3-10 위너 조건적분의 변환정리(1)

3-10 위너 조건적분의 변환정리(1) 

보조정리 3.47 \((\Omega,\,\mathcal{B},\,P)\)를 확률공간, \((\mathcal{S},\,\mathcal{F})\)를 가측공간이라 하자. \(Z:\Omega\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)를 적분가능한 확률변수, \(X:\Omega\,\rightarrow\,\mathcal{S}\), \(T:\Omega\,\rightarrow\,\Omega\)를 가측변환이라 하자. 

\(h:\mathcal{S}\,\rightarrow\,\mathcal{S}\)가 전단사함수이고, 다음의 조건들을 만족한다고 하면

(1) \(h,\,h^{-1}\)는 가측이다.

(2) \(P-a.e.\,\omega\in\Omega\)에 대해 \((X\circ T)(\omega)=(h\circ X)(\omega)\)

그러면 조건부기댓값 \(E(Z|X\circ T)\)와 \(E(Z|X)\)가 존재하고 다음이 성립한다.$$E(Z|X\circ T)(\xi)=E(Z|X)(h^{-1}(\xi)),\,a.e.\,\xi\in(S,\,\mathcal{F},\,P_{X\circ T})$$여기서 \(P_{X\circ T}\)는 \(P((X\circ T)^{-1}[F])\,(F\in\mathcal{F})\)로 정의되는 \(X\circ T\)의 확률분포이다.  

증명: \(X\circ T:\Omega\,\rightarrow\,\mathcal{S}\)는 가측변환이므로 조건부기댓값 \(E(Z|X\circ T)\)가 존재하고 정의 3.27에 의해 다음이 성립한다.$$\int_{F}{E(Z|X\circ T)(\xi)dP_{X\circ T}(\xi)}=\int_{(X\circ T)^{-1}[F]}{Z(\omega)dP(\omega)},\,F\in\mathcal{F}$$\((X\circ T)(\omega)=(h\circ X)(\omega)\)이므로 \(P-\)영집합 \(\Omega_{0}\)가 존재해서 다음이 성립한다.$$(X\circ T)(\omega)=(h\circ X)(\omega),\,\omega\in\Omega_{0}^{c}$$다음의 두 식에서$$\begin{align*}(X\circ T)^{-1}[F]&=\{(X\circ T)^{-1}[F]\cap\Omega_{0}^{c}\}\cup\{(X\circ T)^{-1}[F]\cap\Omega_{0}\}\\(h\circ X)^{-1}[F]&=\{(h\circ X)^{-1}[F]\cap\Omega_{0}^{c}\}\cup\{(h\circ X)^{-1}[F]\cap\Omega_{0}\}\end{align*}$$우변의 두 번째 집합은 \(P-\)영집합이고 앞의 결과로부터 우변의 첫 번째 집합은 같으므로 다음이 성립하고$$P(\{(X\circ T)^{-1}[F]\}\Delta\{(h\circ X)^{-1}[F]\})=0$$위의 결과로부터 모든 \(F\in\mathcal{F}\)에 대해 다음의 식을 얻는다.$$\begin{align*}\int_{(X\circ T)^{-1}[F]}{Z(\omega)dP(\omega)}&=\int_{(h\circ X)^{-1}[F]}{Z(\omega)dP(\omega)}\\&=\int_{X^{-1}[h^{-1}[F]]}{Z(\omega)dP(\omega)}\\&=\int_{h^{-1}[F]}{E(Z|X)(\xi)dP_{X}(\xi)}\end{align*}$$\(F\in\mathcal{F}\)이면 \(h^{-1}[F]\in\mathcal{F}\)이므로 정의 3.27에 의해 위 식의 마지막 등식이 성립한다.

