2010학년도 9월 수능모의평가 수리 가, 나형 공통 17번, 2011학년도 6월 수능모의평가 수리 나형 16번
이 문제는 주어진 상황에서 귀납적으로 정의되는 수열의 점화식을 찾아낸 다음 극한을 취해서 극한값을 구하는 문제이다.
다음은 2010학년도 9월 모의평가 수리 가, 나형 공통 17번 문제이다.
자연수 \(n\)에 대하여 점 \(\mathrm{A}_{n}\)이 함수 \(y=4^{x}\)의 그래프 위의 점일 때, 점 \(A_{n+1}\)을 다음 규칙에 따라 정한다.
점 \(\mathrm{A}_{n}\)의 \(x\)좌표를 \(x_{n}\)이라 할 때, \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{x_{n}}\)의 값은? [4점] 풀이: 점 \(A_{1}\)의 \(x\)좌표 \(x_{1}\)에 대해 문제의 규칙을 적용하자. 점 \(\mathrm{A}_{1}\)의 \(y\)좌표는 \(4^{x_{1}}\), 점 \(\mathrm{P}_{1}\)은 직선 \(y=2x\)위의 점이므로 \(\mathrm{P}_{1}\)의 \(x\)좌표는 \(\displaystyle\frac{1}{2}4^{x_{1}}\)이다. 점 \(\mathrm{P}_{1}\)과 점 \(\mathrm{B}_{1}\)의 \(x\)좌표는 같으므로 점 \(\mathrm{B}_{1}\)의 \(y\)좌표는 \(\displaystyle\log_{4}\left(\frac{1}{2}4^{x_{1}}\right)\)이고 이때 점 \(\mathrm{Q}_{1}\)과 점 \(A_{2}\)의 \(x\)좌표가 같으므로 \(\displaystyle2x_{2}=\log_{4}\left(\frac{1}{2}4^{x_{1}}\right)=-\frac{1}{2}+x_{1}\)이고 식을 정리하면 다음의 식을 얻는다. $$x_{2}=\frac{1}{2}x_{1}-\frac{1}{4}$$그러면 수열 \(x_{n}\)의 점화식은$$x_{n+1}=\frac{1}{2}x_{n}-\frac{1}{4}$$이고 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{x_{n}}=\alpha\)라 하고 점화식의 양 변에 극한을 취하면 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{x_{n}}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{x_{n+1}}=\alpha\)이므로$$\alpha=\frac{1}{2}\alpha-\frac{1}{4}$$이고 따라서 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{x_{n}}=\alpha=-\frac{1}{2}\)이다. |
이 문제에서 \(x_{1}=a\)의 값에 대해 관심을 가질 필요가 없다. 극한을 구하면 되는 문제다.
다음은 2011학년도 6월 모의평가 수리 나형 16번 문제이다.
자연수 \(n\)에 대하여 점 \(\mathrm{P}_{n}\)이 \(x\)축 위의 점일 때, 점 \(\mathrm{P}_{n+1}\)을 다음 규칙에 따라 정한다.
점 \(\mathrm{P}_{n}\)의 \(x\)좌표를 \(a_{n}\)이라 할 때, \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{a_{n}}\)의 값은? [4점] 풀이: 점 \(\mathrm{A}_{1}\)의 \(x\)좌표 \(a_{1}\)에 대해 문제의 규칙을 적용하자. 점 \(\mathrm{A}_{1}\)과 \(\mathrm{B}_{1}\)의 \(y\)좌표가 같으므로 점 \(\mathrm{B}_{1}\)의 \(x\)좌표는 \(\displaystyle-\frac{1}{4}(a_{1}+2)\)이다. 점 \(\mathrm{B}_{1}\)과 점 \(\mathrm{C}_{1}\)의 \(x\)좌표는 같으므로 \(\mathrm{C}_{1}\)의 \(x\)좌표는 \(\displaystyle-\frac{1}{4}(a_{1}+2)\)이고 점 \(\mathrm{P}_{2}\)는 점 \(\mathrm{C}_{1}\)을 \(y\)축에 대해 대칭이동한 점이므로 \(\displaystyle a_{2}=\frac{1}{4}(a_{1}+2)\)이고 식을 정리하면 다음의 식을 얻는다. $$a_{2}=\frac{1}{4}a_{1}+\frac{1}{2}$$ 그러면 수열 \(a_{n}\)의 점화식은$$a_{n+1}=\frac{1}{4}a_{n}+\frac{1}{2}$$이고 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{a_{n}}=\alpha\)라 하고 점화식의 양 변에 극한을 취하면 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{a_{n}}=\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{a_{n+1}}=\alpha\)이므로$$\alpha=\frac{1}{4}\alpha+\frac{1}{2}$$이고 따라서 \(\displaystyle\lim_{n\,\rightarrow\,\infty}{a_{n}}=\alpha=\frac{2}{3}\)이다. |
이 문제에서 \(a_{1}\)의 값에 대해 관심을 가질 필요가 없다. 극한을 구하면 되는 문제다.
