3-10 위너 조건적분의 변환정리(1)

3-10 위너 조건적분의 변환정리(1) 

보조정리 3.47 $(\Omega,\,\mathcal{B},\,P)$를 확률공간, $(\mathcal{S},\,\mathcal{F})$를 가측공간이라 하자. $Z:\Omega\,\rightarrow\,\mathbb{R}$를 적분가능한 확률변수, $X:\Omega\,\rightarrow\,\mathcal{S}$, $T:\Omega\,\rightarrow\,\Omega$를 가측변환이라 하자. 

$h:\mathcal{S}\,\rightarrow\,\mathcal{S}$가 전단사함수이고, 다음의 조건들을 만족한다고 하면

(1) $h,\,h^{-1}$는 가측이다.

(2) $P-a.e.\,\omega\in\Omega$에 대해 $(X\circ T)(\omega)=(h\circ X)(\omega)$

그러면 조건부기댓값 $E(Z|X\circ T)$와 $E(Z|X)$가 존재하고 다음이 성립한다. $$E(Z|X\circ T)(\xi)=E(Z|X)(h^{-1}(\xi)),\,a.e.\,\xi\in(S,\,\mathcal{F},\,P_{X\circ T})$$ 여기서 $P_{X\circ T}$는 $P((X\circ T)^{-1}[F])\,(F\in\mathcal{F})$로 정의되는 $X\circ T$의 확률분포이다.  

증명: $X\circ T:\Omega\,\rightarrow\,\mathcal{S}$는 가측변환이므로 조건부기댓값 $E(Z|X\circ T)$가 존재하고 정의 3.27에 의해 다음이 성립한다. $$\int_{F}{E(Z|X\circ T)(\xi)dP_{X\circ T}(\xi)}=\int_{(X\circ T)^{-1}[F]}{Z(\omega)dP(\omega)},\,F\in\mathcal{F}$$ $(X\circ T)(\omega)=(h\circ X)(\omega)$이므로 $P-$영집합 $\Omega_{0}$가 존재해서 다음이 성립한다. $$(X\circ T)(\omega)=(h\circ X)(\omega),\,\omega\in\Omega_{0}^{c}$$ 다음의 두 식에서 $$\begin{align*}(X\circ T)^{-1}[F]&=\{(X\circ T)^{-1}[F]\cap\Omega_{0}^{c}\}\cup\{(X\circ T)^{-1}[F]\cap\Omega_{0}\}\\(h\circ X)^{-1}[F]&=\{(h\circ X)^{-1}[F]\cap\Omega_{0}^{c}\}\cup\{(h\circ X)^{-1}[F]\cap\Omega_{0}\}\end{align*}$$ 우변의 두 번째 집합은 $P-$영집합이고 앞의 결과로부터 우변의 첫 번째 집합은 같으므로 다음이 성립하고 $$P(\{(X\circ T)^{-1}[F]\}\Delta\{(h\circ X)^{-1}[F]\})=0$$ 위의 결과로부터 모든 $F\in\mathcal{F}$에 대해 다음의 식을 얻는다. $$\begin{align*}\int_{(X\circ T)^{-1}[F]}{Z(\omega)dP(\omega)}&=\int_{(h\circ X)^{-1}[F]}{Z(\omega)dP(\omega)}\\&=\int_{X^{-1}[h^{-1}[F]]}{Z(\omega)dP(\omega)}\\&=\int_{h^{-1}[F]}{E(Z|X)(\xi)dP_{X}(\xi)}\end{align*}$$ $F\in\mathcal{F}$이면 $h^{-1}[F]\in\mathcal{F}$이므로 정의 3.27에 의해 위 식의 마지막 등식이 성립한다.

