3-12 위너 조건적분 공식

3-12 위너 조건적분 공식

여기서는 확률벡터 $X$에 대한 위너 조건적분을 정의하고 이에 대한 적분공식을 유도할 것이다.

$X:C_{0}([0,\,t])\,\rightarrow\,\mathbb{R}^{n}$를 위너 가측함수라 하자. $X$의 $n$차원 확률분포 $$P_{X}(B)=\mathfrak{m}(X^{-1}[B]),\,B\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^{n})$$ 는 $(\mathbb{R}^{n},\,\mathcal{B}(\mathbb{R}^{n}))$에서 확률측도이다.

$Z:C_{0}([0,\,t])\,\rightarrow\,\mathbb{R}$를 위너 가측함수, $E^{w}(|Z|)<\infty$라 하자. 주어진 $X$에 대한 $Z$의 위너 조건적분, $E^{w}(Z|X)$는 다음을 만족하는 함수 $\psi$의 동치류이다.

(1) $\psi:\mathbb{R}^{n}\,\rightarrow\,\mathbb{R}$는 보렐 가측이고, $P_{X}-$적분가능한 함수이다. 

(2) $\displaystyle\int_{X^{-1}[B]}{Z(x)d\mathfrak{m}(x)}=\int_{B}{\psi(\xi)dP_{X}(\xi)},\,B\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^{n})$

라돈-니코딤 정리에 의해 함수 $\psi$는 존재하고, $P_{X}-$영집합을 제외하고 유일하게 결정된다. $E^{w}(Z|X)$는 함수 $\psi$의 동치류와 같고, 따라서 다음이 성립한다. $$\begin{align*}\mu(B)&=\int_{X^{-1}[B]}{Z(x)d\mathfrak{m}(x)}\\&=\int_{B}{E^{w}(Z|X)(\xi)dP_{X}(\xi)},\,B\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^{n})\end{align*}$$ 다음을 $[0,\,t]$의 고정된 분할이라 하고, $$0=t_{0}<t_{1}<\cdots<t_{n}=t$$ $X:C_{0}([0,\,t])\,\rightarrow\,\mathbb{R}^{n}$을 다음과 같이 정의하자. $$X(x)=(x(t_{1}),\,...,\,x(t_{n}))$$ $F:C_{0}([0,\,t])$가 위너적분 가능한 함수이면, 정리 3.35에 의해 다음의 등식이 성립한다. $$E^{w}(F|X)(\xi)\frac{dP_{X}}{d\lambda}(\xi)=\frac{1}{(2\pi)^{n}}\int_{\mathbb{R}^{n}}{e^{-i\langle u,\,\xi\rangle}E^{w}(e^{i\langle u,\,X\rangle}F)d\lambda(u)}$$ $[0,\,t]$의 분할과 $x\in C_{0}([0,\,t])$에 대해 다각형함수(polygonal function) $[x]:[0,\,t]\,\rightarrow\,\mathbb{R}$를 다음과 같이 정의하자. $$[x](s)=x(t_{j-1})+\frac{s-t_{j-1}}{t_{j}-t_{j-1}}\{x(t_{j})-x(t_{j-1})\},\,t_{j-1}\leq s\leq t_{j},\,j=1,\,...,\,n$$ 같은 방법으로 $\xi=(\xi_{1},\,...,\,\xi_{n})\in\mathbb{R}^{n}$에 대한 다각형함수 $[\xi]:[0,\,t]\,\rightarrow\,\mathbb{R}$를 다음과 같이 정의하자. $$[\xi](s)=\xi_{j-1}+\frac{s-t_{j-1}}{t_{j}-t_{j-1}}(\xi_{j}-\xi_{j-1}),\,t_{j-1}\leq s\leq t_{j},\,j=1,\,...,\,n,\,\xi_{0}=0$$ 그러면 $[x]$와 $[\xi]$는 $[0,\,t]$에서 연속이고, 각 구간 $[t_{j-1},\,t_{j}]$에서는 직선이고 다음이 성립한다. $$[x](t_{j})=x(t_{j}),\,[\xi](t_{j})=\xi_{j},\,j=0,\,1,\,...,\,n$$ 정리 3.52 $\{x(s)\,|\,s\in[0,\,t]\}$가 위너과정이면, 확률과정 $\{x(s)-[x](s)\,|\,s\in[0,\,t]\}$와 $X(x)=(x(t_{1}),\,...,\,x(t_{n}))$은 서로 독립이다.

