3-12 위너 조건적분 공식

3-12 위너 조건적분 공식

여기서는 확률벡터 \(X\)에 대한 위너 조건적분을 정의하고 이에 대한 적분공식을 유도할 것이다.

\(X:C_{0}([0,\,t])\,\rightarrow\,\mathbb{R}^{n}\)를 위너 가측함수라 하자. \(X\)의 \(n\)차원 확률분포$$P_{X}(B)=\mathfrak{m}(X^{-1}[B]),\,B\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^{n})$$는 \((\mathbb{R}^{n},\,\mathcal{B}(\mathbb{R}^{n}))\)에서 확률측도이다.

\(Z:C_{0}([0,\,t])\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)를 위너 가측함수, \(E^{w}(|Z|)<\infty\)라 하자. 주어진 \(X\)에 대한 \(Z\)의 위너 조건적분, \(E^{w}(Z|X)\)는 다음을 만족하는 함수 \(\psi\)의 동치류이다.

(1) \(\psi:\mathbb{R}^{n}\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)는 보렐 가측이고, \(P_{X}-\)적분가능한 함수이다. 

(2) \(\displaystyle\int_{X^{-1}[B]}{Z(x)d\mathfrak{m}(x)}=\int_{B}{\psi(\xi)dP_{X}(\xi)},\,B\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^{n})\)

라돈-니코딤 정리에 의해 함수 \(\psi\)는 존재하고, \(P_{X}-\)영집합을 제외하고 유일하게 결정된다. \(E^{w}(Z|X)\)는 함수 \(\psi\)의 동치류와 같고, 따라서 다음이 성립한다.$$\begin{align*}\mu(B)&=\int_{X^{-1}[B]}{Z(x)d\mathfrak{m}(x)}\\&=\int_{B}{E^{w}(Z|X)(\xi)dP_{X}(\xi)},\,B\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^{n})\end{align*}$$다음을 \([0,\,t]\)의 고정된 분할이라 하고,$$0=t_{0}<t_{1}<\cdots<t_{n}=t$$\(X:C_{0}([0,\,t])\,\rightarrow\,\mathbb{R}^{n}\)을 다음과 같이 정의하자.$$X(x)=(x(t_{1}),\,...,\,x(t_{n}))$$\(F:C_{0}([0,\,t])\)가 위너적분 가능한 함수이면, 정리 3.35에 의해 다음의 등식이 성립한다.$$E^{w}(F|X)(\xi)\frac{dP_{X}}{d\lambda}(\xi)=\frac{1}{(2\pi)^{n}}\int_{\mathbb{R}^{n}}{e^{-i\langle u,\,\xi\rangle}E^{w}(e^{i\langle u,\,X\rangle}F)d\lambda(u)}$$\([0,\,t]\)의 분할과 \(x\in C_{0}([0,\,t])\)에 대해 다각형함수(polygonal function) \([x]:[0,\,t]\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)를 다음과 같이 정의하자.$$[x](s)=x(t_{j-1})+\frac{s-t_{j-1}}{t_{j}-t_{j-1}}\{x(t_{j})-x(t_{j-1})\},\,t_{j-1}\leq s\leq t_{j},\,j=1,\,...,\,n$$같은 방법으로 \(\xi=(\xi_{1},\,...,\,\xi_{n})\in\mathbb{R}^{n}\)에 대한 다각형함수 \([\xi]:[0,\,t]\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)를 다음과 같이 정의하자.$$[\xi](s)=\xi_{j-1}+\frac{s-t_{j-1}}{t_{j}-t_{j-1}}(\xi_{j}-\xi_{j-1}),\,t_{j-1}\leq s\leq t_{j},\,j=1,\,...,\,n,\,\xi_{0}=0$$그러면 \([x]\)와 \([\xi]\)는 \([0,\,t]\)에서 연속이고, 각 구간 \([t_{j-1},\,t_{j}]\)에서는 직선이고 다음이 성립한다.$$[x](t_{j})=x(t_{j}),\,[\xi](t_{j})=\xi_{j},\,j=0,\,1,\,...,\,n$$정리 3.52 \(\{x(s)\,|\,s\in[0,\,t]\}\)가 위너과정이면, 확률과정 \(\{x(s)-[x](s)\,|\,s\in[0,\,t]\}\)와 \(X(x)=(x(t_{1}),\,...,\,x(t_{n}))\)은 서로 독립이다.