확률공간 $(\mathcal{S},\,\mathcal{F},\,P_{X})$를 가측공간 $(\mathcal{S},\,\mathcal{F})$로 보내는 가측함수 $h$를 생각하자. $P_{h}$를 $h$에 의해 결정되는 $\mathcal{F}$에서의 측도라고 하면, 다음이 성립한다. $$\begin{align*}\int_{h^{-1}[F]}{E(Z|X)(\xi)dP_{X}(\xi)}&=\int_{h^{-1}[F]}{E(Z|X)(h^{-1}(h(\xi)))dP_{X}(\xi)}\\&=\int_{F}{E(Z|X)(h^{-1}(\eta))dP_{h}(\eta)},\,F\in\mathcal{F}\end{align*}$$ 또한 다음이 성립한다. $$\begin{align*}P_{h}(F)&=P_{X}(h^{-1}[F])=P(X^{-1}[h^{-1}[F]])\\&=P((h\circ X)^{-1}[F])=P_{h\circ X}(F),\,F\in\mathcal{F}\end{align*}$$ 즉 확률공간 $(\mathcal{S},\,\mathcal{F},\,P_{X})$에서 $h$의 확률분포와 확률공간 $(\Omega,\,\mathcal{B},\,P)$에서 $h\circ X$의 확률분포가 같다. 따라서 다음이 성립하고 $$\int_{h^{-1}[F]}{E(Z|X)(\xi)dP_{X}(\xi)}=\int_{F}{E(Z|X)(h^{-1}(\xi))dP_{h\circ X}(\xi)},\,F\in\mathcal{F}$$ 앞의 결과들에 의해 다음이 성립한다. $$\int_{F}{E(Z|X\circ T)(\xi)dP_{X\circ T}(\xi)}=\int_{F}{E(Z|X)(h^{-1}(\xi))dP_{h\circ X}(\xi)}$$ 또한 다음이 성립하고 $$P_{h\circ X}(F)=P_{X\circ T}(F),\,F\in\mathcal{F}$$ 이므로 다음의 결과를 얻는다. $$E(Z|X\circ T)(\xi)=E(Z|X)(h^{-1}(\xi)),\,a.e.\,\xi\in(\mathcal{S},\,\mathcal{F},\,P_{X\circ T})$$ 보조정리 3.48 $(\Omega,\,\mathcal{B},\,\mu)$를 유한측도공간, $T:\Omega\,\rightarrow\,\Omega$를 가측변환이라 하자. 가측함수 $J:\Omega\,\rightarrow\,\mathbb{R}$가 존재해서 다음이 성립하면 $$\mu(A)=\int_{T^{-1}[A]}{J(\omega)d\mu(\omega)},\,A\in\mathcal{B}$$ 임의의 가측함수 $Z:\Omega\,\rightarrow\,\mathbb{R}$에 대해 다음이 성립한다. $$\int_{\Omega}{Z(\omega)d\mu(\omega)}=\int_{\Omega}{(Z\circ T)(\omega)J(\omega)d\mu(\omega)}$$ 증명: 

(1) $Z$가 $(\Omega,\,\mathbb{B},\,\mu)$에서 단순함수인 경우, 즉 $$Z=\sum_{j=1}^{n}{c_{j}\chi_{A_{j}}},\,c_{j}\in\mathbb{R},\,A_{j}\in\mathcal{B},\,j=1,\,...,\,n$$ 이면, 다음의 등식으로부터 성립한다. $$\begin{align*}\int_{\Omega}{Z(\omega)d\mu(\omega)}&=\sum_{j=1}^{n}{c_{j}\mu(A_{j})}=\sum_{j=1}^{n}{\int_{T^{-1}[A_{j}]}{J(\omega)d\mu(\omega)}}\\&=\int_{\Omega}{\sum_{j=1}^{n}{c_{j}\chi_{T^{-1}[A_{j}]}(\omega)}J(\omega)d\mu(\omega)}\\&=\int_{\Omega}{\sum_{j=1}^{n}{c_{j}\chi_{A_{j}}T(\omega)}J(\omega)d\mu(\omega)}\\&=\int_{\Omega}{(Z\circ T)(\omega)J(\omega)d\mu(\omega)}\end{align*}$$ (2) $Z$가 음이 아닌 가측함수일 경우, $\Omega$에서 $Z$로 증가하며 수렴하는 단순함수 $Z_{n}$이 존재한다. 그러면 (1)의 결과와 단조수렴정리로부터 성립한다.