증명: $x$에 대한 다각형함수의 정의로부터 다음의 등식을 얻는다. $$x(s)-[x](s)=\{x(s)-x(t_{j-1})\}-\frac{s-t_{j-1}}{t_{j}-t_{j-1}}\{x(t_{j})-x(t_{j-1})\},\,t_{j-1}\leq s\leq t_{j}$$ $x(s)-[x](s)$는 $[t_{j-1},\,t_{j}]$에서 브라운 다리과정(Brownian bridge process)이고, $t_{j-1}$과 $t_{j}$에서 함숫값이 0이다. 따라서 다음의 두 과정은 서로 독립이다. $$Y=\{x(s)-[x](s)\,|\,t_{j-1}\leq s\leq t_{j}\},\,\{x(s)\,|\,s\in[0,\,t_{j-1}]\cup[t_{j},\,t]\}$$ 특히 $Y$는 $X(x)=(x(t_{1}),\,...,\,x(t_{n}))$과 서로 독립이고, 임의의 $j$에 대해 성립하므로 증명을 완료했다.    

따름정리 3.53 $\{x(s)\,|\,s\in[0,\,t]\}$가 위너과정이면, 다음은 독립인 브라운 다리과정이다. $$\{x(s)-[x](s)\,|\,t_{j-1}\leq s\leq t_{j}\}$$ 정리 3.54 $F:C_{0}([0,\,t])\,\rightarrow\,\mathbb{R}$가 위너적분 가능한 함수이면, 임의의 보렐집합 $B\subset\mathbb{R}^{n}$에 대해 다음의 등식이 성립한다. $$\mu(B)=\int_{X^{-1}[B]}{F(x)d\mathfrak{m}(x)}=\int_{B}{E^{w}(F(x-[x]+[\xi]))dP_{X}(\xi)}$$ 증명: 

(1) $F$가 특성함수인 경우, 즉 $$F(x)=\chi_{A}(x),\,A\in\mathcal{S}_{1}$$ 이면, 다음의 등식이 성립하고 $$\begin{align*}\int_{X^{-1}[B]}{\chi_{A}(x)d\mathfrak{m}(x)}&=\mathfrak{m}(A\cap X^{-1}[B])\\&=\int_{B}{\mathfrak{m}(\{x\in A\,|\,X(x)=\xi\})dP_{X}(\xi)}\\&=\int_{B}{\mathfrak{m}(\{x-[x]+[\xi]\in A\,|\,X(x)=\xi\})dP_{X}(\xi)}\end{align*}$$ 정리 3.52에 의해 $x-[x]$와 $X(x)$는 서로 독립이므로 다음의 등식이 성립한다. $$\begin{align*}\int_{X^{-1}[B]}{\chi_{A}(x)d\mathfrak{m}(x)}&=\int_{B}{\mathfrak{m}(\{x-[x]+[\xi]\in A\})dP_{X}(\xi)}\\&=\int_{B}{E^{w}(\chi_{A}(x-[x]+[\xi]))dP_{X}(\xi)}\end{align*}$$ (2) 일반적인 경우는 측도론의 확장방법을 이용해 보일 수 있다.

*참고: $F$가 위너적분 가능하면 정리 3.53에 의해 다음이 성립하고 $$\frac{d\mu}{dP_{X}}(\xi)=E^{w}(F(x-[x]+[\xi])),\,a.e.\,\xi\in\mathbb{R}^{n}$$ 또한 $\displaystyle\mu(B)=\int_{B}{E^{w}(Z|X)(\xi)dP_{X}(\xi)},\,B\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^{n})$이므로 다음이 성립한다. $$\frac{d\mu}{dP_{X}}(\xi)=E^{w}(F|X)(\xi),\,a.e.\,\xi\in\mathbb{R}^{n}$$ 따라서 다음이 성립한다. $$E^{w}(F|X)(\xi)=E^{w}(F(x-[x]+[\xi])),\,a.e.\,\xi$$ $E^{w}(F|X)(\xi)$는 보렐 가측함수이고, $E^{w}(F(x-[x]+[\xi]))$는 르베그 가측함수이다(보렐가측일 필요는 없다).

예: $G$를 $\mathbb{R}$에서 보렐집합이 아닌 르베그 영집합이라 하자. 그러면 함수 $f(\xi)=\chi_{G}(\xi)$는 보렐 가측함수는 아니지만 르베그 가측함수이다. $$A=\{x\in C_{0}([0,\,t])\,|\,x(t)\in G\}$$ 라 하면 $\mathfrak{m}(A)=0$이고, $F:C_{0}([0,\,t])\,\rightarrow\,\mathbb{R}$를 $F(x)=\chi_{A}(x)$로 정의하면 $F(x)=\chi_{G}(x(t))$이고, 다음의 등식이 성립하다. $$\begin{align*}E^{w}(F(x-[x]+[\xi]))&=E^{w}(\chi_{G}(x(t)-[x](t)+[\xi](t)))\\&=E^{w}(\chi_{G}(\xi))=\chi_{G}(\xi)=f(\xi)\end{align*}$$ 만약 $f(\xi)$가 $\mathbb{R}^{n}$에서 르베그 가측이면, 보렐 가측함수 $\hat{f}(\xi)$가 존재해서 다음이 성립한다. $$f(\xi)=\hat{f}(\xi),\,a.e.\,\xi$$ 또한 $\hat{f}(\xi)$는 보렐 영집합을 제외하고 유일하게 결정된다. 따라서 다음의 정의는 타당성이 있다.

