3-11 위너 조건적분의 변환정리(2)
다음의 정리는 위너 조건적분의 변환정리이다.
정리 3.50 Y:C0([0,t])가 위너적분 가능한 함수이고 X를 X(x)=x(t)로 정의하자. x0∈C0([0,t])는 [0,t]에서 절대연속이고 다음이 성립한다고 하자.∫[0,t]{x′0(s)}2dλ(s)그러면 위너 조건적분 Ew(Y|X)와 Ew(Y(⋅+x0)J|X) 가 존재하고 다음이 성립한다.Ew(Y|X)(ξ)=Ew(Y(⋅+x0)J|X)(ξ−x0(t))e−12t{x0(t)}2e1tξx0(t),λ−a.e.ξ∈R여기서 J는 다음과 같이 정의되는 함수이다.J(x)=e−12∫[0,t]{x′0(s)}2dλ(s)e−∫t0x′0(s)dx(s),m−a.e.x∈C0([0,t])증명: L:C0([0,t])→C0([0,t])를 다음과 같이 정의하자.L(x)=x+x0,x∈C0([0,t])그러면 x∈C0([0,t])에 대해 다음이 성립하고(X∘L)(x)=X(x+x0)=x(t)+x0(t)=(h∘X)(x)여기서 h:R→R는 다음과 같이 정의되는 전단사함수이고,h(ξ)=ξ+x0(t),ξ∈Rh−1은 다음과 같다.h−1(ξ)=ξ−x0(t),ξ∈Rh와 h−1는 보렐 가측 변환이다.
L은 정리 3.49의 조건 (2)를 만족하고, 카메룬-마틴 변환정리에 의해 L은 정리 3.49의 조건 (1)도 만족한다.
확률변수 X(x)=x(t)와 (X∘L)(x)=x(t)+x0(t)의 확률분포는 정규분포이다. 실제로 (R,B)에서 다음이 성립한다.X∼N(0,t),X∘T∼N(x0(t),t)따라서 (R,B(R))에서 PX∘T≪PX이고, ξ∈R에 대해 다음이 성립한다.dPX∘TdPX(ξ)=dPX∘Tdλ(ξ)(dPXdλ(ξ))−1=e−12t{ξ−x0(t)}2e12tξ2=e−12t{x0(t)}2e1tξx0(t)위의 식과 정리 3.49로부터 성립한다.
따름정리 3.51 X,x0가 정리 3.50에서 주어진 함수이고 Z를 다음과 같이 정의하자.Z(x)=e−∫t0x′0(s)dx(s)그러면 위너 조건적분 Ew(Z|X)가 존재하고(이 적분은 (R,B(R),PX), X∼N(0,t)에서 확률변수들의 동치족), ξ∈R에 대해 다음의 식이 성립한다.Ew(Z|X)(ξ)=e12∫[0,t]{x′0(s)}2dλ(s)e−12t{x0(t)}2e−1tξx0(t)증명: x∈C0([0,t])에 대해서 Y(x)=1이라 하자. 그러면 위너 조건적분 Ew(Y|X)는 다음과 같다.Ew(Y|X)(ξ)=1,ξ∈R모든 x∈C0([0,t])에 대해 Y(x+x0)=1이므로 PX−a.e.ξ∈R에 대해 다음이 성립한다.Ew(Y(⋅+x0)J|X)(ξ)=e−12∫[0,t]{x′0(s)}2dλ(s)Ew(Z|X)(ξ)여기서 J(x)는 정리 3.50에서 정의된 함수이다. PX와 λ는 (R,B(R))에서 동치이므로 위 식은 λ−a.e.ξ에 대해서도 성립한다.
르베그 영집합은 평행변환에 의해 다시 르베그 영집합이 되므로 위의 식의 양변에서 ξ를 η−x0(t)로 대치하면, 위 식은 λ−a.e.η에 대해서 성립한다. 위의 식과 식 Ew(Y|X)(ξ)=1로부터 λ−a.e.η∈R에 대해 다음의 식을 얻는다.1=Ew(Z|X)(η−x0(t))e−12∫[0,t]{x′0(s)}2dse−12t{x0(t)}2e1tηx0(t)η=ξ+x0(t)를 위 식에 대입하면 λ−a.e.ξ∈R에 대해 다음이 성립하고Ew(Z|X)(ξ)=e12∫[0,t]{x′0(s)}2dλ(s)e12t{x0(t)}2e−1tx0(t){ξ+x0(t)}=e12∫[0,t]{x′0(s)}2dλ(s)e−12t{x0(t)}2e−1tξx0(t)PX와 λ가 동치라는 사실로부터 이 정리가 성립한다.
다음은 정리 3.50을 이용해 위너 조건적분을 계산하는 예이다.
x∈C0([0,t])에 대해X(x)=x(t),Y(x)=eλ∫t0p(s)dλ(s)라 하자. 여기서 λ∈R이고 p∈C([0,t])∩BV([0,t])이다.x0(s)=−λ∫s0p(r)dr,s∈[0,t]라 하면, x0∈C0([0,t])이고 x′0이 존재해서x′0=−λp∈BV([0,t]) 이다. 그러면 Y는 다음과 같이 나타낼 수 있고,Y(x)=e−∫t0x′0(s)dx(s),x∈C0([0,t])따름정리 3.51에 의해 다음의 등식이 성립한다.Ew(Y|X)=eλ22∫t0{p(s)}2dse−λ22t{∫t0p(s)ds}2eλξt∫t0p(s)ds,ξ∈R(R,B(R))에서 X∼N(0,t)라는 사실과 위의 등식으로부터 모든 B∈B(R)에 대해 다음의 식을 얻는다.∫{x(t)∈B}eλ∫t0p(s)dx(s)dm(x)=∫BEw(X|Y)(ξ)dPX(ξ)=eλ22∫t0{p(s)}2ds1√2πt∫Be−12t{ξ−λ∫t0p(s)ds}2dλ(ξ)
참고자료:
위너 적분론, 장건수, 민음사
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