증명: \(x\)에 대한 다각형함수의 정의로부터 다음의 등식을 얻는다.$$x(s)-[x](s)=\{x(s)-x(t_{j-1})\}-\frac{s-t_{j-1}}{t_{j}-t_{j-1}}\{x(t_{j})-x(t_{j-1})\},\,t_{j-1}\leq s\leq t_{j}$$\(x(s)-[x](s)\)는 \([t_{j-1},\,t_{j}]\)에서 브라운 다리과정(Brownian bridge process)이고, \(t_{j-1}\)과 \(t_{j}\)에서 함숫값이 0이다. 따라서 다음의 두 과정은 서로 독립이다.$$Y=\{x(s)-[x](s)\,|\,t_{j-1}\leq s\leq t_{j}\},\,\{x(s)\,|\,s\in[0,\,t_{j-1}]\cup[t_{j},\,t]\}$$특히 \(Y\)는 \(X(x)=(x(t_{1}),\,...,\,x(t_{n}))\)과 서로 독립이고, 임의의 \(j\)에 대해 성립하므로 증명을 완료했다.    

따름정리 3.53 \(\{x(s)\,|\,s\in[0,\,t]\}\)가 위너과정이면, 다음은 독립인 브라운 다리과정이다.$$\{x(s)-[x](s)\,|\,t_{j-1}\leq s\leq t_{j}\}$$정리 3.54 \(F:C_{0}([0,\,t])\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)가 위너적분 가능한 함수이면, 임의의 보렐집합 \(B\subset\mathbb{R}^{n}\)에 대해 다음의 등식이 성립한다.$$\mu(B)=\int_{X^{-1}[B]}{F(x)d\mathfrak{m}(x)}=\int_{B}{E^{w}(F(x-[x]+[\xi]))dP_{X}(\xi)}$$증명: 

(1) \(F\)가 특성함수인 경우, 즉$$F(x)=\chi_{A}(x),\,A\in\mathcal{S}_{1}$$이면, 다음의 등식이 성립하고$$\begin{align*}\int_{X^{-1}[B]}{\chi_{A}(x)d\mathfrak{m}(x)}&=\mathfrak{m}(A\cap X^{-1}[B])\\&=\int_{B}{\mathfrak{m}(\{x\in A\,|\,X(x)=\xi\})dP_{X}(\xi)}\\&=\int_{B}{\mathfrak{m}(\{x-[x]+[\xi]\in A\,|\,X(x)=\xi\})dP_{X}(\xi)}\end{align*}$$정리 3.52에 의해 \(x-[x]\)와 \(X(x)\)는 서로 독립이므로 다음의 등식이 성립한다.$$\begin{align*}\int_{X^{-1}[B]}{\chi_{A}(x)d\mathfrak{m}(x)}&=\int_{B}{\mathfrak{m}(\{x-[x]+[\xi]\in A\})dP_{X}(\xi)}\\&=\int_{B}{E^{w}(\chi_{A}(x-[x]+[\xi]))dP_{X}(\xi)}\end{align*}$$(2) 일반적인 경우는 측도론의 확장방법을 이용해 보일 수 있다.

*참고: \(F\)가 위너적분 가능하면 정리 3.53에 의해 다음이 성립하고$$\frac{d\mu}{dP_{X}}(\xi)=E^{w}(F(x-[x]+[\xi])),\,a.e.\,\xi\in\mathbb{R}^{n}$$또한 \(\displaystyle\mu(B)=\int_{B}{E^{w}(Z|X)(\xi)dP_{X}(\xi)},\,B\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^{n})\)이므로 다음이 성립한다.$$\frac{d\mu}{dP_{X}}(\xi)=E^{w}(F|X)(\xi),\,a.e.\,\xi\in\mathbb{R}^{n}$$따라서 다음이 성립한다.$$E^{w}(F|X)(\xi)=E^{w}(F(x-[x]+[\xi])),\,a.e.\,\xi$$\(E^{w}(F|X)(\xi)\)는 보렐 가측함수이고, \(E^{w}(F(x-[x]+[\xi]))\)는 르베그 가측함수이다(보렐가측일 필요는 없다).

예: \(G\)를 \(\mathbb{R}\)에서 보렐집합이 아닌 르베그 영집합이라 하자. 그러면 함수 \(f(\xi)=\chi_{G}(\xi)\)는 보렐 가측함수는 아니지만 르베그 가측함수이다.$$A=\{x\in C_{0}([0,\,t])\,|\,x(t)\in G\}$$라 하면 \(\mathfrak{m}(A)=0\)이고, \(F:C_{0}([0,\,t])\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)를 \(F(x)=\chi_{A}(x)\)로 정의하면 \(F(x)=\chi_{G}(x(t))\)이고, 다음의 등식이 성립하다.$$\begin{align*}E^{w}(F(x-[x]+[\xi]))&=E^{w}(\chi_{G}(x(t)-[x](t)+[\xi](t)))\\&=E^{w}(\chi_{G}(\xi))=\chi_{G}(\xi)=f(\xi)\end{align*}$$만약 \(f(\xi)\)가 \(\mathbb{R}^{n}\)에서 르베그 가측이면, 보렐 가측함수 \(\hat{f}(\xi)\)가 존재해서 다음이 성립한다.$$f(\xi)=\hat{f}(\xi),\,a.e.\,\xi$$또한 \(\hat{f}(\xi)\)는 보렐 영집합을 제외하고 유일하게 결정된다. 따라서 다음의 정의는 타당성이 있다.

