[수열] 2011학년도 9월 수능모의평가 수리 가, 나형 공통 17번, 2011학년도 수능(11월) 수리 가, 나형 공통 15번

2011학년도 9월 수능모의평가 수리 가, 나형 공통 17번, 2011학년도 수능(11월) 수리 가, 나형 공통 15번

수능에서 수학적귀납법 문제는 2011학년도 6월 모의평가를 마지막으로 더 이상 출제되지 않는 대신 이 문제의 자리에는 수열의 일반항을 구하는 과정에서 빈칸을 채우는 문제로 대체되었다.

다음은 2011학년도 9월 모의평가 수리 가, 나형 공통 17번 문제이다.

수열 $\{a_{n}\}$은 $a_{1}=1$이고 $$a_{n}=n^{2}+\sum_{k=1}^{n-1}{(2k+1)a_{k}}\,(n\geq2)$$ 를 만족시킨다. 다음은 일반항 $a_{n}$을 구하는 과정의 일부이다. 주어진 식으로부터 $a_{2}=7$이다. 자연수 $n(n\geq3)$에 대하여 $$\begin{align*}a_{n}&=n^{2}+\sum_{k=1}^{n-1}{(2k+1)a_{k}}\\&=n^{2}+\sum_{k=1}^{n-2}{(2k+1)a_{k}}+(2n-1)a_{n-1}\\&=n^{2}+a_{n-1}-[(가)]+(2n-1)a_{n-1}\end{align*}$$ 이므로, $a_{n}+1=2n(a_{n-1}+1)$이 성립한다. 따라서 $$a_{n}+1=n\times(n-1)\times\cdots\times3\times[(나)]\times(a_{2}+1)=4\times n!\times[(나)]$$ 이다. 위의 (가)에 알맞은 식을 $f(n)$, (나)에 알맞은 식을 $g(n)$이라 할 때, $f(9)\times g(9)$의 값은? [4점] 풀이: $\displaystyle a_{n-1}=(n-1)^{2}+\sum_{k=1}^{n-2}{(2k+1)a_{k}}$이므로 $\displaystyle\sum_{k=1}^{n-2}{(2k+1)a_{k}}=a_{n-1}-(n-1)^{2}$이다. 그러면 $a_{n}=n^{2}+(a_{n-1}-(n-1)^{2})+(2n-1)a_{n-1}$이므로 따라서 (가)에 알맞은 식은 $(n-1)^{2}$이고 $f(n)=(n-1)^{2}$이다. $a_{n}+1=2n(a_{n-1}+1)$이므로 $$\begin{align*}a_{n}+1&=2n(2(n-1))(a_{n-2}+1)=2n(2(n-1))(2(n-2))(a_{n-3}+1)=2n(2(n-1))(2(n-2))\cdots(2\cdot3)(a_{2}+1)\\&=2^{n-2}\times n!\times 4\end{align*}$$ 이고 따라서 (나)에 알맞은 식은 $2^{n-2}$이고 $g(n)=2^{n-2}$이다. $f(9)=(9-1)^{2}=8^{2}=2^{6},\,g(9)=2^{9-2}=2^{7}$이므로 따라서 $f(9)\times g(9)=2^{6}\times 2^{7}=2^{13}$이다.

문제를 푸는 방식은 수학적귀납법과 동일하다.

다음은 2011학년도 수능 수리 가, 나형 공통 15번 문제이다.

수열 $\{a_{n}\}$은 $a_{1}=1$이고, $$a_{n+1}=n+1+\frac{(n-1)!}{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}\,(n\geq1)$$ 을 만족시킨다. 다음은 일반항 $a_{n}$을 구하는 과정의 일부이다. 모든 자연수 $n$에 대하여 $$a_{1}a_{2}\cdots a_{n}a_{n+1}=a_{1}a_{2}\cdots a_{n}\times(n+1)+(n-1)!$$ 이다. $\displaystyle b_{n}=\frac{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}{n!}$이라 하면 $b_{1}=1$이고 $$b_{n+1}=b_{n}+[(가)]$$ 이다. 수열 $\{b_{n}\}$의 일반항을 구하면 $b_{n}=[(나)]$이므로 $\displaystyle\frac{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}{n!}=[(나)]$이다. $\vdots$ 따라서 $a_{1}=1$이고, $\displaystyle a_{n}=\frac{(n-1)(2n-1)}{(2n-3)}\,(n\geq2)$이다. 위의 (가)에 알맞은 식을 $f(n)$, (나)에 알맞은 식을 $g(n)$이라 할 때, $f(13)\times g(7)$의 값은? [4점] 풀이: $\displaystyle b_{n}=\frac{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}{n!}$이라 하면 $\displaystyle b_{n+1}=\frac{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}a_{n+1}}{(n+1)!},\,a_{1}a_{2}\cdots a_{n}a_{n+1}=a_{1}a_{2}\cdots a_{n}\times(n+1)+(n-1)!$이므로 $(n+1)!b_{n+1}=n!b_{n}(n+1)+(n-1)!=(n+1)!b_{n}+(n-1)!$이고 $$b_{n+1}=b_{n}+\frac{1}{n(n+1)}$$ 이다. 그러므로 (가)에 알맞은 식은 $\displaystyle\frac{1}{n(n+1)}$이고 $\displaystyle f(n)=\frac{1}{n(n+1)}$이다. $\displaystyle b_{n+1}-b_{n}=\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1},\,b_{1}=1$이므로 $$b_{n}-1=b_{n}-b_{1}=\sum_{k=1}^{n-1}{(b_{k+1}-b_{k})}=\sum_{k=1}^{n-1}{\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)}=1-\frac{1}{n}$$ 이고 $\displaystyle b_{n}=1+1-\frac{1}{n}=\frac{2n-1}{n}$이다. 즉 $\displaystyle\frac{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}{n!}=\frac{2n-1}{n}$이므로 (나)에 알맞은 식은 $\displaystyle\frac{2n-1}{n}$이고 $\displaystyle g(n)=\frac{2n-1}{n}$이다. $\displaystyle f(13)=\frac{1}{13\times 14},\,g(7)=\frac{2\times7-1}{7}=\frac{13}{7}$이므로 따라서 $\displaystyle f(13)\times g(7)=\frac{1}{14\times7}=\frac{1}{98}$이다.

다시 말하지만 푸는 방법은 수학적귀납법과 동일하다.