확률공간 \((\mathcal{S},\,\mathcal{F},\,P_{X})\)를 가측공간 \((\mathcal{S},\,\mathcal{F})\)로 보내는 가측함수 \(h\)를 생각하자. \(P_{h}\)를 \(h\)에 의해 결정되는 \(\mathcal{F}\)에서의 측도라고 하면, 다음이 성립한다.$$\begin{align*}\int_{h^{-1}[F]}{E(Z|X)(\xi)dP_{X}(\xi)}&=\int_{h^{-1}[F]}{E(Z|X)(h^{-1}(h(\xi)))dP_{X}(\xi)}\\&=\int_{F}{E(Z|X)(h^{-1}(\eta))dP_{h}(\eta)},\,F\in\mathcal{F}\end{align*}$$또한 다음이 성립한다.$$\begin{align*}P_{h}(F)&=P_{X}(h^{-1}[F])=P(X^{-1}[h^{-1}[F]])\\&=P((h\circ X)^{-1}[F])=P_{h\circ X}(F),\,F\in\mathcal{F}\end{align*}$$즉 확률공간 \((\mathcal{S},\,\mathcal{F},\,P_{X})\)에서 \(h\)의 확률분포와 확률공간 \((\Omega,\,\mathcal{B},\,P)\)에서 \(h\circ X\)의 확률분포가 같다. 따라서 다음이 성립하고$$\int_{h^{-1}[F]}{E(Z|X)(\xi)dP_{X}(\xi)}=\int_{F}{E(Z|X)(h^{-1}(\xi))dP_{h\circ X}(\xi)},\,F\in\mathcal{F}$$앞의 결과들에 의해 다음이 성립한다.$$\int_{F}{E(Z|X\circ T)(\xi)dP_{X\circ T}(\xi)}=\int_{F}{E(Z|X)(h^{-1}(\xi))dP_{h\circ X}(\xi)}$$또한 다음이 성립하고$$P_{h\circ X}(F)=P_{X\circ T}(F),\,F\in\mathcal{F}$$이므로 다음의 결과를 얻는다.$$E(Z|X\circ T)(\xi)=E(Z|X)(h^{-1}(\xi)),\,a.e.\,\xi\in(\mathcal{S},\,\mathcal{F},\,P_{X\circ T})$$보조정리 3.48 \((\Omega,\,\mathcal{B},\,\mu)\)를 유한측도공간, \(T:\Omega\,\rightarrow\,\Omega\)를 가측변환이라 하자. 가측함수 \(J:\Omega\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)가 존재해서 다음이 성립하면$$\mu(A)=\int_{T^{-1}[A]}{J(\omega)d\mu(\omega)},\,A\in\mathcal{B}$$임의의 가측함수 \(Z:\Omega\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)에 대해 다음이 성립한다.$$\int_{\Omega}{Z(\omega)d\mu(\omega)}=\int_{\Omega}{(Z\circ T)(\omega)J(\omega)d\mu(\omega)}$$증명: 

(1) \(Z\)가 \((\Omega,\,\mathbb{B},\,\mu)\)에서 단순함수인 경우, 즉$$Z=\sum_{j=1}^{n}{c_{j}\chi_{A_{j}}},\,c_{j}\in\mathbb{R},\,A_{j}\in\mathcal{B},\,j=1,\,...,\,n$$이면, 다음의 등식으로부터 성립한다.$$\begin{align*}\int_{\Omega}{Z(\omega)d\mu(\omega)}&=\sum_{j=1}^{n}{c_{j}\mu(A_{j})}=\sum_{j=1}^{n}{\int_{T^{-1}[A_{j}]}{J(\omega)d\mu(\omega)}}\\&=\int_{\Omega}{\sum_{j=1}^{n}{c_{j}\chi_{T^{-1}[A_{j}]}(\omega)}J(\omega)d\mu(\omega)}\\&=\int_{\Omega}{\sum_{j=1}^{n}{c_{j}\chi_{A_{j}}T(\omega)}J(\omega)d\mu(\omega)}\\&=\int_{\Omega}{(Z\circ T)(\omega)J(\omega)d\mu(\omega)}\end{align*}$$(2) \(Z\)가 음이 아닌 가측함수일 경우, \(\Omega\)에서 \(Z\)로 증가하며 수렴하는 단순함수 \(Z_{n}\)이 존재한다. 그러면 (1)의 결과와 단조수렴정리로부터 성립한다.

