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3-11 위너 조건적분의 변환정리(2)



다음의 정리는 위너 조건적분의 변환정리이다. 


정리 3.50 Y:C0([0,t])가 위너적분 가능한 함수이고 XX(x)=x(t)로 정의하자. x0C0([0,t])[0,t]에서 절대연속이고 다음이 성립한다고 하자.[0,t]{x0(s)}2dλ(s)그러면 위너 조건적분 Ew(Y|X)Ew(Y(+x0)J|X) 가 존재하고 다음이 성립한다.Ew(Y|X)(ξ)=Ew(Y(+x0)J|X)(ξx0(t))e12t{x0(t)}2e1tξx0(t),λa.e.ξR여기서 J는 다음과 같이 정의되는 함수이다.J(x)=e12[0,t]{x0(s)}2dλ(s)et0x0(s)dx(s),ma.e.xC0([0,t])증명: L:C0([0,t])C0([0,t])를 다음과 같이 정의하자.L(x)=x+x0,xC0([0,t])그러면 xC0([0,t])에 대해 다음이 성립하고(XL)(x)=X(x+x0)=x(t)+x0(t)=(hX)(x)여기서 h:RR는 다음과 같이 정의되는 전단사함수이고,h(ξ)=ξ+x0(t),ξRh1은 다음과 같다.h1(ξ)=ξx0(t),ξRhh1는 보렐 가측 변환이다.

L은 정리 3.49의 조건 (2)를 만족하고, 카메룬-마틴 변환정리에 의해 L은 정리 3.49의 조건 (1)도 만족한다.

확률변수 X(x)=x(t)(XL)(x)=x(t)+x0(t)의 확률분포는 정규분포이다. 실제로 (R,B)에서 다음이 성립한다.XN(0,t),XTN(x0(t),t)따라서 (R,B(R))에서 PXTPX이고, ξR에 대해 다음이 성립한다.dPXTdPX(ξ)=dPXTdλ(ξ)(dPXdλ(ξ))1=e12t{ξx0(t)}2e12tξ2=e12t{x0(t)}2e1tξx0(t)위의 식과 정리 3.49로부터 성립한다.


따름정리 3.51 X,x0가 정리 3.50에서 주어진 함수이고 Z를 다음과 같이 정의하자.Z(x)=et0x0(s)dx(s)그러면 위너 조건적분 Ew(Z|X)가 존재하고(이 적분은 (R,B(R),PX), XN(0,t)에서 확률변수들의 동치족), ξR에 대해 다음의 식이 성립한다.Ew(Z|X)(ξ)=e12[0,t]{x0(s)}2dλ(s)e12t{x0(t)}2e1tξx0(t)증명: xC0([0,t])에 대해서 Y(x)=1이라 하자. 그러면 위너 조건적분 Ew(Y|X)는 다음과 같다.Ew(Y|X)(ξ)=1,ξR모든 xC0([0,t])에 대해 Y(x+x0)=1이므로 PXa.e.ξR에 대해 다음이 성립한다.Ew(Y(+x0)J|X)(ξ)=e12[0,t]{x0(s)}2dλ(s)Ew(Z|X)(ξ)여기서 J(x)는 정리 3.50에서 정의된 함수이다. PXλ(R,B(R))에서 동치이므로 위 식은 λa.e.ξ에 대해서도 성립한다.

르베그 영집합은 평행변환에 의해 다시 르베그 영집합이 되므로 위의 식의 양변에서 ξηx0(t)로 대치하면, 위 식은 λa.e.η에 대해서 성립한다. 위의 식과 식 Ew(Y|X)(ξ)=1로부터 λa.e.ηR에 대해 다음의 식을 얻는다.1=Ew(Z|X)(ηx0(t))e12[0,t]{x0(s)}2dse12t{x0(t)}2e1tηx0(t)η=ξ+x0(t)를 위 식에 대입하면 λa.e.ξR에 대해 다음이 성립하고Ew(Z|X)(ξ)=e12[0,t]{x0(s)}2dλ(s)e12t{x0(t)}2e1tx0(t){ξ+x0(t)}=e12[0,t]{x0(s)}2dλ(s)e12t{x0(t)}2e1tξx0(t)PXλ가 동치라는 사실로부터 이 정리가 성립한다.


다음은 정리 3.50을 이용해 위너 조건적분을 계산하는 예이다.


xC0([0,t])에 대해X(x)=x(t),Y(x)=eλt0p(s)dλ(s)라 하자. 여기서 λR이고 pC([0,t])BV([0,t])이다.x0(s)=λs0p(r)dr,s[0,t]라 하면, x0C0([0,t])이고 x0이 존재해서x0=λpBV([0,t]) 이다. 그러면 Y는 다음과 같이 나타낼 수 있고,Y(x)=et0x0(s)dx(s),xC0([0,t])따름정리 3.51에 의해 다음의 등식이 성립한다.Ew(Y|X)=eλ22t0{p(s)}2dseλ22t{t0p(s)ds}2eλξtt0p(s)ds,ξR(R,B(R))에서 XN(0,t)라는 사실과 위의 등식으로부터 모든 BB(R)에 대해 다음의 식을 얻는다.{x(t)B}eλt0p(s)dx(s)dm(x)=BEw(X|Y)(ξ)dPX(ξ)=eλ22t0{p(s)}2ds12πtBe12t{ξλt0p(s)ds}2dλ(ξ)

참고자료:

위너 적분론, 장건수, 민음사         

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Posted by skywalker222