[미적분] 2011학년도 수능(11월) 수리 가형 17번, 2014학년도 9월 수능모의평가 수학 B형 30번

2011학년도 수능(11월) 수리 가형 17번, 2014학년도 9월 수능모의평가 수학 B형 30번

여기서 다룰 문제는 색다른(?) 적분 문제이다. 2011학년도 수능 수리 가형 17번 문제는 속도-이동거리 문제에 수학 내적 문제를 결합해서 출제되었고 2014학년도 9월 모의평가 수학 B형 30번 문제는 적분변수가 바뀐 상황을 치환적분을 이용하여 해결하는 문제가 출제되었다.

먼저 2011학년도 수능 수리 가형 17번 문제다. ㄱ, ㄴ 보기는 쉬워도 ㄷ보기가 조금 어려울 것이다.

원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 $\mathrm{P}$의 시각 $t\,(0\leq t\leq5)$에서의 속도 $v(t)$가 다음과 같다. $$v(t)=\begin{cases}4t\,&(0\leq t<1)\\-2t+6\,&(1\leq t<3)\\t-3\,&(3\leq t\leq5)\end{cases}$$ $0<x<3$인 실수 $x$에 대하여 점 $\mathrm{P}$가      시각 $t=0$에서 시각 $t=x$까지 움직인 거리,     시각 $t=x$에서 시각 $t=x+2$까지 움직인 거리,     시각 $t=x+2$에서 시각 $t=5$까지 움직인 거리 중에서 최소인 값을 $f(x)$라 할 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [4점] ㄱ. $f(1)=2$ ㄴ. $\displaystyle f(2)-f(1)=\int_{1}^{2}{v(t)dt}$ ㄷ. 함수 $f(x)$는 $x=1$에서 미분가능하다. 풀이: 우선 $0\leq t\leq 5$에서 시각 $t$에 대한 속도 $v(t)$의 그래프는 다음과 같다. ㄱ: 시각 $t=0$에서 시각 $t=1$까지 움직인 거리는 $\displaystyle\int_{0}^{1}{v(t)dt}=2$, 시각 $t=1$에서 시각 $t=3$까지 움직인 거리는 $\displaystyle\int_{1}^{3}{v(t)dt}=4$, 시각 $t=3$에서 시각 $t=5$까지 움직인 거리는 $\displaystyle\int_{3}^{5}{v(t)dt}=2$이다. $2,\,4,\,2$중 가장 작은 것은 $2$이므로 따라서 $f(1)=2$이다. ㄴ: 시각 $t=0$에서 시각 $t=2$까지 움직인 거리는 $\displaystyle\int_{0}^{2}{v(t)dt}=5$, 시각 $t=2$에서 시각 $t=4$까지 움직인 거리는 $\displaystyle\int_{2}^{4}{v(t)dt}=\frac{3}{2}$, 시각 $t=4$에서 시각 $t=5$까지 움직인 거리는 $\displaystyle\int_{4}^{5}{v(t)dt}=\frac{3}{2}$이다. $\displaystyle5,\,\frac{3}{2},\,\frac{3}{2}$중 가장 작은 것은 $\displaystyle\frac{3}{2}$이므로 $\displaystyle f(2)=\frac{3}{2}$이다. 이때 $$\int_{1}^{2}{v(t)dt}=3$$ 이고 $$f(2)-f(1)=\frac{3}{2}-2=-\frac{1}{2}$$ 이므로 따라서 $\displaystyle f(2)-f(1)\neq\int_{1}^{2}{v(t)dt}$이다. ㄷ: $0<h<1$이라 하자. $1-h<x<1$일 때 $$\int_{0}^{x}{v(t)dt}<\int_{x+2}^{5}{v(t)dt}<\int_{x}^{x+2}{v(t)dt}$$ 이므로 $\displaystyle f(x)=\int_{0}^{x}{4tdt}=2x^{2}$이고 $1<x<1+h$일 때 $$\int_{x+2}^{5}{v(t)dt}<\int_{0}^{x}{v(t)dt}<\int_{x}^{x+2}{v(t)dt}$$ 이므로 $\displaystyle f(x)=\int_{x+2}^{5}{(t-3)dt}=-\frac{1}{2}x^{2}+x+\frac{3}{2}$이다. $$\lim_{x\,\rightarrow\,1-}{f(x)}=\lim_{x\,\rightarrow\,1-}{2x^{2}}=2,\,\lim_{x\,\rightarrow\,1+}{f(x)}=\lim_{x\,\rightarrow\,1+}{\left(-\frac{1}{2}x^{2}+x+\frac{3}{2}\right)}=2$$ 이고 ㄱ에 의해 $f(1)=2$이므로 $f(x)$는 $x=1$에서 연속이다. 그러나 $$\lim_{x\,\rightarrow\,1-}{\frac{f(x)-f(1)}{x-1}}=\lim_{x\,\rightarrow\,1-}{\frac{2x^{2}-2}{x-1}}=\lim_{x\,\rightarrow\,1-}{2(x+1)}=4,\\ \lim_{x\,\rightarrow\,1+}{\frac{f(x)-f(1)}{x-1}}=\lim_{x\,\rightarrow\,1+}{\frac{-x^{2}+2x-1}{2(x-1)}}=-\lim_{x\,\rightarrow\,1+}{\frac{1}{2}(x-1)}=0$$ 이므로 $f(x)$는 $x=1$에서 미분가능하지 않다. 옳은 것은 ㄱ 뿐이다.