정의 3.54 \(F\)가 위너적분 가능한 함수일 때, 함수 \(\hat{E}(F(x-[x]+[\xi]))\)를 다음과 같이 정의한다.

(1) \(\hat{E}(F(x-[x]+[\xi]))\)는 보렐 가측이다.

(2) \(\hat{E}(F(x-[x]+[\xi]))=E^{w}(F(x-[x]+[\xi])),\,a.e.\,\xi\in\mathbb{R}^{n}\)

정리 3.55 \(F\)가 위너적분 가능한 함수이면, 다음이 성립하고$$(*)\,E^{w}(F|X)(\xi)=\hat{E}(F(x-[x]+[\xi]))$$특히 \(F\)가 보렐 가측함수이면, 다음이 성립한다.$$(\text{#})\,E^{w}(F|X)(\xi)=E^{w}(F(x-[x]+[\xi]))$$위의 두 등식들은 양변의 보렐 가측함수이고, 보렐 영집합을 제외하고 같다는 것을 뜻한다.

증명: 위의 참고와 정의 3.54에 의해 식 (*)는 자명하다. \(F\)가 보렐 가측이면, 푸비니 정리에 의해 \(E^{w}(F(x-[x]+[\xi]))\)는 보렐 가측이고 따라서 식 (#)이 성립한다.

예: \(\displaystyle F(x)=\int_{0}^{t}{x(s)ds},\,x\in C_{0}([0,\,t])\)라 하면, 정리 3.55에 의해 다음이 성립한다.$$\begin{align*}E^{w}(F|X)(\xi)&=E^{w}\left(\int_{0}^{t}{\{x(s)-[x](s)+[\xi](s)\}ds}\right)\\&=\int_{0}^{t}{E^{w}(x(s)-[x](s)+[\xi](s))ds}\\&=\int_{0}^{t}{[\xi](s)ds}\\&=\sum_{j=1}^{n}{\int_{t_{j-1}}^{t_{j}}{\left\{\xi_{j-1}+\frac{s-t_{j-1}}{t_{j}-t_{j-1}}(\xi_{j}-\xi_{j-1})\right\}ds}}\\&=\frac{1}{2}\sum_{j=1}^{n}{(\xi_{j}+\xi_{j-1})(t_{j}-t_{j-1})}\end{align*}$$위의 계산 과정에서 적분의 순서를 바꾸기 위해 푸비니 정리가 이용되었다.

예: \(\displaystyle F(x)=\int_{0}^{t}{\{x(s)\}^{2}ds},\,x\in C_{0}([0,\,t])\)라 하면, 정리 3.55에 의해 다음이 성립한다.$$\begin{align*}E^{w}(F|X)(\xi)&=E^{w}\left(\int_{0}^{t}{\{x(s)-[x](s)+[\xi](s)\}^{2}ds}\right)\\&=\int_{0}^{t}{E^{w}(\{x(s)\}^{2}+\{[x](s)\}^{2}+\{[\xi](s)\}^{2}-2x(s)[x](s)+2x(s)[\xi](s)-2[x](s)[\xi](s))ds}\end{align*}$$등식 \(E^{w}(x(s))=0\), \(E^{w}(x(s_{1})x(s_{2}))=\min\{s_{1},\,s_{2}\}\)를 사용하면 다음의 식을 얻는다.$$\begin{align*}E^{w}(F|X)&=\int_{0}^{t}{\left\{s-\sum_{j=1}^{n}{\chi_{[t_{j-1},\,t_{j}]}(s)\left\{t_{j-1}+\frac{(s-t_{j-1})^{2}}{t_{j}-t_{j-1}}\right\}}+\{[\xi](s)\}^{2}\right\}ds}\\&=\frac{t^{2}}{2}-\frac{1}{3}\sum_{j=1}^{n}{(t_{j}+2t_{j-1})(t_{j}-t_{j-1})}+\frac{1}{3}\sum_{j=1}^{n}{(\xi_{j}^{2}+\xi_{j}\xi_{j-1}+\xi_{j-1}^{2})(t_{j}-t_{j-1})}\end{align*}$$예: \(\displaystyle F(x)=e^{\int_{0}^{t}{x(s)ds}},\,x\in C_{0}([0,\,t])\)이면, 다음이 성립한다.$$\begin{align*}E^{w}(F|X)(\xi)&=E^{w}\left(e^{\int_{0}^{t}{\{x(s)-[x](s)+[\xi](s)\}ds}}\right)\\&=e^{\int_{0}^{t}{[\xi](s)ds}}E\left(e^{\int_{0}^{t}{\{x(s)-[x](s)\}ds}}\right)\end{align*}$$

참고자료:

위너 적분론, 장건수, 민음사