[수열의 극한] 2010학년도 9월 수능모의평가 수리 가, 나형 공통 17번, 2011학년도 6월 수능모의평가 수리 나형 16번

2010학년도 9월 수능모의평가 수리 가, 나형 공통 17번, 2011학년도 6월 수능모의평가 수리 나형 16번

이 문제는 주어진 상황에서 귀납적으로 정의되는 수열의 점화식을 찾아낸 다음 극한을 취해서 극한값을 구하는 문제이다.

다음은 2010학년도 9월 모의평가 수리 가, 나형 공통 17번 문제이다.

자연수 $n$에 대하여 점 $\mathrm{A}_{n}$이 함수 $y=4^{x}$의 그래프 위의 점일 때, 점 $A_{n+1}$을 다음 규칙에 따라 정한다. (가) 점 $\mathrm{A}_{1}$의 좌표는 $(a,\,4^{a})$이다. (나) (1) 점 $\mathrm{A}_{n}$을 지나고 $x$축에 평행한 직선이 직선 $y=2x$와 만나는 점을 $\mathrm{P}_{n}$이라 한다.      (2) 점 $\mathrm{P}_{n}$을 지나고 $y$축에 평행한 직선이 곡선 $y=\log_{4}{x}$와 만나는 점을 $\mathrm{B}_{n}$이라 한다.     (3) 점 $\mathrm{B}_{n}$을 지나고 $x$축에 평행한 직선이 직선 $y=2x$와 만나는 점을 $\mathrm{Q}_{n}$이라 한다.     (4) 점 $\mathrm{Q}_{n}$을 지나고 $y$축에 평행한 직선이 곡선 $y=4^{x}$과 만나는 점을 $\mathrm{A}_{n+1}이라 한다.$ 점 $\mathrm{A}_{n}$의 $x$좌표를 $x_{n}$이라 할 때, $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{x_{n}}$의 값은? [4점] 풀이: 점 $A_{1}$의 $x$좌표 $x_{1}$에 대해 문제의 규칙을 적용하자. 점 $\mathrm{A}_{1}$의 $y$좌표는 $4^{x_{1}}$, 점 $\mathrm{P}_{1}$은 직선 $y=2x$위의 점이므로 $\mathrm{P}_{1}$의 $x$좌표는 $\displaystyle\frac{1}{2}4^{x_{1}}$이다. 점 $\mathrm{P}_{1}$과 점 $\mathrm{B}_{1}$의 $x$좌표는 같으므로 점 $\mathrm{B}_{1}$의 $y$좌표는 $\displaystyle\log_{4}\left(\frac{1}{2}4^{x_{1}}\right)$이고 이때 점 $\mathrm{Q}_{1}$과 점 $A_{2}$의 $x$좌표가 같으므로 $\displaystyle2x_{2}=\log_{4}\left(\frac{1}{2}4^{x_{1}}\right)=-\frac{1}{2}+x_{1}$이고 식을 정리하면 다음의 식을 얻는다. $$x_{2}=\frac{1}{2}x_{1}-\frac{1}{4}$$ 그러면 수열 $x_{n}$의 점화식은 $$x_{n+1}=\frac{1}{2}x_{n}-\frac{1}{4}$$ 이고 $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{x_{n}}=\alpha$라 하고 점화식의 양 변에 극한을 취하면 $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{x_{n}}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{x_{n+1}}=\alpha$이므로 $$\alpha=\frac{1}{2}\alpha-\frac{1}{4}$$ 이고 따라서 $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{x_{n}}=\alpha=-\frac{1}{2}$이다.

이 문제에서 $x_{1}=a$의 값에 대해 관심을 가질 필요가 없다. 극한을 구하면 되는 문제다.

다음은 2011학년도 6월 모의평가 수리 나형 16번 문제이다.

자연수 $n$에 대하여 점 $\mathrm{P}_{n}$이 $x$축 위의 점일 때, 점 $\mathrm{P}_{n+1}$을 다음 규칙에 따라 정한다. (가) 점 $\mathrm{P}_{1}$의 좌표는 $(a_{1},\,0)\,(0<a_{1}<2)$이다. (나) (1) 점 $\mathrm{P}_{n}$을 지나고 $y$축에 평행한 직선이 직선 $y=-x+2$와 만나는 점을 $\mathrm{A}_{n}$이라 한다.     (2) 점 $\mathrm{A}_{n}$을 지나고 $x$축에 평행한 직선이 직선 $y=4x+4$와 만나는 점을 $\mathrm{B}_{n}$이라 한다.     (3) 점 $\mathrm{B}_{n}$을 지나고 $y$축에 평행한 직선이 $x$축과 만나는 점을 $\mathrm{C}_{n}$이라 한다.     (4) 점 $\mathrm{C}_{n}$을 $y$축에 대하여 대칭이동한 점을 $\mathrm{P}_{n+1}$이라 한다. 점 $\mathrm{P}_{n}$의 $x$좌표를 $a_{n}$이라 할 때, $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{a_{n}}$의 값은? [4점] 풀이: 점 $\mathrm{A}_{1}$의 $x$좌표 $a_{1}$에 대해 문제의 규칙을 적용하자. 점 $\mathrm{A}_{1}$과 $\mathrm{B}_{1}$의 $y$좌표가 같으므로 점 $\mathrm{B}_{1}$의 $x$좌표는 $\displaystyle-\frac{1}{4}(a_{1}+2)$이다. 점 $\mathrm{B}_{1}$과 점 $\mathrm{C}_{1}$의 $x$좌표는 같으므로 $\mathrm{C}_{1}$의 $x$좌표는 $\displaystyle-\frac{1}{4}(a_{1}+2)$이고 점 $\mathrm{P}_{2}$는 점 $\mathrm{C}_{1}$을 $y$축에 대해 대칭이동한 점이므로 $\displaystyle a_{2}=\frac{1}{4}(a_{1}+2)$이고 식을 정리하면 다음의 식을 얻는다. $$a_{2}=\frac{1}{4}a_{1}+\frac{1}{2}$$ 그러면 수열 $a_{n}$의 점화식은 $$a_{n+1}=\frac{1}{4}a_{n}+\frac{1}{2}$$ 이고 $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{a_{n}}=\alpha$라 하고 점화식의 양 변에 극한을 취하면 $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{a_{n}}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{a_{n+1}}=\alpha$이므로 $$\alpha=\frac{1}{4}\alpha+\frac{1}{2}$$ 이고 따라서 $\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{a_{n}}=\alpha=\frac{2}{3}$이다.

이 문제에서 $a_{1}$의 값에 대해 관심을 가질 필요가 없다. 극한을 구하면 되는 문제다.