3-8 위너 조건적분(2)

3-8 위너 조건적분(2)

$X$를 다음과 같이 정의하자. $$X(x)=x(t),\,x\in C_{0}([0,\,t])$$ 이제 주어진 $X$에 대한 위너적분 가능한 함수 $Z$의 위너 조건적분을 계산하자.

예: 각 $x\in C_{0}([0,\,t])$에 대해 구간 $[0,\,t]$에서의 $x$의 평균값을 $Z(x)$라 하자. 즉 $$Z(x)=\frac{1}{t}\int_{0}^{t}{x(s)ds}$$ $X(x)=x(t)$로 주어진 $X$에 대한 $Z$의 위너 조건적분을 계산하자. 따름정리 3.39에 의해 $\displaystyle E^{w}(Z|X)\frac{dP_{X}}{d\lambda}$가 존재하고 따름정리의 결론을 만족한다. 이 경우 다음과 같고 $$E^{w}((X_{\xi,\,a}\circ X)Z)=E^{w}\left(X_{\xi,\,a}(x(t))\frac{1}{t}\int_{[0,\,t]}{x(s)d\lambda(s)}\right)$$ 위 식 우변의 두 적분의 순서를 바꾸기 위해 다음과 같이 한다.

위너과정 $X(s,\,x)=x(s)$는 $\lambda\times\mathfrak{m}-$가측이고, 다음의 부등식이 성립한다. $$|X_{\xi,\,a}(x(t))x(s)|\leq\frac{1}{2a}|x(s)|,\,(s,\,x)\in[0,\,t]\times C_{0}([0,\,t])$$ 위너 적분공식에 의해 다음이 성립한다. $$\begin{align*}&\int_{[0,\,t]}{E^{w}\left(\frac{1}{2a}|x(s)|\right)d\lambda(s)}\\&=\frac{1}{2a}\int_{[0,\,t]}{\left\{\frac{1}{\sqrt{2\pi s}}\int_{\mathbb{R}}{|\eta|e^{-\frac{\eta^{2}}{2s}}d\lambda(\eta)}\right\}d\lambda(s)}\\&=\frac{1}{2a}\sqrt{\frac{2}{\pi}}\int_{[0,\,t]}{\sqrt{s}d\lambda(s)}\\&=\frac{1}{3a}\sqrt{\frac{2}{\pi}}t^{\frac{3}{2}}<\infty\end{align*}$$ 따라서 두 적분의 순서를 바꿀 수 있다. 위너 적분공식에 의해 다음이 성립하고 $$\begin{align*}&E^{w}((X_{\xi,\,a}\circ X)Z)=\frac{1}{t}\int_{[0,\,t]}{E^{w}(X_{\xi,\,a}(x(t))x(s))d\lambda(s)}\\&=\frac{1}{2at}\int_{[0,\,t]}{\frac{1}{\sqrt{(2\pi)^{2}s(t-s)}}\int_{\mathbb{R}\times[\xi-a,\,\xi+a]}{\eta e^{-\frac{\eta^{2}}{2s}-\frac{(\zeta-\eta)^{2}}{2(t-s)}}d\lambda(\eta,\,\zeta)}d\lambda(s)}\end{align*}$$ 또한 $$\frac{\eta^{2}}{s}+\frac{(\zeta-\eta)^{2}}{t-s}=\frac{t}{s(t-s)}\left(\eta-\frac{s}{t}\zeta\right)^{2}+\frac{\zeta^{2}}{t}$$ 