3-11 위너 조건적분의 변환정리(2)

3-11 위너 조건적분의 변환정리(2)

다음의 정리는 위너 조건적분의 변환정리이다. 

정리 3.50 \(Y:C_{0}([0,\,t])\)가 위너적분 가능한 함수이고 \(X\)를 \(X(x)=x(t)\)로 정의하자. \(x_{0}\in C_{0}([0,\,t])\)는 \([0,\,t]\)에서 절대연속이고 다음이 성립한다고 하자.$$\int_{[0,\,t]}{\{x'_{0}(s)\}^{2}d\lambda(s)}$$그러면 위너 조건적분 \(E^{w}(Y|X)\)와 \(E^{w}(Y(\cdot+x_{0})J|X)\) 가 존재하고 다음이 성립한다.$$E^{w}(Y|X)(\xi)=E^{w}(Y(\cdot+x_{0})J|X)(\xi-x_{0}(t))e^{-\frac{1}{2t}\{x_{0}(t)\}^{2}}e^{\frac{1}{t}\xi x_{0}(t)},\,\lambda-a.e.\,\xi\in\mathbb{R}$$여기서 \(J\)는 다음과 같이 정의되는 함수이다.$$J(x)=e^{-\frac{1}{2}\int_{[0,\,t]}{\{x_{0}'(s)\}^{2}d\lambda(s)}}e^{-\int_{0}^{t}{x_{0}'(s)dx(s)}},\,\mathfrak{m}-a.e.\,x\in C_{0}([0,\,t])$$증명: \(L:C_{0}([0,\,t])\,\rightarrow\,C_{0}([0,\,t])\)를 다음과 같이 정의하자.$$L(x)=x+x_{0},\,x\in C_{0}([0,\,t])$$그러면 \(x\in C_{0}([0,\,t])\)에 대해 다음이 성립하고$$(X\circ L)(x)=X(x+x_{0})=x(t)+x_{0}(t)=(h\circ X)(x)$$여기서 \(h:\mathbb{R}\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)는 다음과 같이 정의되는 전단사함수이고,$$h(\xi)=\xi+x_{0}(t),\,\xi\in\mathbb{R}$$\(h^{-1}\)은 다음과 같다.$$h^{-1}(\xi)=\xi-x_{0}(t),\,\xi\in\mathbb{R}$$\(h\)와 \(h^{-1}\)는 보렐 가측 변환이다.

\(L\)은 정리 3.49의 조건 (2)를 만족하고, 카메룬-마틴 변환정리에 의해 \(L\)은 정리 3.49의 조건 (1)도 만족한다.

확률변수 \(X(x)=x(t)\)와 \((X\circ L)(x)=x(t)+x_{0}(t)\)의 확률분포는 정규분포이다. 실제로 \((\mathbb{R},\,\mathcal{B})\)에서 다음이 성립한다.$$X\,\sim\,N(0,\,t),\,X\circ T\,\sim\,N(x_{0}(t),\,t)$$따라서 \((\mathbb{R},\,\mathcal{B}(\mathbb{R}))\)에서 \(P_{X\circ T}\ll P_{X}\)이고, \(\xi\in\mathbb{R}\)에 대해 다음이 성립한다.$$\begin{align*}\frac{dP_{X\circ T}}{dP_{X}}(\xi)&=\frac{dP_{X\circ T}}{d\lambda}(\xi)\left(\frac{dP_{X}}{d\lambda}(\xi)\right)^{-1}\\&=e^{-\frac{1}{2t}\{\xi-x_{0}(t)\}^{2}}e^{\frac{1}{2t}\xi^{2}}\\&=e^{-\frac{1}{2t}\{x_{0}(t)\}^{2}}e^{\frac{1}{t}\xi x_{0}(t)}\end{align*}$$위의 식과 정리 3.49로부터 성립한다.

따름정리 3.51 \(X,\,x_{0}\)가 정리 3.50에서 주어진 함수이고 \(Z\)를 다음과 같이 정의하자.$$Z(x)=e^{-\int_{0}^{t}{x'_{0}(s)dx(s)}}$$그러면 위너 조건적분 \(E^{w}(Z|X)\)가 존재하고(이 적분은 \((\mathbb{R},\,\mathcal{B}(\mathbb{R}),\,P_{X})\), \(X\,\sim\,N(0,\,t)\)에서 확률변수들의 동치족), \(\xi\in\mathbb{R}\)에 대해 다음의 식이 성립한다.$$E^{w}(Z|X)(\xi)=e^{\frac{1}{2}\int_{[0,\,t]}{\{x_{0}'(s)\}^{2}d\lambda(s)}}e^{-\frac{1}{2t}\{x_{0}(t)\}^{2}}e^{-\frac{1}{t}\xi x_{0}(t)}$$증명: \(x\in C_{0}([0,\,t])\)에 대해서 \(Y(x)=1\)이라 하자. 그러면 위너 조건적분 \(E^{w}(Y|X)\)는 다음과 같다.$$E^{w}(Y|X)(\xi)=1,\,\xi\in\mathbb{R}$$모든 \(x\in C_{0}([0,\,t])\)에 대해 \(Y(x+x_{0})=1\)이므로 \(P_{X}-a.e.\,\xi\in\mathbb{R}\)에 대해 다음이 성립한다.$$E^{w}(Y(\cdot+x_{0})J|X)(\xi)=e^{-\frac{1}{2}\int_{[0,\,t]}{\{x_{0}'(s)\}^{2}d\lambda(s)}}E^{w}(Z|X)(\xi)$$여기서 \(J(x)\)는 정리 3.50에서 정의된 함수이다. \(P_{X}\)와 \(\lambda\)는 \((\mathbb{R},\,\mathcal{B}(\mathbb{R}))\)에서 동치이므로 위 식은 \(\lambda-a.e.\,\xi\)에 대해서도 성립한다.

