2010학년도 9월 수능모의평가 수리 가형 24번, 2011학년도 6월 수능모의평가 수리 가형 12번
다항함수 \(f(x)\)가 \(f(a)=l\)이고 직선 \(y=l\)에 접하면 \(f'(a)=0\)이고 \(f(x)=(x-a)^{2}g(x)+l\)(\(g(x)\)는 \(f(x)\)보다 두 차수 낮은 다항함수)이다. 특히 \(f(x)\)가 \(x=a\)에서 \(x\)축에 접하면 \(f(x)\)는 \((x-a)^{2}\)를 인수로 갖는다.
다음은 2010학년도 9월 모의평가 수리 가형 24번 문제이다.
다음 조건을 만족시키는 모든 사차함수 \(y=f(x)\)의 그래프가 항상 지나는 점들의 \(y\)좌표의 합을 구하시오. [4점]
풀이: 조건 (가)에 의해 사차함수의 최고차항의 계수는 1이고 조건 (나)에 의해 다음이 성립한다. $$f(x)=(x-2)^{2}(x^{2}+ax+b)+2$$ 여기서 \(a\)와 \(b\)는 상수이다. \(f'(x)=2(x-2)(x^{2}+ax+b)+(x-2)^{2}(2x+a)\)이고 조건 (나)에 의해 \(f'(0)=0\)이므로 \(f'(0)=-4b+4a=0\)이고 \(a=b\)이다. 그러면$$f(x)=(x-2)^{2}(x^{2}+ax+a)+2=(x-2)^{2}(x^{2}+a(x+1))+2$$이므로 이 사차함수는 항상 점 \((-1,\,11)\)과 \((2,\,2)\)를 항상 지난다. 따라서 사차함수 \(y=f(x)\)의 그래프가 항상 지나는 점들의 \(y\)좌표의 합은 \(2+11=13\)이다. |
다음은 2011학년도 6월 모의평가 수리 가형 12번 문제이다. 사차방정식의 근과 관련된 문제이다.
서로 다른 두 실수 \(\alpha,\,\beta\)가 사차방정식 \(f(x)=0\)의 근일 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [4점]
풀이: \(\alpha,\,\beta\)는 사차방정식 \(f(x)=0\)의 근이므로 \(f(\alpha)=0,\,f(\beta)=0\)이고 \(f(x)\)는 사차다항식이다. ㄱ. \(f(\alpha)=f'(\alpha)=0\)이므로 다항식 \(f(x)\)는 \((x-\alpha)^{2}\)를 인수로 갖고 따라서 \((x-\alpha)^{2}\)로 나누어 떨어진다. ㄴ. \(f'(\alpha)f'(\beta)=0\)이면 \(f'(\alpha)=0\) 또는 \(f'(\beta)=0\)이고 \(f(\alpha)=f(\beta)=0\)이므로$$f(x)=(x-\alpha)^{2}(x-\beta)(ax+b)\,(a\neq0)$$또는$$f(x)=(x-\alpha)(x-\beta)^{2}(ax+b)\,(a\neq0)$$이고 따라서 방정식 \(f(x)=0\)은 허근을 갖지 않는다. ㄷ. \(f'(\alpha)f'(\beta)>0\)이면 \(f'(\alpha)>0,\,f'(\beta)>0\)또는 \(f'(\alpha)<0,\,f'(\beta)<0\)이고 사차함수 \(y=f(x)\)는 2개의 극댓값, 1개의 극솟값 또는 2개의 극솟값, 1개의 극댓값을 갖는 사차함수이다. \(f(\alpha)=f(\beta)=0\)이므로 \(0\)은 \(f(x)\)의 극댓값과 극솟값 사이에 있고 따라서 방정식 \(f(x)=0\)은 서로 다른 네 실근을 가진다. ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다. |