(3) $Z$가 임의의 가측함수인 경우, $Z=Z^{+}-Z^{-}$이고 $Z^{+},\,Z^{-}$는 음이 아닌 가측함수이므로 (2)에 의해 성립한다.

정리 3.49 $(\Omega,\,\mathcal{B},\,P)$를 확률공간, $(S,\,\mathcal{F})$를 가측공간, $Z:\Omega\,\rightarrow\,\mathbb{R}$를 적분가능한 확률변수, $X:\Omega\,\rightarrow\,S$를 가측변환이라 하자. $T:\Omega\,\rightarrow\,\Omega$를 다음의 조건들을 만족하는 가측변환이라 하자.

(1) 가측함수 $J:\Omega\,\rightarrow\,\mathbb{R}$가 존재해서 다음이 성립한다. $$P(A)=\int_{T^{-1}[A]}{J(\omega)dP(\omega)}$$ (2) $h:S\,\rightarrow\,S$는 전단사 함수이고, $h,\,h^{-1}$는 가측함수이다. 또한 다음이 성립한다. $$(X\circ T)(\omega)=(h\circ X)(\omega),\,P-a.e.\,\omega\in\Omega$$ 그러면 모든 가측변환 $g:(S,\,\mathcal{F})\,\rightarrow\,(\mathbb{R},\,\mathcal{B}(\mathbb{R}))$에 대해 다음의 등식이 성립한다. $$(*)\,\int_{S}{g(\xi)E(Z|X)(\xi)dP_{X}(\xi)}=\int_{S}{g(\xi)E((Z\circ T)J|X)(h^{-1}(\xi))dP_{X\circ T}(\xi)}$$ $T$가 조건 (1), (2)를 만족하고 $(\mathcal{S},\,\mathcal{F})$에서 다음을 만족하면 $$(3)\,P_{X\circ T}\ll P_{X}$$ $P_{X}-a.e.\,\xi\in S$에 대해 다음이 성립한다. $$(\text{#})\,E(Z|X)(\xi)=E((Z\circ T)J|X)(h^{-1}(\xi))\frac{dP_{X\circ T}}{dP_{X}}(\xi)$$ 증명: (1), (2)가 성립한다고 가정하자. 성질 3.32에 의해 다음이 성립하고 $$E((g\circ X)Z)=\int_{S}{g(\xi)E(Z|X)(\xi)dP_{X}(\xi)}$$ 보조정리 3.48에 의해 $$E((g\circ X)Z)=E((g\circ X\circ T)(Z\circ T)J)$$ 이다. 앞의 두 식을 비교하면 다음의 식을 얻는다. $$E((g\circ X)Z)=\int_{S}{g(\xi)E((Z\circ T)J|(X\circ T))(\xi)dP_{X\circ T}(\xi)}$$ 보조정리 3.47에 의해 다음이 성립한다. $$E((Z\circ T)J|(X\circ T))(\xi)=E((Z\circ T)J|X)(h^{-1}(\xi)),\,P_{X\circ T}-a.e.\,\xi\in S$$ 그러면 다음의 식을 얻고 $$E((g\circ X)Z)=\int_{S}{g(\xi)E((Z\circ T)J|X)(\omega)dP}$$ 따라서 성질 3.32와 위 식에 의해 식 (*)가 성립한다. 가정 (3)에 의해 식 (*)는 다음과 같다. $$\int_{S}{g(\xi)E(Z|X)(\xi)dP_{X}(\xi)}=\int_{S}{g(\xi)E((Z\circ T)J|X)(h^{-1}(\xi))\frac{dP_{X\circ T}}{dP_{X}}(\xi)dP_{X}(\xi)}$$ $F\in\mathcal{F}$에 대해 $g=\chi_{F}$라고 하면 $$\int_{F}{E(Z|X)(\xi)(\xi)dP_{X}(\xi)}=\int_{F}{E((Z\circ T)J|X)(h^{-1}(\xi))\frac{dP_{X\circ T}}{dP_{X}}(\xi)dP_{X}(\xi)}$$ 이므로 식 (#)이 증명된다.

참고자료:

위너 적분론, 장건수, 민음사