정의 3.54 $F$가 위너적분 가능한 함수일 때, 함수 $\hat{E}(F(x-[x]+[\xi]))$를 다음과 같이 정의한다.

(1) $\hat{E}(F(x-[x]+[\xi]))$는 보렐 가측이다.

(2) $\hat{E}(F(x-[x]+[\xi]))=E^{w}(F(x-[x]+[\xi])),\,a.e.\,\xi\in\mathbb{R}^{n}$

정리 3.55 $F$가 위너적분 가능한 함수이면, 다음이 성립하고 $$(*)\,E^{w}(F|X)(\xi)=\hat{E}(F(x-[x]+[\xi]))$$ 특히 $F$가 보렐 가측함수이면, 다음이 성립한다. $$(\text{#})\,E^{w}(F|X)(\xi)=E^{w}(F(x-[x]+[\xi]))$$ 위의 두 등식들은 양변의 보렐 가측함수이고, 보렐 영집합을 제외하고 같다는 것을 뜻한다.

증명: 위의 참고와 정의 3.54에 의해 식 (*)는 자명하다. $F$가 보렐 가측이면, 푸비니 정리에 의해 $E^{w}(F(x-[x]+[\xi]))$는 보렐 가측이고 따라서 식 (#)이 성립한다.

예: $\displaystyle F(x)=\int_{0}^{t}{x(s)ds},\,x\in C_{0}([0,\,t])$라 하면, 정리 3.55에 의해 다음이 성립한다. $$\begin{align*}E^{w}(F|X)(\xi)&=E^{w}\left(\int_{0}^{t}{\{x(s)-[x](s)+[\xi](s)\}ds}\right)\\&=\int_{0}^{t}{E^{w}(x(s)-[x](s)+[\xi](s))ds}\\&=\int_{0}^{t}{[\xi](s)ds}\\&=\sum_{j=1}^{n}{\int_{t_{j-1}}^{t_{j}}{\left\{\xi_{j-1}+\frac{s-t_{j-1}}{t_{j}-t_{j-1}}(\xi_{j}-\xi_{j-1})\right\}ds}}\\&=\frac{1}{2}\sum_{j=1}^{n}{(\xi_{j}+\xi_{j-1})(t_{j}-t_{j-1})}\end{align*}$$ 위의 계산 과정에서 적분의 순서를 바꾸기 위해 푸비니 정리가 이용되었다.

예: $\displaystyle F(x)=\int_{0}^{t}{\{x(s)\}^{2}ds},\,x\in C_{0}([0,\,t])$라 하면, 정리 3.55에 의해 다음이 성립한다. $$\begin{align*}E^{w}(F|X)(\xi)&=E^{w}\left(\int_{0}^{t}{\{x(s)-[x](s)+[\xi](s)\}^{2}ds}\right)\\&=\int_{0}^{t}{E^{w}(\{x(s)\}^{2}+\{[x](s)\}^{2}+\{[\xi](s)\}^{2}-2x(s)[x](s)+2x(s)[\xi](s)-2[x](s)[\xi](s))ds}\end{align*}$$ 등식 $E^{w}(x(s))=0$, $E^{w}(x(s_{1})x(s_{2}))=\min\{s_{1},\,s_{2}\}$를 사용하면 다음의 식을 얻는다. $$\begin{align*}E^{w}(F|X)&=\int_{0}^{t}{\left\{s-\sum_{j=1}^{n}{\chi_{[t_{j-1},\,t_{j}]}(s)\left\{t_{j-1}+\frac{(s-t_{j-1})^{2}}{t_{j}-t_{j-1}}\right\}}+\{[\xi](s)\}^{2}\right\}ds}\\&=\frac{t^{2}}{2}-\frac{1}{3}\sum_{j=1}^{n}{(t_{j}+2t_{j-1})(t_{j}-t_{j-1})}+\frac{1}{3}\sum_{j=1}^{n}{(\xi_{j}^{2}+\xi_{j}\xi_{j-1}+\xi_{j-1}^{2})(t_{j}-t_{j-1})}\end{align*}$$ 예: $\displaystyle F(x)=e^{\int_{0}^{t}{x(s)ds}},\,x\in C_{0}([0,\,t])$이면, 다음이 성립한다. $$\begin{align*}E^{w}(F|X)(\xi)&=E^{w}\left(e^{\int_{0}^{t}{\{x(s)-[x](s)+[\xi](s)\}ds}}\right)\\&=e^{\int_{0}^{t}{[\xi](s)ds}}E\left(e^{\int_{0}^{t}{\{x(s)-[x](s)\}ds}}\right)\end{align*}$$

참고자료:

위너 적분론, 장건수, 민음사