2011학년도 9월 수능모의평가 수리 가, 나형 공통 17번, 2011학년도 수능(11월) 수리 가, 나형 공통 15번
수능에서 수학적귀납법 문제는 2011학년도 6월 모의평가를 마지막으로 더 이상 출제되지 않는 대신 이 문제의 자리에는 수열의 일반항을 구하는 과정에서 빈칸을 채우는 문제로 대체되었다.
다음은 2011학년도 9월 모의평가 수리 가, 나형 공통 17번 문제이다.
수열 \(\{a_{n}\}\)은 \(a_{1}=1\)이고 $$a_{n}=n^{2}+\sum_{k=1}^{n-1}{(2k+1)a_{k}}\,(n\geq2)$$ 를 만족시킨다. 다음은 일반항 \(a_{n}\)을 구하는 과정의 일부이다.
위의 (가)에 알맞은 식을 \(f(n)\), (나)에 알맞은 식을 \(g(n)\)이라 할 때, \(f(9)\times g(9)\)의 값은? [4점] 풀이: \(\displaystyle a_{n-1}=(n-1)^{2}+\sum_{k=1}^{n-2}{(2k+1)a_{k}}\)이므로 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n-2}{(2k+1)a_{k}}=a_{n-1}-(n-1)^{2}\)이다. 그러면 \(a_{n}=n^{2}+(a_{n-1}-(n-1)^{2})+(2n-1)a_{n-1}\)이므로 따라서 (가)에 알맞은 식은 \((n-1)^{2}\)이고 \(f(n)=(n-1)^{2}\)이다. \(a_{n}+1=2n(a_{n-1}+1)\)이므로$$\begin{align*}a_{n}+1&=2n(2(n-1))(a_{n-2}+1)=2n(2(n-1))(2(n-2))(a_{n-3}+1)=2n(2(n-1))(2(n-2))\cdots(2\cdot3)(a_{2}+1)\\&=2^{n-2}\times n!\times 4\end{align*}$$이고 따라서 (나)에 알맞은 식은 \(2^{n-2}\)이고 \(g(n)=2^{n-2}\)이다. \(f(9)=(9-1)^{2}=8^{2}=2^{6},\,g(9)=2^{9-2}=2^{7}\)이므로 따라서 \(f(9)\times g(9)=2^{6}\times 2^{7}=2^{13}\)이다. |
문제를 푸는 방식은 수학적귀납법과 동일하다.
다음은 2011학년도 수능 수리 가, 나형 공통 15번 문제이다.
수열 \(\{a_{n}\}\)은 \(a_{1}=1\)이고, $$a_{n+1}=n+1+\frac{(n-1)!}{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}\,(n\geq1)$$ 을 만족시킨다. 다음은 일반항 \(a_{n}\)을 구하는 과정의 일부이다.
위의 (가)에 알맞은 식을 \(f(n)\), (나)에 알맞은 식을 \(g(n)\)이라 할 때, \(f(13)\times g(7)\)의 값은? [4점] 풀이: \(\displaystyle b_{n}=\frac{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}{n!}\)이라 하면 \(\displaystyle b_{n+1}=\frac{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}a_{n+1}}{(n+1)!},\,a_{1}a_{2}\cdots a_{n}a_{n+1}=a_{1}a_{2}\cdots a_{n}\times(n+1)+(n-1)!\)이므로 \((n+1)!b_{n+1}=n!b_{n}(n+1)+(n-1)!=(n+1)!b_{n}+(n-1)!\)이고$$b_{n+1}=b_{n}+\frac{1}{n(n+1)}$$이다. 그러므로 (가)에 알맞은 식은 \(\displaystyle\frac{1}{n(n+1)}\)이고 \(\displaystyle f(n)=\frac{1}{n(n+1)}\)이다. \(\displaystyle b_{n+1}-b_{n}=\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1},\,b_{1}=1\)이므로$$b_{n}-1=b_{n}-b_{1}=\sum_{k=1}^{n-1}{(b_{k+1}-b_{k})}=\sum_{k=1}^{n-1}{\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)}=1-\frac{1}{n}$$이고 \(\displaystyle b_{n}=1+1-\frac{1}{n}=\frac{2n-1}{n}\)이다. 즉 \(\displaystyle\frac{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}{n!}=\frac{2n-1}{n}\)이므로 (나)에 알맞은 식은 \(\displaystyle\frac{2n-1}{n}\)이고 \(\displaystyle g(n)=\frac{2n-1}{n}\)이다. \(\displaystyle f(13)=\frac{1}{13\times 14},\,g(7)=\frac{2\times7-1}{7}=\frac{13}{7}\)이므로 따라서 \(\displaystyle f(13)\times g(7)=\frac{1}{14\times7}=\frac{1}{98}\)이다. |
다시 말하지만 푸는 방법은 수학적귀납법과 동일하다.