이므로 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$\eta e^{-\frac{\eta^{2}}{2s}-\frac{(\zeta-\eta)^{2}}{2(t-s)}}=\left\{\left(\eta-\frac{s}{t}\zeta\right)+\frac{s}{t}\zeta\right\}e^{-\frac{t}{2s(t-s)}\left(\eta-\frac{s}{t}\zeta\right)^{2}-\frac{\zeta^{2}}{2t}}$$ $E^{w}((X_{\xi,\,a}\circ X)Z)$식에서 $d\lambda(\eta,\,\zeta)$에 대한 적분은, 먼저 $d\lambda(\eta)$에 대해 적분하고 $v>0$에 대해 다음의 등식을 사용하면 $$\frac{1}{\sqrt{2\pi v}}\int_{\mathbb{R}}{y^{p}e^{-\frac{y^{2}}{2v}}d\lambda(y)}=\begin{cases}1&\,(p=0)\\0&\,(p=1)\\2&\,(p=2)\end{cases}$$ 다음과 같게 된다. $$\sqrt{\frac{2s^{3}(t-s)\pi}{t^{3}}}\int_{[\xi-a,\,\xi+a]}{\rho e^{-\frac{\zeta^{2}}{2t}}d\lambda(\zeta)}$$ 위의 식을 $E^{w}((X_{\xi,\,a}\circ X)Z)$에 대한 식에 대입하면 다음과 같고 $$\begin{align*}E^{w}((X_{\xi,\,a}\circ X)Z)&=\frac{1}{\sqrt{2\pi t}2at^{2}}\left\{\int_{[0,\,t]}{sd\lambda(s)}\right\}\left\{\int_{[\xi-a,\,\xi+a]}{\xi e^{-\frac{\xi^{2}}{2t}}d\lambda(\zeta)}\right\}\\&=\frac{1}{2}\left\{\frac{1}{2a}\int_{[\xi-a,\,\xi+a]}{\zeta\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}e^{-\frac{\zeta^{2}}{2t}}d\lambda(\zeta)}\right\}\end{align*}$$ 위의 식과 따름정리 3.39의 결론에 의해 다음이 성립한다. $$E^{w}(Z|X)(\xi)\frac{dP_{X}}{d\lambda}(\xi)=\frac{1}{2}\xi\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}e^{-\frac{\xi^{2}}{2t}}$$ 따라서 $X$에 대한 $Z$의 위너 조건적분은 다음과 같다. $$E^{w}(Z|X)(\xi)=\frac{1}{2}\xi$$ 예: $X$가 $X(x)=x(t)\,(x\in C_{0}([0,\,t]))$로 주어지고 $Z$가 다음과 같을 때 $$Z(x)=\int_{0}^{t}{\{x(s)\}^{2}ds},\,x\in C_{0}([0,\,t])$$ 일 때, $X$에 대한 $Z$의 위너 조건적분을 구하자.

