[삼각함수] 2012학년도 9월 수능모의평가 수리 가형 27번, 2012학년도 수능(11월) 수리 가형 20번
2012학년도 9월 모의평가 이전까지만 해도 순수한 삼각함수 문제는 거의 3점 문제로 출제되었다. 2012학년도 9월 모의평가와 수능에서는 4점짜리 문제로 출제되었다. 삼각함수의 덧셈공식과 합성공식을 이용하는 문제이다.
다음은 2012학년도 9월 모의평가 수리 가형 27번 문제이다. 아주 쉬운 문제다.
평면에 있는 사각형 \(\mathrm{ABCD}\)가$$\overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{AD}}=1,\,\overline{\mathrm{BC}}=\overline{\mathrm{CD}}=\overline{\mathrm{DB}}$$를 만족시킨다. \(\angle\mathrm{DAB}=\theta\)라 할 때, 사각형 \(\mathrm{ABCD}\)의 넓이가 최대가 되도록 하는 \(\theta\)에 대하여 \(60\sin^{2}\theta\)의 값을 구하시오. [4점] 풀이: \(\overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{AD}}=1\)이므로 \(\displaystyle\overline{\mathrm{CD}}=\overline{\mathrm{CB}}=\overline{\mathrm{BD}}=2\sin\frac{\theta}{2}\)이고 따라서 삼각형 \(\mathrm{ADB}\)의 넓이는 \(\displaystyle\frac{1}{2}\times1^{2}\times\sin\theta=\frac{1}{2}\sin\theta\)이고 정삼각형 \(\mathrm{CDB}\)의 넓이는 \(\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{4}\left(2\sin\frac{\theta}{2}\right)^{2}=\sqrt{3}\sin^{2}\frac{\theta}{2}=\sqrt{3}\frac{1-\cos\theta}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta\)이다. 그러면 사각형 \(\mathrm{ABCD}\)의 넓이는$$\frac{1}{2}\sin\theta-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta+\frac{\sqrt{3}}{2}=\sin\left(\theta-\frac{\pi}{3}\right)+\frac{\sqrt{3}}{2}$$이고 이 값이 최대가 되려면 \(\displaystyle\theta-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}\)가 되어야 한다. 즉 \(\displaystyle\theta=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{2}=\frac{5}{6}\pi\)이어야 한다. 따라서 \(\displaystyle60\sin^{2}\theta=60\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=15\)이다. |
다음은 2012학년도 수능 수리 가형 20번 문제이다. 조금 복잡하다.
좌표평면에서 직선 \(y=mx\,(0<m<\sqrt{3})\)가 \(x\)축과 이루는 예각의 크기를 \(\theta_{1}\), 직선 \(y=mx\)가 직선 \(y=\sqrt{3}x\)와 이루는 예각의 크기를 \(\theta_{2}\)라 하자. \(3\sin\theta_{1}+4\sin\theta_{2}\)의 값이 최대가 되도록 하는 \(m\)의 값은? [4점] 풀이: 직선 \(y=mx,\,y=\sqrt{3}x\)는 원점을 지나는 직선이고 \(\displaystyle\tan\theta_{1}=m,\,\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}\)이므로 \(\displaystyle\theta_{1}+\theta_{2}=\frac{\pi}{3}\)이다. 그러면$$3\sin\theta_{1}+4\sin\theta_{2}=3\sin\theta_{1}+4\sin\left(\frac{\pi}{3}-\theta_{1}\right)=\sin\theta_{1}+2\sqrt{3}\cos\theta_{1}=\sqrt{13}\sin\left(\theta_{1}+\alpha\right)$$이고 이때\(\displaystyle\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{13}},\,\sin\alpha=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{13}}\)이다. \(3\sin\theta_{1}+4\sin\theta_{2}=\sqrt{13}\sin(\theta_{1}+\alpha)\)이므로 이 값이 최대가 되려면 \(\displaystyle\theta_{1}+\alpha=\frac{\pi}{2}\)이어야 한다. 그러면 \(\displaystyle\sin\theta_{1}=\sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{13}},\,\cos\theta_{1}=\cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\sin\alpha=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{13}}\)이고 따라서$$m=\tan\theta_{1}=\frac{\sin\theta_{1}}{\cos\theta_{1}}=\frac{1}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{6}$$이다. |
