3-11 위너 조건적분의 변환정리(2)

3-11 위너 조건적분의 변환정리(2)

다음의 정리는 위너 조건적분의 변환정리이다. 

정리 3.50 $Y:C_{0}([0,\,t])$가 위너적분 가능한 함수이고 $X$를 $X(x)=x(t)$로 정의하자. $x_{0}\in C_{0}([0,\,t])$는 $[0,\,t]$에서 절대연속이고 다음이 성립한다고 하자.

$$\int_{[0,\,t]}{\{x'_{0}(s)\}^{2}d\lambda(s)}$$ 그러면 위너 조건적분 $E^{w}(Y|X)$와 $E^{w}(Y(\cdot+x_{0})J|X)$ 가 존재하고 다음이 성립한다. $$E^{w}(Y|X)(\xi)=E^{w}(Y(\cdot+x_{0})J|X)(\xi-x_{0}(t))e^{-\frac{1}{2t}\{x_{0}(t)\}^{2}}e^{\frac{1}{t}\xi x_{0}(t)},\,\lambda-a.e.\,\xi\in\mathbb{R}$$ 여기서 $J$는 다음과 같이 정의되는 함수이다. $$J(x)=e^{-\frac{1}{2}\int_{[0,\,t]}{\{x_{0}'(s)\}^{2}d\lambda(s)}}e^{-\int_{0}^{t}{x_{0}'(s)dx(s)}},\,\mathfrak{m}-a.e.\,x\in C_{0}([0,\,t])$$ 증명: $L:C_{0}([0,\,t])\,\rightarrow\,C_{0}([0,\,t])$를 다음과 같이 정의하자. $$L(x)=x+x_{0},\,x\in C_{0}([0,\,t])$$ 그러면 $x\in C_{0}([0,\,t])$에 대해 다음이 성립하고 $$(X\circ L)(x)=X(x+x_{0})=x(t)+x_{0}(t)=(h\circ X)(x)$$ 여기서 $h:\mathbb{R}\,\rightarrow\,\mathbb{R}$는 다음과 같이 정의되는 전단사함수이고, $$h(\xi)=\xi+x_{0}(t),\,\xi\in\mathbb{R}$$ $h^{-1}$은 다음과 같다. $$h^{-1}(\xi)=\xi-x_{0}(t),\,\xi\in\mathbb{R}$$ $h$와 $h^{-1}$는 보렐 가측 변환이다.

$L$은 정리 3.49의 조건 (2)를 만족하고, 카메룬-마틴 변환정리에 의해 $L$은 정리 3.49의 조건 (1)도 만족한다.

확률변수 $X(x)=x(t)$와 $(X\circ L)(x)=x(t)+x_{0}(t)$의 확률분포는 정규분포이다. 실제로 $(\mathbb{R},\,\mathcal{B})$에서 다음이 성립한다.

$$X\,\sim\,N(0,\,t),\,X\circ T\,\sim\,N(x_{0}(t),\,t)$$ 따라서 $(\mathbb{R},\,\mathcal{B}(\mathbb{R}))$에서 $P_{X\circ T}\ll P_{X}$이고, $\xi\in\mathbb{R}$에 대해 다음이 성립한다. $$\begin{align*}\frac{dP_{X\circ T}}{dP_{X}}(\xi)&=\frac{dP_{X\circ T}}{d\lambda}(\xi)\left(\frac{dP_{X}}{d\lambda}(\xi)\right)^{-1}\\&=e^{-\frac{1}{2t}\{\xi-x_{0}(t)\}^{2}}e^{\frac{1}{2t}\xi^{2}}\\&=e^{-\frac{1}{2t}\{x_{0}(t)\}^{2}}e^{\frac{1}{t}\xi x_{0}(t)}\end{align*}$$ 위의 식과 정리 3.49로부터 성립한다.

따름정리 3.51 $X,\,x_{0}$가 정리 3.50에서 주어진 함수이고 $Z$를 다음과 같이 정의하자.

$$Z(x)=e^{-\int_{0}^{t}{x'_{0}(s)dx(s)}}$$ 그러면 위너 조건적분 $E^{w}(Z|X)$가 존재하고(이 적분은 $(\mathbb{R},\,\mathcal{B}(\mathbb{R}),\,P_{X})$, $X\,\sim\,N(0,\,t)$에서 확률변수들의 동치족), $\xi\in\mathbb{R}$에 대해 다음의 식이 성립한다. $$E^{w}(Z|X)(\xi)=e^{\frac{1}{2}\int_{[0,\,t]}{\{x_{0}'(s)\}^{2}d\lambda(s)}}e^{-\frac{1}{2t}\{x_{0}(t)\}^{2}}e^{-\frac{1}{t}\xi x_{0}(t)}$$ 증명: $x\in C_{0}([0,\,t])$에 대해서 $Y(x)=1$이라 하자. 그러면 위너 조건적분 $E^{w}(Y|X)$는 다음과 같다. $$E^{w}(Y|X)(\xi)=1,\,\xi\in\mathbb{R}$$ 모든 $x\in C_{0}([0,\,t])$에 대해 $Y(x+x_{0})=1$이므로 $P_{X}-a.e.\,\xi\in\mathbb{R}$에 대해 다음이 성립한다. $$E^{w}(Y(\cdot+x_{0})J|X)(\xi)=e^{-\frac{1}{2}\int_{[0,\,t]}{\{x_{0}'(s)\}^{2}d\lambda(s)}}E^{w}(Z|X)(\xi)$$ 여기서 $J(x)$는 정리 3.50에서 정의된 함수이다. $P_{X}$와 $\lambda$는 $(\mathbb{R},\,\mathcal{B}(\mathbb{R}))$에서 동치이므로 위 식은 $\lambda-a.e.\,\xi$에 대해서도 성립한다.

