^{2}$로 나누어 떨어진다. ㄴ. $f'(\alpha)f'(\beta)=0$이면 방정식 $f(x)=0$은 허근을 갖지 않는다. ㄷ. $f'(\alpha)f'(\beta)>0$이면 방정식 $f(x)=0$은 서로 다른 네 실근을 가진다. 풀이: $\alpha,\,\beta$는 사차방정식 $f(x)=0$의 근이므로 $f(\alpha)=0,\,f(\beta)=0$이고 $f(x)$는 사차다항식이다. ㄱ. $f(\alpha)=f'(\alpha)=0$이므로 다항식 $f(x)$는 $(x-\alpha)^{2}$를 인수로 갖고 따라서 $(x-\alpha)^{2}$로 나누어 떨어진다. ㄴ. $f'(\alpha)f'(\beta)=0$이면 $f'(\alpha)=0$ 또는 $f'(\beta)=0$이고 $f(\alpha)=f(\beta)=0$이므로 $$f(x)=(x-\alpha)^{2}(x-\beta)(ax+b)\,(a\neq0)$$ 또는 $$f(x)=(x-\alpha)(x-\beta)^{2}(ax+b)\,(a\neq0)$$ 이고 따라서 방정식 $f(x)=0$은 허근을 갖지 않는다. ㄷ. $f'(\alpha)f'(\beta)>0$이면 $f'(\alpha)>0,\,f'(\beta)>0$또는 $f'(\alpha)<0,\,f'(\beta)<0$이고 사차함수 $y=f(x)$는 2개의 극댓값, 1개의 극솟값 또는 2개의 극솟값, 1개의 극댓값을 갖는 사차함수이다. $f(\alpha)=f(\beta)=0$이므로 $0$은 $f(x)$의 극댓값과 극솟값 사이에 있고 따라서 방정식 $f(x)=0$은 서로 다른 네 실근을 가진다. ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다.