앞의 예와 같은 방법으로 따름정리 3.39를 사용해 이 조건적분을 계산한다. $$\begin{align*}&E^{w}((X_{\xi,\,a}\circ X)Z)=E^{w}\left(X_{\xi,\,a}(x(t))\int_{0}^{t}{\{x(s)\}^{2}ds}\right)\\&=\int_{[0,\,t]}{E^{w}(X_{\xi,\,a}(x(t))\{x(s)\}^{2})d\lambda(s)}\\&=\frac{1}{2a}\int_{[0,\,t]}{\frac{1}{\sqrt{(2\pi)^{2}s(t-s)}}\int_{\mathbb{R}\times[\xi-a,\,\xi+a]}{\eta^{2}e^{-\frac{\eta^{2}}{2s}-\frac{(\zeta-\eta)^{2}}{2(t-s)}}d\lambda(\eta,\,\zeta)}d\lambda(s)}\end{align*}$$ 다음의 식이 성립함을 이용한다. $$\eta^{2}e^{-\frac{\eta^{2}}{2s}-\frac{(\zeta-\eta)^{2}}{2(t-s)}}=\left\{\left(\eta-\frac{s}{t}\zeta\right)^{2}+\frac{2s\zeta}{t}\left(\eta-\frac{s}{t}\zeta\right)+\left(\frac{s\zeta}{t}\right)^{2}\right\}e^{-\frac{t}{2s(t-s)}\left(\eta-\frac{s\zeta}{t}\right)^{2}-\frac{\zeta^{2}}{2t}}$$ $E^{w}((X_{\xi,\,a}\circ X)Z)$의 식에서 $d\lambda(\eta,\,\zeta)$에 대한 적분은 먼저 $d\lambda(\eta)$에 대해 적분하고, 적분 $\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi v}}\int_{\mathbb{R}}{y^{p}e^{-\frac{y^{2}}{2v}}d\lambda(y)}$을 이용하면 다음과 같게 된다. $$\int_{[\xi-a,\,\xi+a]}{\sqrt{\frac{2\pi s(t-s)}{t}}\left\{\frac{s(t-s)}{t}+\left(\frac{s\zeta}{t}\right)^{2}\right\}e^{-\frac{\zeta^{2}}{2t}}d\lambda(\zeta)}$$ 위의 식을 $E^{w}((X_{\xi,\,a}\circ X)Z)$식에 대입하면 다음의 등식을 얻고 $$\begin{align*}&E^{w}((X_{\xi,\,a}\circ X)Z)\\&=\frac{1}{\sqrt{2\pi t}2a}\int_{[\xi-a,\,\xi+a]}{\left\{\int_{[0,\,t]}{\left(s-\frac{s^{2}}{t}+\frac{s^{2}\zeta^{2}}{t^{2}}\right)d\lambda(s)}\right\}e^{-\frac{\xi^{2}}{2t}}d\lambda(\zeta)}\\&=\frac{1}{2a}\int_{[\xi-a,\,\xi+a]}{\left(\frac{t^{3}}{6}+\frac{t}{3}\zeta^{2}\right)\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}e^{-\frac{\zeta^{2}}{2t}}d\lambda(\zeta)}\end{align*}$$ 따라서 $$\begin{align*}E^{w}(Z|X)(\xi)\frac{dP_{X}}{d\lambda}(\xi)&=\lim_{a\,\rightarrow\,0}{E^{w}((X_{\xi,\,a}\circ X)Z)}\\&=\left(\frac{t^{2}}{6}+\frac{t}{3}\xi^{2}\right)\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}e^{-\frac{\xi^{2}}{2t}}\end{align*}$$ 이므로 $X$에 대한 $Z$의 위너 조건적분은 다음과 같다. $$E^{w}(Z|X)(\xi)=\frac{t^{2}}{6}+\frac{t}{3}\xi^{2}$$ *참고 $$\begin{align*}E^{w}(Z)&=\int_{X^{-1}[\mathbb{R}]}{Z(x)d\mathfrak{m}(x)}\\&=\int_{\mathbb{R}}{E^{w}(Z|X)(\xi)dP_{X}(\xi)}\\&=\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}\int_{\mathbb{R}}{\left(\frac{t^{2}}{6}+\frac{t}{3}\xi^{2}\right)e^{-\frac{\xi^{2}}{2t}}d\lambda(\xi)}\\&=\frac{t^{2}}{2}\end{align*}$$ 이것은 다음의 위너적분의 계산과 일치하는 결과이다. $$F(x)=\int_{a}^{b}{\{x(t)\}^{2}dt},\,\int_{C_{0}([a,\,b])}{F(x)d\mathfrak{m}(x)}=\frac{1}{2}(b-a)^{2}\,(x\in C_{0}([a,\,b]))$$ 정리 3.45 $X$와 $Y$가 $C_{0}([0,\,t])$에서 다음과 같이 정의되는 함수라 