ㄷ에서 $f(x)$의 $x=1$에서의 미분가능성을 따지려면 미분계수의 정의 $\displaystyle\lim_{x\,\rightarrow\,1}{\frac{f(x)-f(1)}{x-1}}$를 $1-$일때의 좌극한, $1+$일때의 우극한으로 나누어서 구한다.

다음은 2014학년도 9월 모의평가 수학 B형 30번 문제이다. 치환적분을 이용해서 적분변수가 바뀐 함수의 적분을 구한다.

두 연속함수 $f(x),\,g(x)$가 $$g(e^{x})=\begin{cases}f(x)\,&(0\leq x<1)\\g(e^{x-1})+5\,&(1\leq x\leq2)\end{cases}$$ 를 만족시키고, $\displaystyle\int_{1}^{e^{2}}{g(x)dx}=6e^{2}+4$이다. $\displaystyle\int_{1}^{e}{f(\ln x)dx}=ae+b$일 때, $a^{2}+b^{2}$의 값을 구하시오. (단, $a,\,b$는 정수이다.) [4점] 풀이: $e^{x}=t$라 하자. 그러면 $x=\ln t$이고   $$g(t)=\begin{cases}f(\ln t)\,&(1\leq t<e)\\g\left(\frac{1}{e}t\right)+5\,&(e\leq t\leq e^{2})\end{cases}$$ 이다. $\displaystyle\int_{1}^{e^{2}}{g(x)dx}=6e^{2}+4$이므로 $$\int_{1}^{e^{2}}{g(x)dx}=\int_{1}^{e}{f(\ln x)dx}+\int_{e}^{e^{2}}{\left\lbrace g\left(\frac{1}{e}x\right)+5\right\rbrace dx}=\int_{1}^{e}{f(\ln x)dx}+\int_{e}^{e^{2}}{g\left(\frac{1}{e}x\right)dx}+5e(e-1)=6e^{2}+4$$ 이고 $\displaystyle t=\frac{1}{e}x$라 하면 $\displaystyle \frac{dt}{dx}=\frac{1}{e}$이고 $$\int_{e}^{e^{2}}{g\left(\frac{1}{e}x\right)dx}=e\int_{1}^{e}{g(t)dt}=e\int_{1}^{e}{f(\ln t)dt}$$ 이므로 $$\left(1+e\right)\int_{1}^{e}{f(\ln x)dx}+5e^{2}-5e=6e^{2}+4$$ 이고 $$(e+1)\int_{1}^{e}{f(\ln x)dx}=e^{2}+5e+4=(e+1)(e+4)$$ 이므로 $$\int_{1}^{e}{f(\ln x)dx}=e+4$$ 이다. $a=1,\,b=4$이므로 따라서 $a^{2}+b^{2}=1^{2}+4^{2}=1+16=17$이다.

문제에 주어진 함수 $g(e^{x})$를 $t=e^{x}$로 놓고 $g(x)$로 바꿔서 $\displaystyle\int_{1}^{e^{2}}{g(x)dx}=6e^{2}+4$에 대입한 다음 치환적분을 이용해서 $\displaystyle\int_{1}^{e}{f(\ln x)dx}$의 값을 구한다.