르베그 영집합은 평행변환에 의해 다시 르베그 영집합이 되므로 위의 식의 양변에서 $\xi$를 $\eta-x_{0}(t)$로 대치하면, 위 식은 $\lambda-a.e.\,\eta$에 대해서 성립한다. 위의 식과 식 $E^{w}(Y|X)(\xi)=1$로부터 $\lambda-a.e.\,\eta\in\mathbb{R}$에 대해 다음의 식을 얻는다.

$$1=E^{w}(Z|X)(\eta-x_{0}(t))e^{-\frac{1}{2}\int_{[0,\,t]}{\{x_{0}'(s)\}^{2}ds}}e^{-\frac{1}{2t}\{x_{0}(t)\}^{2}}e^{\frac{1}{t}\eta x_{0}(t)}$$ $\eta=\xi+x_{0}(t)$를 위 식에 대입하면 $\lambda-a.e.\,\xi\in\mathbb{R}$에 대해 다음이 성립하고 $$\begin{align*}E^{w}(Z|X)(\xi)&=e^{\frac{1}{2}\int_{[0,\,t]}{\{x_{0}'(s)\}^{2}d\lambda(s)}}e^{\frac{1}{2t}\{x_{0}(t)\}^{2}}e^{-\frac{1}{t}x_{0}(t)\{\xi+x_{0}(t)\}}\\&=e^{\frac{1}{2}\int_{[0,\,t]}{\{x_{0}'(s)\}^{2}d\lambda(s)}}e^{-\frac{1}{2t}\{x_{0}(t)\}^{2}}e^{-\frac{1}{t}\xi x_{0}(t)}\end{align*}$$ $P_{X}$와 $\lambda$가 동치라는 사실로부터 이 정리가 성립한다.

다음은 정리 3.50을 이용해 위너 조건적분을 계산하는 예이다.

$x\in C_{0}([0,\,t])$에 대해

$$X(x)=x(t),\,Y(x)=e^{\lambda\int_{0}^{t}{p(s)d\lambda(s)}}$$ 라 하자. 여기서 $\lambda\in\mathbb{R}$이고 $p\in C([0,\,t])\cap BV([0,\,t])$이다. $$x_{0}(s)=-\lambda\int_{0}^{s}{p(r)dr},\,s\in[0,\,t]$$ 라 하면, $x_{0}\in C_{0}([0,\,t])$이고 $x_{0}'$이 존재해서 $$x_{0}'=-\lambda p\in BV([0,\,t])$$  이다. 그러면 $Y$는 다음과 같이 나타낼 수 있고, $$Y(x)=e^{-\int_{0}^{t}{x_{0}'(s)dx(s)}},\,x\in C_{0}([0,\,t])$$ 따름정리 3.51에 의해 다음의 등식이 성립한다. $$\begin{align*}E^{w}(Y|X)&=e^{\frac{\lambda^{2}}{2}\int_{0}^{t}{\{p(s)\}^{2}ds}}e^{-\frac{\lambda^{2}}{2t}\left\{\int_{0}^{t}{p(s)ds}\right\}^{2}}e^{\frac{\lambda\xi}{t}\int_{0}^{t}{p(s)ds}},\,\xi\in\mathbb{R}\end{align*}$$ $(\mathbb{R},\,\mathcal{B}(\mathbb{R}))$에서 $X\,\sim\,N(0,\,t)$라는 사실과 위의 등식으로부터 모든 $B\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$에 대해 다음의 식을 얻는다. $$\begin{align*}\int_{\{x(t)\in B\}}{e^{\lambda\int_{0}^{t}{p(s)dx(s)}}d\mathfrak{m}(x)}&=\int_{B}{E^{w}(X|Y)(\xi)dP_{X}(\xi)}\\&=e^{\frac{\lambda^{2}}{2}\int_{0}^{t}{\{p(s)\}^{2}ds}}\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}\int_{B}{e^{-\frac{1}{2t}\left\{\xi-\lambda\int_{0}^{t}{p(s)ds}\right\}^{2}}d\lambda(\xi)}\end{align*}$$

참고자료:

위너 적분론, 장건수, 민음사