하자. $$X(x)=x(t),\,Y(x)=f\left(\int_{0}^{t}{\varphi_{1}(s)dx(s)},\,...,\int_{0}^{t}{\varphi_{n}(s)dx(s)}\right)$$ 여기서 $$\varphi_{j}\in C([0,\,t])\cap BV([0,\,t]),\,j=1,\,2,\,...,\,n,\,\|\varphi_{j}\|>0,\,\{\varphi_{1},\,...,\,\varphi_{n},\,1\}$$ 은 $L_{2}([0,\,t])$에서 정규집합이고, $f$는 $\mathbb{R}^{n}$에서 보렐 가측함수로서 다음의 조건을 만족한다. $$\left\{(2\pi)^{2}\prod_{j=1}^{n}{\|\varphi_{j}\|^{2}}\right\}^{-\frac{1}{2}}\int_{\mathbb{R}^{n}}{|f(\vec{u})|e^{\displaystyle\tiny-\frac{1}{2}\sum_{j=1}^{n}{\frac{u_{j}^{2}}{\|\varphi_{j}\|^{2}}}}d\vec{u}}<\infty$$ 그러면 $Y$는 적분가능하고 다음이 성립한다. $$E^{w}(Y)=A$$ 여기서 $A$는 다음과 같고 $$\begin{align*}A&=\int_{C_{0}([0,\,t])}{f\left(\int_{0}^{t}{\varphi_{1}(s)\tilde{d}x(s)},\,...,\,\int_{0}^{t}{\varphi_{n}(s)\tilde{d}x(s)}\right)d\mathfrak{m}(x)}\\&=\left\{(2\pi)^{n}\prod_{j=1}^{n}{\|\varphi_{j}\|_{2}^{2}}\right\}^{-\frac{1}{2}}\int_{\mathbb{R}^{n}}{f(\vec{u})e^{\displaystyle\tiny-\frac{1}{2}\sum_{j=1}^{n}{\frac{u_{j}^{2}}{\|\varphi_{j}\|_{2}^{2}}}}d\vec{u}}\end{align*}$$ 또한 $E^{w}(Y|X)$가 존재해서 다음이 성립한다. $$E^{w}(Y|X)(\xi)=A,\,\xi\in\mathbb{R}$$ 증명: $E^{w}(Y)=A$는 자명하므로 모든 $\xi\in\mathbb{R}$에 대해 $E^{w}(Y|X)(\xi)=A$가 성립함을 보이자. $$E^{w}(e^{iuX}Y)=E^{w}\left(e^{iu\int_{0}^{t}{dx(s)}}g\left(\int_{0}^{t}{\varphi_{1}(s)dx(s)},\,...,\,\int_{0}^{t}{\varphi_{n}(s)dx(s)}\right)\right)$$ 이고 함수 $$f(\eta_{1},\,\eta_{2},\,...,\,\eta_{n},\,\xi)=e^{iu\xi}g(\eta_{1},\,...,\,\eta_{n}),\,(\eta_{1},\,...,\,\eta_{n},\,\xi)\in\mathbb{R}^{n+1}$$ 을 다음의 공식에 대입하고 $$\int_{C_{0}([0,\,t])}{f\left(\int_{0}^{t}{\varphi_{1}(s)dx(s)},\,...,\,\int_{0}^{t}{\varphi_{n}(s)dx(s)}\right)d\mathfrak{m}(x)}=\left\{(2\pi)^{n}\prod_{j=1}^{n}{\|\varphi_{j}\|_{2}^{2}}\right\}^{-\frac{1}{2}}\int_{\mathbb{R}^{n}}{f(\vec{u})e^{\displaystyle\tiny-\frac{1}{2}\sum_{j=1}^{n}{\frac{u_{j}^{2}}{\|\varphi_{j}\|_{2}^{2}}}}d\vec{u}}$$ 다음의 적분공식을 사용하면 $$\int_{\mathbb{R}}{e^{-(a\xi^{2}+b\xi)}d\lambda(\xi)}=\sqrt{\frac{\pi}{a}}e^{\frac{b^{2}}{4a}},\,a>0,\,b\in\mathbb{C}$$ 다음의 등식을 얻는다. $$\begin{align*}E^{w}(e^{iuX}Y)&=\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}A\int_{\mathbb{R}}{e^{iu\xi}e^{-\frac{\xi^{2}}{2t}}d\lambda(t)}\\&=Ae^{-\frac{u^{2}t}{2}}\end{align*}$$ 따라서 $E^{w}(e^{iuX}Y)$는 $u$의 함수로서 $\mathbb{R}$에서 르베그 적분가능하다. 정리 3.44에 의해 $\displaystyle E^{w}(Y|X)\frac{dP_{X}}{d\lambda}$가 존재하고 다음의 결과를 얻는다. $$\begin{align*}&E^{w}(Y|X)(\xi)\frac{dP_{X}}{d\lambda}(\xi)=\frac{A}{2\pi}\int_{\mathbb{R}}{e^{-iu\xi}e^{-\frac{ut^{2}}{2}}d\lambda(u)}=\frac{A}{2\pi t}e^{-\frac{\xi^{2}}{2t}}\\&E^{w}(Y|X)(\xi)=A,\,\xi\in\mathbb{R}\end{align*}$$

참고자료:

위너 적분론, 장건수, 민음사