(3) \(Z\)가 임의의 가측함수인 경우, \(Z=Z^{+}-Z^{-}\)이고 \(Z^{+},\,Z^{-}\)는 음이 아닌 가측함수이므로 (2)에 의해 성립한다.

정리 3.49 \((\Omega,\,\mathcal{B},\,P)\)를 확률공간, \((S,\,\mathcal{F})\)를 가측공간, \(Z:\Omega\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)를 적분가능한 확률변수, \(X:\Omega\,\rightarrow\,S\)를 가측변환이라 하자. \(T:\Omega\,\rightarrow\,\Omega\)를 다음의 조건들을 만족하는 가측변환이라 하자.

(1) 가측함수 \(J:\Omega\,\rightarrow\,\mathbb{R}\)가 존재해서 다음이 성립한다.$$P(A)=\int_{T^{-1}[A]}{J(\omega)dP(\omega)}$$(2) \(h:S\,\rightarrow\,S\)는 전단사 함수이고, \(h,\,h^{-1}\)는 가측함수이다. 또한 다음이 성립한다.$$(X\circ T)(\omega)=(h\circ X)(\omega),\,P-a.e.\,\omega\in\Omega$$그러면 모든 가측변환 \(g:(S,\,\mathcal{F})\,\rightarrow\,(\mathbb{R},\,\mathcal{B}(\mathbb{R}))\)에 대해 다음의 등식이 성립한다.$$(*)\,\int_{S}{g(\xi)E(Z|X)(\xi)dP_{X}(\xi)}=\int_{S}{g(\xi)E((Z\circ T)J|X)(h^{-1}(\xi))dP_{X\circ T}(\xi)}$$\(T\)가 조건 (1), (2)를 만족하고 \((\mathcal{S},\,\mathcal{F})\)에서 다음을 만족하면$$(3)\,P_{X\circ T}\ll P_{X}$$\(P_{X}-a.e.\,\xi\in S\)에 대해 다음이 성립한다.$$(\text{#})\,E(Z|X)(\xi)=E((Z\circ T)J|X)(h^{-1}(\xi))\frac{dP_{X\circ T}}{dP_{X}}(\xi)$$증명: (1), (2)가 성립한다고 가정하자. 성질 3.32에 의해 다음이 성립하고$$E((g\circ X)Z)=\int_{S}{g(\xi)E(Z|X)(\xi)dP_{X}(\xi)}$$보조정리 3.48에 의해$$E((g\circ X)Z)=E((g\circ X\circ T)(Z\circ T)J)$$이다. 앞의 두 식을 비교하면 다음의 식을 얻는다.$$E((g\circ X)Z)=\int_{S}{g(\xi)E((Z\circ T)J|(X\circ T))(\xi)dP_{X\circ T}(\xi)}$$보조정리 3.47에 의해 다음이 성립한다.$$E((Z\circ T)J|(X\circ T))(\xi)=E((Z\circ T)J|X)(h^{-1}(\xi)),\,P_{X\circ T}-a.e.\,\xi\in S$$그러면 다음의 식을 얻고$$E((g\circ X)Z)=\int_{S}{g(\xi)E((Z\circ T)J|X)(\omega)dP}$$따라서 성질 3.32와 위 식에 의해 식 (*)가 성립한다. 가정 (3)에 의해 식 (*)는 다음과 같다.$$\int_{S}{g(\xi)E(Z|X)(\xi)dP_{X}(\xi)}=\int_{S}{g(\xi)E((Z\circ T)J|X)(h^{-1}(\xi))\frac{dP_{X\circ T}}{dP_{X}}(\xi)dP_{X}(\xi)}$$\(F\in\mathcal{F}\)에 대해 \(g=\chi_{F}\)라고 하면$$\int_{F}{E(Z|X)(\xi)(\xi)dP_{X}(\xi)}=\int_{F}{E((Z\circ T)J|X)(h^{-1}(\xi))\frac{dP_{X\circ T}}{dP_{X}}(\xi)dP_{X}(\xi)}$$이므로 식 (#)이 증명된다.

참고자료:

위너 적분론, 장건수, 민음사