르베그 영집합은 평행변환에 의해 다시 르베그 영집합이 되므로 위의 식의 양변에서 \(\xi\)를 \(\eta-x_{0}(t)\)로 대치하면, 위 식은 \(\lambda-a.e.\,\eta\)에 대해서 성립한다. 위의 식과 식 \(E^{w}(Y|X)(\xi)=1\)로부터 \(\lambda-a.e.\,\eta\in\mathbb{R}\)에 대해 다음의 식을 얻는다.$$1=E^{w}(Z|X)(\eta-x_{0}(t))e^{-\frac{1}{2}\int_{[0,\,t]}{\{x_{0}'(s)\}^{2}ds}}e^{-\frac{1}{2t}\{x_{0}(t)\}^{2}}e^{\frac{1}{t}\eta x_{0}(t)}$$\(\eta=\xi+x_{0}(t)\)를 위 식에 대입하면 \(\lambda-a.e.\,\xi\in\mathbb{R}\)에 대해 다음이 성립하고$$\begin{align*}E^{w}(Z|X)(\xi)&=e^{\frac{1}{2}\int_{[0,\,t]}{\{x_{0}'(s)\}^{2}d\lambda(s)}}e^{\frac{1}{2t}\{x_{0}(t)\}^{2}}e^{-\frac{1}{t}x_{0}(t)\{\xi+x_{0}(t)\}}\\&=e^{\frac{1}{2}\int_{[0,\,t]}{\{x_{0}'(s)\}^{2}d\lambda(s)}}e^{-\frac{1}{2t}\{x_{0}(t)\}^{2}}e^{-\frac{1}{t}\xi x_{0}(t)}\end{align*}$$\(P_{X}\)와 \(\lambda\)가 동치라는 사실로부터 이 정리가 성립한다.

다음은 정리 3.50을 이용해 위너 조건적분을 계산하는 예이다.

\(x\in C_{0}([0,\,t])\)에 대해$$X(x)=x(t),\,Y(x)=e^{\lambda\int_{0}^{t}{p(s)d\lambda(s)}}$$라 하자. 여기서 \(\lambda\in\mathbb{R}\)이고 \(p\in C([0,\,t])\cap BV([0,\,t])\)이다.$$x_{0}(s)=-\lambda\int_{0}^{s}{p(r)dr},\,s\in[0,\,t]$$라 하면, \(x_{0}\in C_{0}([0,\,t])\)이고 \(x_{0}'\)이 존재해서$$x_{0}'=-\lambda p\in BV([0,\,t])$$ 이다. 그러면 \(Y\)는 다음과 같이 나타낼 수 있고,$$Y(x)=e^{-\int_{0}^{t}{x_{0}'(s)dx(s)}},\,x\in C_{0}([0,\,t])$$따름정리 3.51에 의해 다음의 등식이 성립한다.$$\begin{align*}E^{w}(Y|X)&=e^{\frac{\lambda^{2}}{2}\int_{0}^{t}{\{p(s)\}^{2}ds}}e^{-\frac{\lambda^{2}}{2t}\left\{\int_{0}^{t}{p(s)ds}\right\}^{2}}e^{\frac{\lambda\xi}{t}\int_{0}^{t}{p(s)ds}},\,\xi\in\mathbb{R}\end{align*}$$\((\mathbb{R},\,\mathcal{B}(\mathbb{R}))\)에서 \(X\,\sim\,N(0,\,t)\)라는 사실과 위의 등식으로부터 모든 \(B\in\mathcal{B}(\mathbb{R})\)에 대해 다음의 식을 얻는다.$$\begin{align*}\int_{\{x(t)\in B\}}{e^{\lambda\int_{0}^{t}{p(s)dx(s)}}d\mathfrak{m}(x)}&=\int_{B}{E^{w}(X|Y)(\xi)dP_{X}(\xi)}\\&=e^{\frac{\lambda^{2}}{2}\int_{0}^{t}{\{p(s)\}^{2}ds}}\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}\int_{B}{e^{-\frac{1}{2t}\left\{\xi-\lambda\int_{0}^{t}{p(s)ds}\right\}^{2}}d\lambda(\xi)}\end{align*}$$

참고자료:

위너 적분론, 장건수, 민음사